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趣味无穷。
丢番图的年龄之谜
古希腊数学家丢番图的墓碑上刻着一道方程题：“他的童年占一生的$\frac{1}{6}$，又过一生的$\frac{1}{12}$开始长胡子，再过一生的$\frac{1}{7}$结婚，婚后5年生子，儿子活了他年龄的一半，他在儿子死后4年去世。”
设丢番图活了$x$岁。
$\frac{1}{6}x + \frac{1}{12}x + \frac{1}{7}x +5 + \frac{1}{2}x +4 =x$，
解这个一元一次方程得$x=84$。
如果用两个未知数来求解呢？
设他结婚时为$y$岁，去世时为$x$岁，
同样解得$x=84,y=33$。
思考：有时候一个问题可以用一元方程，也可以用二元方程组，哪种更直观？
丢番图的年龄之谜
古希腊数学家丢番图的墓碑上刻着一道方程题：“他的童年占一生的$\frac{1}{6}$，又过一生的$\frac{1}{12}$开始长胡子，再过一生的$\frac{1}{7}$结婚，婚后5年生子，儿子活了他年龄的一半，他在儿子死后4年去世。”
设丢番图活了$x$岁。
$\frac{1}{6}x + \frac{1}{12}x + \frac{1}{7}x +5 + \frac{1}{2}x +4 =x$，
解这个一元一次方程得$x=84$。
如果用两个未知数来求解呢？
设他结婚时为$y$岁，去世时为$x$岁，
同样解得$x=84,y=33$。
思考：有时候一个问题可以用一元方程，也可以用二元方程组，哪种更直观？
答案
解：
先整理给定的二元一次方程组：
$\begin{cases}y=\frac{1}{6}x+\frac{1}{12}x+\frac{1}{7}x \quad ①\\x=y+5+\frac{1}{2}x+4 \quad ②\end{cases}$
化简方程①：
通分计算得 $y=\frac{14+7+12}{84}x=\frac{33}{84}x=\frac{11}{28}x$
化简方程②：
移项合并得 $x-\frac{1}{2}x=y+9$，即 $\frac{1}{2}x=y+9$
将$y=\frac{11}{28}x$代入$\frac{1}{2}x=y+9$：
$\frac{1}{2}x=\frac{11}{28}x+9$
$\frac{14}{28}x-\frac{11}{28}x=9$
$\frac{3}{28}x=9$
解得 $x=84$
把$x=84$代入$y=\frac{11}{28}x$，得 $y=33$。
思考解答：二元方程组将题目里两个独立未知量（结婚时的年龄、总年龄）的等量关系分别对应列式，和题目的分段叙事逻辑贴合度更高，更直观；一元方程需要把所有相关量都用总年龄这一个未知数表示，列式更简洁，但需要先梳理所有组成部分和总年龄的关系。
先整理给定的二元一次方程组：
$\begin{cases}y=\frac{1}{6}x+\frac{1}{12}x+\frac{1}{7}x \quad ①\\x=y+5+\frac{1}{2}x+4 \quad ②\end{cases}$
化简方程①：
通分计算得 $y=\frac{14+7+12}{84}x=\frac{33}{84}x=\frac{11}{28}x$
化简方程②：
移项合并得 $x-\frac{1}{2}x=y+9$，即 $\frac{1}{2}x=y+9$
将$y=\frac{11}{28}x$代入$\frac{1}{2}x=y+9$：
$\frac{1}{2}x=\frac{11}{28}x+9$
$\frac{14}{28}x-\frac{11}{28}x=9$
$\frac{3}{28}x=9$
解得 $x=84$
把$x=84$代入$y=\frac{11}{28}x$，得 $y=33$。
思考解答：二元方程组将题目里两个独立未知量（结婚时的年龄、总年龄）的等量关系分别对应列式，和题目的分段叙事逻辑贴合度更高，更直观；一元方程需要把所有相关量都用总年龄这一个未知数表示，列式更简洁，但需要先梳理所有组成部分和总年龄的关系。
解析
【分析】
本题是利用二元一次方程组解决实际问题的题型，解题思路如下：首先先对给出的两个方程分别进行化简，第一个方程是结婚年龄y与总年龄x的关系，先将等式右侧含x的分数项通分合并，得到y关于x的最简表达式；第二个方程是总年龄x的构成关系，先移项合并同类项，简化为x与y的简单关系式。之后采用代入消元法，将y的表达式代入简化后的第二个方程，得到仅含x的一元一次方程，求解得到x的值，再将x的值代回y的表达式即可求出y。对比一元、二元方程的建模思路时，可结合列式时对应题干信息的方式分析直观性。
【解析】
先整理给定的二元一次方程组：
$\begin{cases}y=\frac{1}{6}x+\frac{1}{12}x+\frac{1}{7}x \quad ①\\x=y+5+\frac{1}{2}x+4 \quad ②\end{cases}$
1. 化简方程①：
6、12、7的最小公倍数是84，通分计算得：
$y=\frac{14}{84}x+\frac{7}{84}x+\frac{12}{84}x=\frac{14+7+12}{84}x=\frac{33}{84}x=\frac{11}{28}x$
2. 化简方程②：
先合并常数项$5+4=9$，再将含x的项移到左侧合并：
$x-\frac{1}{2}x=y+9$，即$\frac{1}{2}x=y+9$
3. 代入消元求解：
将$y=\frac{11}{28}x$代入$\frac{1}{2}x=y+9$，得：
$\frac{1}{2}x=\frac{11}{28}x+9$
通分后移项合并：$\frac{14}{28}x-\frac{11}{28}x=9$，即$\frac{3}{28}x=9$
解得$x=9÷\frac{3}{28}=84$
4. 求y的值：
把$x=84$代入$y=\frac{11}{28}x$，得$y=\frac{11}{28}×84=33$
思考解答：二元方程组将题目里两个独立未知量（结婚时的年龄、总年龄）的等量关系分别对应列式，和题目的分段叙事逻辑贴合度更高，更直观；一元方程需要把所有相关量都用总年龄这一个未知数表示，列式更简洁，但需要先梳理所有组成部分和总年龄的关系。
【答案】
$\begin{cases}x=84 \\ y=33\end{cases}$；二元方程组更贴合题目叙事逻辑、更直观，一元方程列式更简洁但对数量关系梳理要求更高。
【知识点】
二元一次方程组解法，代入消元法，分数通分运算
【点评】
本题结合经典的丢番图年龄数学史命题，既考查了二元一次方程组的基础求解能力，又引导学生对比不同的方程建模思路，能帮助学生更好地理解方程建模的本质，提升分析实际问题中数量关系的能力。
【难度系数】
0.7
本题是利用二元一次方程组解决实际问题的题型，解题思路如下：首先先对给出的两个方程分别进行化简，第一个方程是结婚年龄y与总年龄x的关系，先将等式右侧含x的分数项通分合并，得到y关于x的最简表达式；第二个方程是总年龄x的构成关系，先移项合并同类项，简化为x与y的简单关系式。之后采用代入消元法，将y的表达式代入简化后的第二个方程，得到仅含x的一元一次方程，求解得到x的值，再将x的值代回y的表达式即可求出y。对比一元、二元方程的建模思路时，可结合列式时对应题干信息的方式分析直观性。
【解析】
先整理给定的二元一次方程组：
$\begin{cases}y=\frac{1}{6}x+\frac{1}{12}x+\frac{1}{7}x \quad ①\\x=y+5+\frac{1}{2}x+4 \quad ②\end{cases}$
1. 化简方程①：
6、12、7的最小公倍数是84，通分计算得：
$y=\frac{14}{84}x+\frac{7}{84}x+\frac{12}{84}x=\frac{14+7+12}{84}x=\frac{33}{84}x=\frac{11}{28}x$
2. 化简方程②：
先合并常数项$5+4=9$，再将含x的项移到左侧合并：
$x-\frac{1}{2}x=y+9$，即$\frac{1}{2}x=y+9$
3. 代入消元求解：
将$y=\frac{11}{28}x$代入$\frac{1}{2}x=y+9$，得：
$\frac{1}{2}x=\frac{11}{28}x+9$
通分后移项合并：$\frac{14}{28}x-\frac{11}{28}x=9$，即$\frac{3}{28}x=9$
解得$x=9÷\frac{3}{28}=84$
4. 求y的值：
把$x=84$代入$y=\frac{11}{28}x$，得$y=\frac{11}{28}×84=33$
思考解答：二元方程组将题目里两个独立未知量（结婚时的年龄、总年龄）的等量关系分别对应列式，和题目的分段叙事逻辑贴合度更高，更直观；一元方程需要把所有相关量都用总年龄这一个未知数表示，列式更简洁，但需要先梳理所有组成部分和总年龄的关系。
【答案】
$\begin{cases}x=84 \\ y=33\end{cases}$；二元方程组更贴合题目叙事逻辑、更直观，一元方程列式更简洁但对数量关系梳理要求更高。
【知识点】
二元一次方程组解法，代入消元法，分数通分运算
【点评】
本题结合经典的丢番图年龄数学史命题，既考查了二元一次方程组的基础求解能力，又引导学生对比不同的方程建模思路，能帮助学生更好地理解方程建模的本质，提升分析实际问题中数量关系的能力。
【难度系数】
0.7
校园绿植角绿萝的种植面积为$8\ \mathrm{m}^2$，吊兰的种植面积为$6\ \mathrm{m}^2$，由生物学知识可知绿萝每平方米日需水量比吊兰多0.5升，绿植角两种植物每日总需水
答案
解:设吊兰每平方米的日需水量为x升,绿萝每平方米的日需水量为y升.
根据题意,得$\begin{cases} y-x=0.5,\\ 8y+6x=39, \end{cases}$
解方程组,得$\begin{cases} x=2.5,\\ y=3, \end{cases}$
故吊兰每日的总灌溉量为$6× 2.5=15$(升),绿萝每日的总灌溉量为$8× 3=24$(升).
根据题意,得$\begin{cases} y-x=0.5,\\ 8y+6x=39, \end{cases}$
解方程组,得$\begin{cases} x=2.5,\\ y=3, \end{cases}$
故吊兰每日的总灌溉量为$6× 2.5=15$(升),绿萝每日的总灌溉量为$8× 3=24$(升).
解析
【分析】
这是一道二元一次方程组的实际应用题，解题时首先梳理题干信息：存在两个未知量，分别是吊兰每平方米日需水量、绿萝每平方米日需水量；同时存在两个明确的等量关系：①绿萝每平方米日需水量比吊兰多0.5升；②两种植物每日总需水量为39升。我们可以先设两个未知数对应未知量，再根据等量关系列出二元一次方程组，求解得到每平方米需水量后，分别乘对应种植面积，即可得到两种植物的每日总灌溉量。
【解析】
解：设吊兰每平方米的日需水量为$x$升，绿萝每平方米的日需水量为$y$升。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} y-x=0.5\\ 8y+6x=39 \end{cases}$
由第一个方程变形得$y=x+0.5$，将其代入第二个方程：
$8(x+0.5)+6x=39$
展开计算：$8x+4+6x=39$，合并同类项得$14x=35$，解得$x=2.5$。
把$x=2.5$代入$y=x+0.5$，得$y=3$。
进一步计算总灌溉量：
吊兰每日总灌溉量：$6×2.5=15$（升）
绿萝每日总灌溉量：$8×3=24$（升）
【答案】
吊兰每日总灌溉量为15升，绿萝每日总灌溉量为24升。
【知识点】
二元一次方程组应用、代入消元法、等量关系提取
【点评】
本题属于跨学科实践类题目，结合绿植养护的生活场景，考查了方程思想在实际问题中的应用，解题核心是准确找到题干中的等量关系，同时要注意最终所求为总灌溉量，不要误将每平方米需水量当作最终结果。
【难度系数】
0.75
这是一道二元一次方程组的实际应用题，解题时首先梳理题干信息：存在两个未知量，分别是吊兰每平方米日需水量、绿萝每平方米日需水量；同时存在两个明确的等量关系：①绿萝每平方米日需水量比吊兰多0.5升；②两种植物每日总需水量为39升。我们可以先设两个未知数对应未知量，再根据等量关系列出二元一次方程组，求解得到每平方米需水量后，分别乘对应种植面积，即可得到两种植物的每日总灌溉量。
【解析】
解：设吊兰每平方米的日需水量为$x$升，绿萝每平方米的日需水量为$y$升。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} y-x=0.5\\ 8y+6x=39 \end{cases}$
由第一个方程变形得$y=x+0.5$，将其代入第二个方程：
$8(x+0.5)+6x=39$
展开计算：$8x+4+6x=39$，合并同类项得$14x=35$，解得$x=2.5$。
把$x=2.5$代入$y=x+0.5$，得$y=3$。
进一步计算总灌溉量：
吊兰每日总灌溉量：$6×2.5=15$（升）
绿萝每日总灌溉量：$8×3=24$（升）
【答案】
吊兰每日总灌溉量为15升，绿萝每日总灌溉量为24升。
【知识点】
二元一次方程组应用、代入消元法、等量关系提取
【点评】
本题属于跨学科实践类题目，结合绿植养护的生活场景，考查了方程思想在实际问题中的应用，解题核心是准确找到题干中的等量关系，同时要注意最终所求为总灌溉量，不要误将每平方米需水量当作最终结果。
【难度系数】
0.75
