登录
14. 中考新考法 规律探究 木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放,则第 $ n $ 个图中共有木料
$\dfrac{n(n+1)}{2}$
根.答案
14.$\dfrac{n(n+1)}{2}$
[解析]由题图可知，
第1个图形有木料1根；
第2个图形有木料$1+2=3$(根)；
第3个图形有木料$1+2+3=6$(根)；
第4个图形有木料$1+2+3+4=10$(根)；
$\dots$，
则第$n$个图形有木料$1+2+3+4+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$(根)。
[解析]由题图可知，
第1个图形有木料1根；
第2个图形有木料$1+2=3$(根)；
第3个图形有木料$1+2+3=6$(根)；
第4个图形有木料$1+2+3+4=10$(根)；
$\dots$，
则第$n$个图形有木料$1+2+3+4+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$(根)。
15. (2025·无锡江阴期中)如图所示是计算机程序计算,若开始输入 $x=-1$, 则最后输出的结果是
-11
。答案
15.$-11$
[解析]把$x=-1$代入计算程序中，
得$(-1)×4-(-1)=-4+1=-3＞-5$；
把$x=-3$代入计算程序中，得$(-3)×4-(-1)=-12+1=-11＜-5$，
则最后输出的结果是$-11$。
[解析]把$x=-1$代入计算程序中，
得$(-1)×4-(-1)=-4+1=-3＞-5$；
把$x=-3$代入计算程序中，得$(-3)×4-(-1)=-12+1=-11＜-5$，
则最后输出的结果是$-11$。
16. 下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的,第1个图形有1个三角形,第2个图形有5个三角形,第3个图形有11个三角形,第4个图形有19个三角形,…,依此规律,则第n个图形中三角形个数是
$n^2+n-1$
.答案
16.$n^2+n-1$
[解析]观察题图中三角形的个数与图形的序号的关系,有如下规律：
第1个图形:$1^2+0$;第2个图形:$2^2+1$;
第3个图形:$3^2+2$;第4个图形:$4^2+3$;$\dots$;
则第$n$个图形:$n^2+n-1$。
[解析]观察题图中三角形的个数与图形的序号的关系,有如下规律：
第1个图形:$1^2+0$;第2个图形:$2^2+1$;
第3个图形:$3^2+2$;第4个图形:$4^2+3$;$\dots$;
则第$n$个图形:$n^2+n-1$。
17. 已知 $A=2x^{2}+ax-7$，$B=bx^{2}-\dfrac{3}{2}x-\dfrac{5}{2}.$ 当$A-2B$ 的值与 $x$ 无关时，$a+b=$
-2
.答案
17.$-2$
[解析]$A-2B=(2x^2+ax-7)-2(bx^2-\dfrac{3}{2}x-\dfrac{5}{2})=2x^2+ax-7-2bx^2+3x+5=(2-2b)x^2+(a+3)x-2$。
$\because A-2B$的值与$x$无关，
$\therefore2-2b=0,a+3=0$，
$\therefore a=-3,b=1,\therefore a+b=-3+1=-2$。
[解析]$A-2B=(2x^2+ax-7)-2(bx^2-\dfrac{3}{2}x-\dfrac{5}{2})=2x^2+ax-7-2bx^2+3x+5=(2-2b)x^2+(a+3)x-2$。
$\because A-2B$的值与$x$无关，
$\therefore2-2b=0,a+3=0$，
$\therefore a=-3,b=1,\therefore a+b=-3+1=-2$。
18. 已知 $a,b,c,d$ 表示 4 个不同的正整数，满足 $a+b^{2}+c^{3}+d^{4}=90$，其中 $d＞1$，则 $a+b+c+d$ 的最大值是
70
.答案
18.70
[解析]要使$a+b+c+d$取最大值,$b,c,d$尽可能取最小值，
$\therefore d=2,c=1,b=3,a=90-(b^2+c^3+d^4)=90-(3^2+1^3+2^4)=64$，
$\therefore a+b+c+d$的最大值为$64+3+1+2=70$。
[解析]要使$a+b+c+d$取最大值,$b,c,d$尽可能取最小值，
$\therefore d=2,c=1,b=3,a=90-(b^2+c^3+d^4)=90-(3^2+1^3+2^4)=64$，
$\therefore a+b+c+d$的最大值为$64+3+1+2=70$。
三、解答题
19. (2025·常州武进区翠竹中学期中)先化简,再求值:
$5(3a^{2}b-ab^{2})-3(-ab^{2}-3a^{2}b)$,其中
$a=-1,b=\dfrac{1}{2}.$
19. (2025·常州武进区翠竹中学期中)先化简,再求值:
$5(3a^{2}b-ab^{2})-3(-ab^{2}-3a^{2}b)$,其中
$a=-1,b=\dfrac{1}{2}.$
答案
19.原式$=15a^2b-5ab^2+3ab^2+9a^2b$
$=24a^2b-2ab^2$，
当$a=-1,b=\dfrac{1}{2}$时,原式$=24×(-1)^2×\dfrac{1}{2}-2×(-1)×(\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{25}{2}$。
$=24a^2b-2ab^2$，
当$a=-1,b=\dfrac{1}{2}$时,原式$=24×(-1)^2×\dfrac{1}{2}-2×(-1)×(\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{25}{2}$。
20. (2025·镇江期末)[阅读]同学们,我们知道数可以比较大小,比如3＞2,,那么两个代数式可以比较大小吗?
例如:比较$3x+5$与$3x+3$的大小,我们可以这样做:
因为$(3x+5)-(3x+3)=3x+5-3x-3=$$2＞0,$
所以$3x+5＞3x+3.$
[尝试]比较代数式$3a^{2}+10a+3$与$2a^{2}+$$10a+1$的大小,说明理由.
例如:比较$3x+5$与$3x+3$的大小,我们可以这样做:
因为$(3x+5)-(3x+3)=3x+5-3x-3=$$2＞0,$
所以$3x+5＞3x+3.$
[尝试]比较代数式$3a^{2}+10a+3$与$2a^{2}+$$10a+1$的大小,说明理由.
答案
20.$3a^2+10a+3＞2a^2+10a+1$.理由如下：
$(3a^2+10a+3)-(2a^2+10a+1)$
$=3a^2+10a+3-2a^2-10a-1$
$=a^2+2\ge2$，
$\therefore3a^2+10a+3＞2a^2+10a+1$。
$(3a^2+10a+3)-(2a^2+10a+1)$
$=3a^2+10a+3-2a^2-10a-1$
$=a^2+2\ge2$，
$\therefore3a^2+10a+3＞2a^2+10a+1$。
21. 如图,在一块长为 $2x\ \mathrm{m}$、宽为 $y\ \mathrm{m}(2x＞y)$ 的长方形铁皮的四个角上,分别截去半径为$\dfrac{y}{2}\ \mathrm{m}$ 的四分之一圆.
(1)求剩余铁皮的面积(即阴影部分的面积).
(2)当 $x=6,y=8$ 时,剩余铁皮的面积是多少？($π$ 取 $3.14$)
(1)求剩余铁皮的面积(即阴影部分的面积).
(2)当 $x=6,y=8$ 时,剩余铁皮的面积是多少？($π$ 取 $3.14$)
答案
21.(1)由已知,得剩余铁皮的面积$=$长方形铁皮面积$-$截去半径为$\dfrac{y}{2}\ \mathrm{m}$的圆的面积$×\dfrac{1}{4}×4=2xy-π×\dfrac{y^2}{4}×\dfrac{1}{4}×4=(2xy-\dfrac{π y^2}{4})\mathrm{m}^2$。
故剩余铁皮的面积是$(2xy-\dfrac{π y^2}{4})\mathrm{m}^2$。
(2)当$x=6,y=8$时,剩余铁皮的面积为$2xy-\dfrac{π y^2}{4}\approx2×6×8-50.24=45.76(\mathrm{m}^2)$。
故剩余铁皮的面积是$45.76\ \mathrm{m}^2$。
故剩余铁皮的面积是$(2xy-\dfrac{π y^2}{4})\mathrm{m}^2$。
(2)当$x=6,y=8$时,剩余铁皮的面积为$2xy-\dfrac{π y^2}{4}\approx2×6×8-50.24=45.76(\mathrm{m}^2)$。
故剩余铁皮的面积是$45.76\ \mathrm{m}^2$。
