1. (2024·河北邯郸期末)认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段,完成所提出的问题.
(1)探究1:如图(1),在$△ ABC$中,$O$是$∠ ABC$与$∠ ACB$的平分线的交点,猜想$∠ BOC$与$∠ A$之间存在怎样的数量关系? 并说明你的猜想.
(2)探究2:如图(2),$O$是$∠ ABC$与$∠ ACD$的平分线的交点,试分析$∠ BOC$与$∠ A$有怎样的关系? 请说明理由.
(3)探究3:如图(3),$O$是$∠ DBC$与$∠ ECB$的平分线的交点,则$∠ BOC$与$∠ A$有怎样的关系? 请说明理由.

(1)$∠ BOC=90°+\frac{1}{2}∠ A$，理由如下：
$\because BO$ 和 $CO$ 分别是$∠ ABC$ 与$∠ ACB$ 的平分线，
$\therefore ∠ 1=\frac{1}{2}∠ ABC,∠ 2=\frac{1}{2}∠ ACB$，
$\therefore ∠ 1+∠ 2=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB).$
又$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A$，
$\therefore ∠ 1+∠ 2=\frac{1}{2}(180°-∠ A)=90°-\frac{1}{2}∠ A$，
$\therefore ∠ BOC=180°-(∠ 1+∠ 2)$
$=180°-(90°-\frac{1}{2}∠ A)$
$=90°+\frac{1}{2}∠ A.$
(2)$∠ BOC=\frac{1}{2}∠ A$. 理由如下：

如图,$\because BO$ 和 $CO$ 分别是$∠ ABC$ 与$∠ ACD$ 的平分线，
$\therefore ∠ 1=\frac{1}{2}∠ ABC,∠ 2=\frac{1}{2}∠ ACD.$
又$∠ ACD$ 是$△ ABC$ 的外角，
$\therefore ∠ ACD=∠ A+∠ ABC$，
$\therefore ∠ 2 = \frac{1}{2}(∠ A + ∠ ABC) = \frac{1}{2}∠ A+∠ 1.$
$\because ∠ 2$ 是$△ BOC$ 的外角，
$\therefore ∠ BOC=∠ 2-∠ 1=\frac{1}{2}∠ A+∠ 1-∠ 1=\frac{1}{2}∠ A.$
(3)$∠ BOC=90°-\frac{1}{2}∠ A$. 理由如下：
根据三角形的外角性质,得$∠ DBC = ∠ A + ∠ ACB$，$∠ BCE=∠ A+∠ ABC$，
$\because O$是$∠ DBC$与$∠ ECB$的平分线的交点，
$\therefore ∠ OBC=\frac{1}{2}∠ DBC,∠ OCB=\frac{1}{2}∠ BCE$，
$\therefore ∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ DBC+∠ BCE)=\frac{1}{2}(∠ A+∠ ACB+∠ A+∠ ABC).$
$\because ∠ A+∠ ACB+∠ ABC=180°$，
$\therefore ∠ OBC+∠ OCB=90°+\frac{1}{2}∠ A$，
$\therefore$ 在$△ OBC$ 中,$∠ BOC = 180°-(∠ OBC+∠ OCB) = 180°-(90°+\frac{1}{2}∠ A)=90°-\frac{1}{2}∠ A.$

2. (1)模型:如图(1),AD,BC 交于点 O.求证:
$∠ D+∠ C=∠ A+∠ B$;
(2)模型应用:如图(2),$∠ BAD$ 和 $∠ BCD$ 的平分线交于点 E.
①若$∠ D=20^{\circ },∠ B=60^{\circ }$,则$∠ E$ 的度数是;
②直接写出$∠ E$ 与$∠ D,∠ B$ 之间的数量关系是.
(3)类比应用:如图(3),$∠ BAD$ 的平分线 AE 与$∠ BCD$ 的平分线 CE 交于点 E.若$∠ D=m^{\circ }$,$∠ B=n^{\circ }(m＜n)$.求$∠ E$ 的度数.(用含有 m,n 的式子表示)

(1)$\because ∠ D+∠ C+∠ COD=∠ A+∠ B+∠ AOB=180°$，$∠ COD=∠ AOB$，
$\therefore ∠ D+∠ C=∠ A+∠ B.$
(2)①$40°$
②$∠ E=\frac{1}{2}(∠ D+∠ B)$
(3)
如图,延长 $BC$ 交 $AD$ 于点 $F$，
$\because ∠ BFD=∠ B+∠ BAD$，
$\therefore ∠ BCD=∠ BFD+∠ D=∠ B+∠ BAD+∠ D.$
$\because CE$ 平分$∠ BCD$,$AE$ 平分$∠ BAD$，
$\therefore ∠ ECD = ∠ ECB = \frac{1}{2}∠ BCD$，$∠ EAD=∠ EAB=\frac{1}{2}∠ BAD.$
由(1)得$∠ E+∠ ECB=∠ B+∠ EAB$，
$\therefore ∠ E=∠ B+∠ EAB-∠ ECB=∠ B+∠ BAE-\frac{1}{2}∠ BCD$
$=∠ B+∠ BAE-\frac{1}{2}(∠ B+∠ BAD+∠ D)=\frac{1}{2}(∠ B-∠ D).$
又$∠ D=m°,∠ B=n°,\therefore ∠ E=\frac{1}{2}(n-m)°.$