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4.(杭州市萧山区)计算:
(1)$\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}} - 2\sqrt{\frac{1}{2}}$。
(2)$(\sqrt{5} - \sqrt{2}) · (\sqrt{2} + \sqrt{5})$。
(1)$\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}} - 2\sqrt{\frac{1}{2}}$。
(2)$(\sqrt{5} - \sqrt{2}) · (\sqrt{2} + \sqrt{5})$。
答案
(1)原式$=\sqrt{\dfrac{24}{3}}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$。
(2)原式$=5-2=3$。
(2)原式$=5-2=3$。
5. (杭州市上城区)
(1)计算：$\sqrt{\dfrac{2}{3}} - ( \dfrac{1}{6}\sqrt{24} - \dfrac{3}{2}\sqrt{12} )$(结果保留根号)。 (2)分析(1)的结果在哪两个整数之间。
(1)计算：$\sqrt{\dfrac{2}{3}} - ( \dfrac{1}{6}\sqrt{24} - \dfrac{3}{2}\sqrt{12} )$(结果保留根号)。 (2)分析(1)的结果在哪两个整数之间。
答案
(1)原式$=\dfrac{\sqrt{6}}{3}-\dfrac{1}{6}×2\sqrt{6}+\dfrac{3}{2}×2\sqrt{3}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}-\dfrac{\sqrt{6}}{3}+3\sqrt{3}=3\sqrt{3}$。
(2)因为$3\sqrt{3}=\sqrt{27}$,且$25＜27＜36$,所以$5＜3\sqrt{3}＜6$。
所以(1)的结果在5和6之间。
(2)因为$3\sqrt{3}=\sqrt{27}$,且$25＜27＜36$,所以$5＜3\sqrt{3}＜6$。
所以(1)的结果在5和6之间。
例4 (杭州市拱墅区)若$\sqrt{5}$的整数部分为$a$，小数部分为$b$，写出$a,b$的值，化简并计算$\dfrac{a-1}{b}-ab$的值。
答案
因为$2＜\sqrt{5}＜3$,所以$a=2,b=\sqrt{5}-2$。所以$\dfrac{a-1}{b}-ab=\dfrac{1}{\sqrt{5}-2}-2×(\sqrt{5}-2)=\sqrt{5}+2-2\sqrt{5}+4=-\sqrt{5}+6$。
6. 当$a=\sqrt{3}+\sqrt{2},b=\sqrt{3}-\sqrt{2}$时,求代数式$a^2 - ab + b^2$的值。
答案
因为$a=\sqrt{3}+\sqrt{2},b=\sqrt{3}-\sqrt{2}$,所以$a-b=2\sqrt{2},ab=1$。
所以$a^2-ab+b^2=(a-b)^2+ab=(2\sqrt{2})^2+1=8+1=9$。
所以$a^2-ab+b^2=(a-b)^2+ab=(2\sqrt{2})^2+1=8+1=9$。
