3. 在$△ ABC$中，$AB=AC$，且$AD$平分$∠ BAC(0°＜∠ BAC＜90°)$。
(1) 如图①，现有点$E$在线段$AD$上，连接$BE,CE$，将$BC$沿着$BE$所在直线折叠，点$C$的对应点为点$M$。若点$M$恰好与点$A$重合，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由。
(2) 如图②，点$P$在边$AC$上，作直线$DP$，现将点$C$沿着$DP$折叠，对应点记作点$F$。
①当点$F$落在边$AB$上时，只使用圆规一次，在图③中画出点$F$的位置；
②连接$CF,BF$，判断$△ FBC$的形状，并说明理由。
(3) 在(2)的条件下，若$AB=AC=20$，$BC=24$，当点$F$落在$△ ABC$内(不含$△ ABC$的边上)时，$CP$长的取值范围为________。

(1)$△ ABC$ 是等边三角形. 理由: 由翻折得 $AB = BC$.$\because AB=AC,\therefore AB=BC=AC,\therefore △ ABC$ 为等边三角形.
(2)①如图①,点 $F$ 即为所求.
②$△ FBC$ 是直角三角形. 理由:连接 $FD$,如图②,
$\because AB=AC$,且 $AD$ 平分 $∠ BAC,\therefore BD=CD.\because FD=CD,\therefore FD=CD=BD,\therefore ∠ DFC = ∠ DCF, ∠ DBF = ∠ DFB,\therefore ∠ DFC + ∠ DFB = 90° = ∠ DCF + ∠ DBF$,即 $∠ BFC = 90°,\therefore △ FBC$是直角三角形.
(3)$\frac{36}{5}＜CP＜10$ 解析:当点 $F$ 落在 $AB$ 边上时,如图③,连接$FP,\because DP$ 垂直平分 $FC,\therefore FP=CP,\therefore ∠ PCF = ∠ PFC$,由 (2) 可知,无论点 $F$ 落在哪里,始终有 $∠ BFC = 90°$,$\therefore ∠ AFC = 90°,\therefore ∠ AFP + ∠ PFC = 90° = ∠ ACF + ∠ CAF$,$\therefore ∠ AFP = ∠ CAF,\therefore AP=FP,\therefore AP=CP=\frac{1}{2}AC=10$;当点 $F$ 落在$AC$ 边上时,如图④,则 $DP⊥ AC.\because AB=AC$,且 $AD$ 平分$∠ BAC,\therefore AD⊥ BC,CD=\frac{1}{2}BC=12,\therefore AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=16$.
$\because S_{△ ACD}=\frac{1}{2}CD· AD=\frac{1}{2}AC· DP,\therefore DP=\frac{CD· AD}{AC}=\frac{12× 16}{20}=\frac{48}{5},\therefore CP=\sqrt{CD^2-DP^2}=\sqrt{12^2-(\frac{48}{5})^2}=\frac{36}{5},\therefore$ 当点 $F$ 落在$△ ABC$ 内(不含 $△ ABC$ 的边上)时,$CP$ 长的取值范围为 $\frac{36}{5}＜CP＜10.$

4. (2025·南京校级期末)在长方形ABCD中,AD=6,E,F分别是AD,AB边上的动点.在长方形ABCD的内部(包含边界),以EF为直角边作等腰直角三角形EFP,且∠EFP=90°.过点P作PQ⊥AB,垂足为Q.
(1)如图①,当AE=1时,设AQ=x,PQ=y,求y与x之间的函数表达式;
(2)当点E的位置如图②所示时,点F在AB边上运动,用直尺和圆规在图②中作出所有满足条件的点P;(保留作图痕迹,写出必要的文字说明)
(3)当点E,F分别在AD,AB边上运动时,满足条件的点P所形成的区域的面积随着AB的长度的变化而变化,设点P所形成的区域的面积为S,AB的长度为n.请直接写出S与n之间的函数表达式及对应的n的取值范围.

(1)$\because △ EFP$ 是等腰直角三角形, $\therefore EF=FP,∠ EFP=90°$.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是长方形, $\therefore ∠ A = 90°$. 又 $\because PQ⊥ AB$,$\therefore ∠ PQF=90°,\therefore ∠ AFE=90°-∠ PFQ=∠ FPQ.\because$ 在 $△ AEF$ 和$△ QFP$ 中, $\begin{cases}∠ A = ∠ PQF,\\∠ EFA = ∠ FPQ,\\EF = FP,\end{cases}$$\therefore △ AEF≌△ QFP(\mathrm{AAS})$,$\therefore FQ=AE$,则 $PQ=AF=AQ-FQ=AQ-AE.\because AE=1,AQ=x,PQ=y,\therefore y=x-1.$
(2)如图①所示,在 $AB$ 上截取点 $N$,使得 $AN=AE$,在 $AB$ 上任取一点 $F$,过点 $F$ 作 $PF⊥ EF,PF=EF$,连接 $NP$ 交 $DC$ 于点 $M$,连接 $MN$,则 $MN$ 为所有满足条件的点 $P$ 的轨迹.
(3)$S=\begin{cases}\frac{1}{2}n^2(0＜n≤ 6),\\-\frac{1}{2}n^2+12n-36(6＜n＜12),\\36(n≥ 12).\end{cases}$ 解析:在长方形 $ABCD$中,$AD=6$,分四种情况讨论,①当 $0＜n≤ 6$ 时,如图②所示,当$E$ 点与点 $A$ 重合,点 $F$ 在 $AB$ 上运动时,点 $P$ 的轨迹为线段 $AG$,当 $F$ 点与点 $A$ 重合,点 $E$ 在 $AD$ 上运动时,点 $P$ 的轨迹为线段 $AB$,当 $E,F$ 点运动时,点 $P$ 所形成的区域为等腰直角三角形 $ABG$,
$\therefore S=\frac{1}{2}n^2$;②当 $6＜n＜12$ 时,如图③所示,同理可得,点 $P$ 所形成的区域为多边形 $ANPCM$,由 (1) 可得 $PB=AF=AB-FB=AB-AD=n-6$,同理可得,$△ ADM,△ PBN$ 都是等腰直角三角形,$\therefore S=6n-\frac{1}{2}× 6^2-\frac{1}{2}(n-6)^2=-\frac{1}{2}n^2+12n-36$;③当 $n=12$ 时,如图④所示,$PB=AD=6,AF=FB=6,\therefore S=6× 12-6× 6=36$;
④当 $n＞12$ 时,如图⑤所示,$S=S_{\mathrm{四边形}AFPM}=6× 6=36$.
综上所述,$S=\begin{cases}\frac{1}{2}n^2(0＜n≤ 6),\\-\frac{1}{2}n^2+12n-36(6＜n＜12),\\36(n≥ 12).\end{cases}$