9. (2024·徐州期末) 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ B=90^{ \circ }$,$BC ⊥ CD$,$DE ⊥ AC$于点$E$,$AB=CE$,求证:$△ ABC≌△ CED$.

∵DE⊥AC,∠B=90°,
∴∠DEC=∠B=90°.
∵BC⊥CD,
∴∠BCD=90°,
∴∠B+∠BCD=180°,
∴CD//AB,
∴∠A=∠DCE.
在△ABC和△CED中,
$\begin{cases} ∠A=∠DCE, \\ AB=CE, \\ ∠B=∠DEC, \end{cases}$
∴△ABC≌△CED(ASA).

10. (2024·苏州张家港模拟)如图,已知 A , D , C , E 在同一直线上, BC 和 DF 相交于点 O,$AD=$$CE,AB// DF,AB=DF.$
(1)求证:$△ ABC≌ △ DFE$;
(2)连接 CF ,若$∠ BCF=54^{\circ },∠ DFC=20^{\circ },$求$∠ DFE$的度数.

(1)
∵AB//DF,
∴∠A=∠EDF.
∵AD=CE,
∴AD+CD=CE+CD,即AC=DE.
在△ABC和△DFE中,
$\begin{cases} AB=DF, \\ ∠A=∠FDE, \\ AC=DE, \end{cases}$
∴△ABC≌△DFE(SAS).
(2)
∵∠BCF=54°,∠DFC=20°,
∴∠DOC=∠BCF+∠DFC=54°+20°=74°.
∵AB//DF,
∴∠B=∠DOC=74°.
∵△ABC≌△DFE,
∴∠DFE=∠B=74°.

11. 实验班原创 如图,在$△ ABC$中,$AD$是$BC$边上的中线,$E,F$为直线$AD$上的点,连接$BE,CF$,且$BE// CF$.
(1)求证:$△ BDE≌△ CDF$;
(2)若$AE=15,AF=6$,试求$DE$的长.

(1)
∵AD是BC边上的中线,
∴BD=CD.
∵BE//CF,
∴∠DBE=∠DCF.
在△BDE和△CDF中,
$\begin{cases} ∠DBE=∠DCF, \\ BD=CD, \\ ∠BDE=∠CDF, \end{cases}$
∴△BDE≌△CDF(ASA).
(2)
∵AE=15,AF=6,
∴EF=AE-AF=15-6=9.
∵△BDE≌△CDF,
∴DE=DF.
∵DE+DF=EF=9,
∴$DE=\frac{9}{2}$.

12. 中考新考法 动点问题 如图，AE，BD 相交于点$C,AC=EC,BC=DC,AB=4\ \mathrm{cm},$点$P$从点$A$出发，沿$A\to B\to A$方向以$3\ \mathrm{cm/s}$的速度匀速运动，点$Q$从点$D$出发，沿$D\to E$方向以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度匀速运动.$P,Q$两点同时出发，当点$P$回到点$A$时，$P,Q$两点同时停止运动. 设点$P$的运动时间为$t(\mathrm{s}).$
(1) 当$t=1$时$,AP=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm};$当$t=2$时$,AP=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm};$
(2) 求证$:AB// DE;$
(3) 连接$PQ$，当线段$PQ$经过点$C$时，$DQ$的长为$\mathrm{cm}.$

(1)3 2 [解析]当t=1时,AP=3 cm;当t=2时,AP=4-(6-4)=2(cm).
(2)在△ABC和△EDC中,
$\begin{cases} AC=EC, \\ ∠ACB=∠ECD, \\ BC=DC, \end{cases}$
∴△ABC≌△EDC(SAS),
∴∠A=∠E,
∴AB//DE.
(3)1或2 [解析]如图,
根据题意,得DQ=t cm,则EQ=(4-t) cm,
由(1),得∠A=∠E,ED=AB=4 cm,
在△ACP和△ECQ中,
$\begin{cases} ∠A=∠E, \\ AC=EC, \\ ∠ACP=∠ECQ, \end{cases}$
∴△ACP≌△ECQ(ASA),
∴AP=EQ.
当$0≤t≤\frac{4}{3}$时,3t=4-t,解得t=1;
当$\frac{4}{3}＜t≤\frac{8}{3}$时,8-3t=4-t,解得t=2.
综上所述,当线段PQ经过点C时,t的值为1或2,
∴DQ的长为1 cm或2 cm.

13. (2024·吉林中考)如图,在平行四边形$ABCD$中,点$O$是$AB$的中点,连接$CO$并延长,交$DA$的延长线于点$E$.求证:$AE=BC$.

∵点O是AB的中点,
∴AO=OB.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD//BC,
∴∠B=∠EAO.又∠AOE=∠BOC,
∴△AOE≌△BOC(ASA),
∴AE=BC.