12. 亮点原创·已知在钝角三角形ABC中，BC＞AC，∠C=30°，则∠B的度数的取值范围为。

12. $0°＜∠B＜60°$ 解析: 因为$∠A+∠B+∠C=180°$,$∠C=30°$,所以$∠A+∠B=180°-∠C=150°$,即$∠A=150°-∠B$. 又$BC＞AC$,所以$∠A＞∠B$,即$150°-∠B＞∠B$,解得$∠B＜75°$. 又$△ABC$是钝角三角形,所以$∠A＞90°$,即$150°-∠B＞90°$,解得$∠B＜60°$. 又$∠B＞0°$,所以$∠B$的度数的取值范围为$0°＜∠B＜60°$.

13. 已知等腰三角形的三边长分别是$4x-2$，$x+1$，$15-6x$，则该等腰三角形的周长是。

13. 12.3 解析: 令$a=4x-2,b=x+1,c=15-6x$. 分类讨论如下:① 若$a=b$,则$4x-2=x+1$,解得$x=1$. 则$a=2,b=2,c=9$. 因为$2+2＜9$,所以以2,2,9为三边长不能组成三角形,不符合题意,舍去;② 若$a=c$,则$4x-2=15-6x$,解得$x=1.7$. 则$a=4.8,b=2.7,c=4.8$. 因为$4.8+4.8＞2.7$,所以以2.7,4.8,4.8为三边长能组成三角形. 所以该等腰三角形的周长是$4.8+2.7+4.8=12.3$;③ 若$b=c$,则$x+1=15-6x$,解得$x=2$. 则$a=6,b=3,c=3$. 因为$3+3=6$,所以以3,3,6为三边长不能组成三角形,不符合题意,舍去. 综上,该等腰三角形的周长是12.3.

14. 已知周长为 120 的$△ ABC$的三边长分别为$a,b,c$，且$a - b = 28$，$c - a = 4$，求$a,b,c$的值.

14. 因为$a-b=28,c-a=4$,所以$b=a-28,c=a+4$. 因为$△ABC$的周长为120,所以$a+b+c=120$,即$a+(a-28)+(a+4)=120$,解得$a=48$. 所以$b=20,c=52$.

15. (2026·江苏扬州月考)定义:一个三角形的一边长是另一边长的2倍,这样的三角形叫做“倍长三角形”.若$△ ABC$是“倍长三角形”,且两条边的长分别为4和6,则它第三条边的长为.

15. 3或8 解析: 设$△ABC$第三条边的长是$x$. 因为$△ABC$的两边长分别为4和6,所以由三角形的三边关系,得$6-4＜x＜6+4$,即$2＜x＜10$. 又$△ABC$是“倍长三角形”,所以分类讨论如下:若$2x=4$,则$x=2$,不符合题意,舍去;若$2x=6$,则$x=3$;若$x=2×4$,则$x=8$;若$x=2×6$,则$x=12$,不符合题意,舍去. 综上,$△ABC$第三条边的长是3或8.

16. 已知一个三角形三条边的长均为正整数. 若其中仅有一条边的长为5,且它不是最短边,则满足条件的三角形的个数是.

16. 10 解析: 因为该三角形三条边的长均为正整数,其中仅有一条边的长为5,且它不是最短边,所以分类讨论如下:① 当5是最长边的长时,三边长可能的情况有3,4,5;4,4,5;3,3,5;4,2,5,共4种;② 当5是第二长边的长时,三边长可能的情况有2,5,6;3,5,7;3,5,6;4,5,6;4,5,7;4,5,8,共6种. 综上,满足条件的三角形的个数是$4+6=10$.

17. 新素养 应用意识【问题探究】
数学兴趣小组在一次活动中，探索三角形的三边关系.
小明进行以下探究：
如图，在△ABC中，由“两点之间的所有连线中，线段最短”，得$AB + AC ＞ BC$，$AB + BC ＞ AC$，$BC + AC ＞ AB$，从而可得到结论：
三角形中任意两边之和大于第三边.

小红在小明的基础上进行了补充：
若能知道三条线段之间的大小关系，只要较短的两条线段长度之和大于最长的线段长度，就可以判断给定的三条线段能首尾相接构成三角形.
【问题解决】
（1）若三角形的三边长分别为$x + 4$，$x - 1$，$x - 2$，求$x$的取值范围；
（2）若一个三角形的三边长都是整数，且最长边的长为10，另两边的长相差3，求该三角形最短边的长的最小值；
（3）已知在△ABC中，$AB = AC$，$BC = 10$，且它的周长不大于30，求AB的长的取值范围.

17. (1) 因为三角形的三边长分别为$x+4,x-1,x-2$,所以$x-2+x-1＞x+4$,解得$x＞7$. 则$x$的取值范围为$x＞7$.
(2) 设该三角形最短边的长为$x$,则它较长边的长为$x+3$. 由题意,得$x+x+3＞10$,解得$x＞\frac{7}{2}$. 因为该三角形的三边长都是整数,所以该三角形最短边的长的最小值为4.
(3) 设$AB=x$. 因为$AB=AC$,所以$AC=x$. 由题意,得$\begin{cases}2x＞10,\\2x+10≤30,\end{cases}$解得$5＜x≤10$. 则$AB$的长的取值范围为$5＜AB≤10$.