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24. (12分)如图,一次函数$y = kx + b$的图象与$x$轴交于点$A(2,0)$,与$y$轴交于点$B(0,4)$.
(1)求该一次函数的表达式;
(2)若$C$是坐标轴上一点,且$CA = CB$,求点$C$的坐标;
(3)如果$x$轴上有一动点$D$,当$∠ ABD = 45°$时,请求出符合条件的点$D$的坐标.
备用图
孝感市汉川市八年级期末考试数学真卷
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(1)求该一次函数的表达式;
(2)若$C$是坐标轴上一点,且$CA = CB$,求点$C$的坐标;
(3)如果$x$轴上有一动点$D$,当$∠ ABD = 45°$时,请求出符合条件的点$D$的坐标.
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答案
【点拨】本题考查一次函数的图象和性质,全等三角形的判定和性质.
【解析】(1)把 A(2,0),B(0,4) 分别代入 y=kx+b,得
$\begin{cases}2k+b=0,\\b=4,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-2,\\b=4,\end{cases}$
∴ 一次函数的表达式为 y=-2x+4.
(2)当点 C 在 x 轴上时,设点 C(x,0).
∵ A(2,0),B(0,4),
∴ CA²=(x-2)²,CB²=x²+16.
∵ CA=CB,
∴ (x-2)²=x²+16,
解得 x=-3,
∴ C(-3,0);
当点 C 在 y 轴上时,设点 C(0,y).
∵ A(2,0),B(0,4),
∴ CA²=4+y²,CB²=(y-4)².
∵ CA=CB,
∴ 4+y²=(y-4)²,
解得 $y=\dfrac{3}{2}$,
∴ $C(0,\dfrac{3}{2})$.
综上所述,点 C 的坐标为 (-3,0) 或 $(0,\dfrac{3}{2})$.
(3)过点 A 作 AH⊥BD 于点 H,过点 H 作 HN⊥x 轴于点 N,过点 B 作 BM⊥HN 于点 M. 设 H(m,n),
当 BD 在 AB 右侧时,如图 1.
∵ ∠ABD=45°,AH⊥BD,
∴ △ABH 是等腰直角三角形,
∴ ∠AHN=90°-∠BHM=∠MBH,
AH=BH.
∵ ∠ANH=∠M=90°,
∴ △AHN≌△HBM(AAS),
∴ AN=HM,HN=BM.
∵ A(2,0),B(0,4),
∴ $\begin{cases}m-2=4-n,\\n=m,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=3,\\n=3,\end{cases}$
∴ H(3,3).
∵ B(0,4),
∴ 直线 BD 的表达式为 $y=-\dfrac{1}{3}x+4$,令 y=0,解得 x=12,
∴ D(12,0);
当 BD 在 AB 左侧时,如图 2.
同理可得,△AHN≌△HBM(AAS),AN=HM,HN=BM.
∵ A(2,0),B(0,4),
∴ $\begin{cases}2-m=4-n,\\n=-m,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=-1,\\n=1,\end{cases}$
∴ H(-1,1),
∴ 直线 BD 的表达式为 y=3x+4,
令 y=0,得 $x=-\dfrac{4}{3}$,
∴ $D(-\dfrac{4}{3},0)$.
综上所述,点 D 的坐标为 (12,0) 或 $(-\dfrac{4}{3},0)$.
解析
【分析】
本题分三小问，第(1)问利用待定系数法，将已知点A、B的坐标代入一次函数解析式，解方程组即可求出表达式；第(2)问需分点C在x轴、y轴两种情况讨论，设出点C的坐标，根据CA=CB，利用两点间距离公式列方程求解；第(3)问需构造等腰直角三角形，通过全等三角形求出辅助点H的坐标，进而得到直线BD的解析式，结合D在x轴上求出坐标，注意分BD在AB右侧、左侧两种情况讨论。
【解析】
(1) 将A(2,0)、B(0,4)代入一次函数$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}2k + b = 0 \\ b = 4\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = -2 \\ b = 4\end{cases}$
∴一次函数表达式为$y = -2x + 4$。
(2) 分两种情况：
① 当点C在x轴上时，设$C(x,0)$，
∵$A(2,0)$，$B(0,4)$，
∴$CA^2=(x-2)^2$，$CB^2=x^2 + 4^2 = x^2 + 16$，
由$CA=CB$得：$(x-2)^2 = x^2 + 16$，
展开得$x^2 -4x +4 = x^2 +16$，
解得$x=-3$，即$C(-3,0)$；
② 当点C在y轴上时，设$C(0,y)$，
则$CA^2=2^2 + y^2 = 4 + y^2$，$CB^2=(y-4)^2$，
由$CA=CB$得：$4 + y^2 = (y-4)^2$，
展开得$4 + y^2 = y^2 -8y +16$，
解得$y=\frac{3}{2}$，即$C(0,\frac{3}{2})$；
综上，点C的坐标为$(-3,0)$或$(0,\frac{3}{2})$。
(3) 分两种情况：
① 当BD在AB右侧时，如图1，过A作$AH⊥BD$于H，过H作$HN⊥x$轴于N，过B作$BM⊥HN$于M，
∵$∠ABD=45°$，$AH⊥BD$，
∴△ABH是等腰直角三角形，$AH=BH$，
易证$△ AHN≌△ HBM(AAS)$，得$AN=HM$，$HN=BM$，
设$H(m,n)$，$A(2,0)$，$B(0,4)$，则：
$\begin{cases}m - 2 = 4 - n \\ n = m\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=3 \\ n=3\end{cases}$，即$H(3,3)$，
设直线BD解析式为$y=ax+c$，代入$B(0,4)$、$H(3,3)$，得：
$\begin{cases}c=4 \\ 3a + c=3\end{cases}$，解得$a=-\frac{1}{3}$，$c=4$，
∴直线BD：$y=-\frac{1}{3}x +4$，令$y=0$，得$x=12$，即$D(12,0)$；
② 当BD在AB左侧时，如图2，同理$△ AHN≌△ HBM(AAS)$，
设$H(m,n)$，则：$\begin{cases}2 - m =4 -n \\ n=-m\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=-1 \\n=1\end{cases}$，即$H(-1,1)$，
设直线BD解析式为$y=ax+c$，代入$B(0,4)$、$H(-1,1)$，得：
$\begin{cases}c=4 \\ -a +c=1\end{cases}$，解得$a=3$，$c=4$，
∴直线BD：$y=3x+4$，令$y=0$，得$x=-\frac{4}{3}$，即$D(-\frac{4}{3},0)$；
综上，点D的坐标为$(12,0)$或$(-\frac{4}{3},0)$。
【答案】
(1) $y=-2x+4$；
(2) $C(-3,0)$或$(0,\frac{3}{2})$；
(3) $D(12,0)$或$(-\frac{4}{3},0)$；
【知识点】
一次函数表达式、两点间距离、全等三角形性质
【点评】
本题综合考查一次函数、等腰三角形、等腰直角三角形的相关知识，涉及分类讨论思想，第(1)(2)问为基础题型，第(3)问需构造全等三角形求解，对几何转化能力要求较高，是期末考的典型综合题。
【难度系数】
0.5
本题分三小问，第(1)问利用待定系数法，将已知点A、B的坐标代入一次函数解析式，解方程组即可求出表达式；第(2)问需分点C在x轴、y轴两种情况讨论，设出点C的坐标，根据CA=CB，利用两点间距离公式列方程求解；第(3)问需构造等腰直角三角形，通过全等三角形求出辅助点H的坐标，进而得到直线BD的解析式，结合D在x轴上求出坐标，注意分BD在AB右侧、左侧两种情况讨论。
【解析】
(1) 将A(2,0)、B(0,4)代入一次函数$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}2k + b = 0 \\ b = 4\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = -2 \\ b = 4\end{cases}$
∴一次函数表达式为$y = -2x + 4$。
(2) 分两种情况：
① 当点C在x轴上时，设$C(x,0)$，
∵$A(2,0)$，$B(0,4)$，
∴$CA^2=(x-2)^2$，$CB^2=x^2 + 4^2 = x^2 + 16$，
由$CA=CB$得：$(x-2)^2 = x^2 + 16$，
展开得$x^2 -4x +4 = x^2 +16$，
解得$x=-3$，即$C(-3,0)$；
② 当点C在y轴上时，设$C(0,y)$，
则$CA^2=2^2 + y^2 = 4 + y^2$，$CB^2=(y-4)^2$，
由$CA=CB$得：$4 + y^2 = (y-4)^2$，
展开得$4 + y^2 = y^2 -8y +16$，
解得$y=\frac{3}{2}$，即$C(0,\frac{3}{2})$；
综上，点C的坐标为$(-3,0)$或$(0,\frac{3}{2})$。
(3) 分两种情况：
① 当BD在AB右侧时，如图1，过A作$AH⊥BD$于H，过H作$HN⊥x$轴于N，过B作$BM⊥HN$于M，
∵$∠ABD=45°$，$AH⊥BD$，
∴△ABH是等腰直角三角形，$AH=BH$，
易证$△ AHN≌△ HBM(AAS)$，得$AN=HM$，$HN=BM$，
设$H(m,n)$，$A(2,0)$，$B(0,4)$，则：
$\begin{cases}m - 2 = 4 - n \\ n = m\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=3 \\ n=3\end{cases}$，即$H(3,3)$，
设直线BD解析式为$y=ax+c$，代入$B(0,4)$、$H(3,3)$，得：
$\begin{cases}c=4 \\ 3a + c=3\end{cases}$，解得$a=-\frac{1}{3}$，$c=4$，
∴直线BD：$y=-\frac{1}{3}x +4$，令$y=0$，得$x=12$，即$D(12,0)$；
② 当BD在AB左侧时，如图2，同理$△ AHN≌△ HBM(AAS)$，
设$H(m,n)$，则：$\begin{cases}2 - m =4 -n \\ n=-m\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=-1 \\n=1\end{cases}$，即$H(-1,1)$，
设直线BD解析式为$y=ax+c$，代入$B(0,4)$、$H(-1,1)$，得：
$\begin{cases}c=4 \\ -a +c=1\end{cases}$，解得$a=3$，$c=4$，
∴直线BD：$y=3x+4$，令$y=0$，得$x=-\frac{4}{3}$，即$D(-\frac{4}{3},0)$；
综上，点D的坐标为$(12,0)$或$(-\frac{4}{3},0)$。
【答案】
(1) $y=-2x+4$；
(2) $C(-3,0)$或$(0,\frac{3}{2})$；
(3) $D(12,0)$或$(-\frac{4}{3},0)$；
【知识点】
一次函数表达式、两点间距离、全等三角形性质
【点评】
本题综合考查一次函数、等腰三角形、等腰直角三角形的相关知识，涉及分类讨论思想，第(1)(2)问为基础题型，第(3)问需构造全等三角形求解，对几何转化能力要求较高，是期末考的典型综合题。
【难度系数】
0.5
