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6. 七年级五班同学在操场上整队，要站成笔直的一列，老师让第一位同学和队列的最后一位同学拉住绳子的两端并拉直，其他同学靠着绳子有序站立，就能保证站成笔直的队列。请说出其中依据的数学原理。你能再举一个生活中的例子吗？
答案
6. 两点确定一条直线。举例略,合理即可。
解析
【分析】
解题时先提取题目中的关键要素：首尾两位同学的位置是两个固定的点，拉直的绳子是经过这两个点的笔直的线，其他同学沿绳子站就能保证队列齐整。结合所学的直线基本性质，可直接对应到“两点确定一条直线”的公理，即经过两个固定点有且只有一条直线，只要所有同学都在这两个点确定的直线上，队列就是笔直的。举生活例子时，只要找“固定两个点来确定一条直线”的实际场景即可。
【解析】
1. 原理说明：队列的第一位和最后一位同学对应两个固定的点，根据直线的基本性质，经过这两个点有且只有唯一的一条直线，拉直的绳子就代表这条唯一的直线。其他同学靠着绳子站立，就都在这条直线上，因此能保证队列是笔直的，依据的数学原理为两点确定一条直线。
2. 生活举例：例如木工师傅锯木料前，会在木料两端标记两个点，沿这两个点弹出墨线，沿墨线锯就能得到笔直的木料；又如建筑工人砌墙时在墙的两端立桩拉线，沿直线砌出的墙十分整齐（任举一个合理例子即可）。
【答案】
依据的数学原理是两点确定一条直线。生活举例如：木工师傅通过两端定点弹墨线锯直木料（合理即可）。
【知识点】
两点确定一条直线
【点评】
本题结合生活场景考查直线基本性质的应用，引导大家学会用数学知识解释生活中的常见现象，体会数学的实用性。
【难度系数】
0.9
解题时先提取题目中的关键要素：首尾两位同学的位置是两个固定的点，拉直的绳子是经过这两个点的笔直的线，其他同学沿绳子站就能保证队列齐整。结合所学的直线基本性质，可直接对应到“两点确定一条直线”的公理，即经过两个固定点有且只有一条直线，只要所有同学都在这两个点确定的直线上，队列就是笔直的。举生活例子时，只要找“固定两个点来确定一条直线”的实际场景即可。
【解析】
1. 原理说明：队列的第一位和最后一位同学对应两个固定的点，根据直线的基本性质，经过这两个点有且只有唯一的一条直线，拉直的绳子就代表这条唯一的直线。其他同学靠着绳子站立，就都在这条直线上，因此能保证队列是笔直的，依据的数学原理为两点确定一条直线。
2. 生活举例：例如木工师傅锯木料前，会在木料两端标记两个点，沿这两个点弹出墨线，沿墨线锯就能得到笔直的木料；又如建筑工人砌墙时在墙的两端立桩拉线，沿直线砌出的墙十分整齐（任举一个合理例子即可）。
【答案】
依据的数学原理是两点确定一条直线。生活举例如：木工师傅通过两端定点弹墨线锯直木料（合理即可）。
【知识点】
两点确定一条直线
【点评】
本题结合生活场景考查直线基本性质的应用，引导大家学会用数学知识解释生活中的常见现象，体会数学的实用性。
【难度系数】
0.9
7. 如图，棋盘上有若干枚黑、白棋子，经过两枚棋子画一条直线。若这条直线上还有第三枚棋子，就称“三棋共线”。图中满足条件的直线共有
4
条。答案
7. 4
解析
【分析】
我们要找出所有满足“三棋共线”的直线，可按“先水平、再竖直、最后斜向”的固定顺序逐一排查，避免漏数或多数：第一步先检查每条水平线上的棋子数量，第二步检查每条竖直线上的棋子数量，第三步检查斜向直线上的棋子数量，每找到1条符合要求的直线就记录，最后汇总总数即可。
【解析】
我们按顺序排查：
1. 最上方水平直线：经过左上角黑棋、上排中间黑棋、上排右侧白棋，共3枚棋子，符合条件，为第1条。
2. 最下方水平直线：经过左下角黑棋、下排中间白棋、右下角黑棋，共3枚棋子，符合条件，为第2条。
3. 中间竖直直线：经过上排中间黑棋、棋盘中间白棋、下排中间白棋，共3枚棋子，符合条件，为第3条。
4. 斜向直线：经过左下角黑棋、棋盘中间白棋、上排右侧白棋，共3枚棋子，符合条件，为第4条。
其余直线上均只有2枚棋子，不符合要求。因此满足条件的直线共有4条。
【答案】
4
【知识点】
直线的性质；共线判断
【点评】
本题是基础的几何计数类题目，核心考查对直线特征的理解，解题的关键是按固定顺序排查，避免漏数、重复计数的问题。
【难度系数】
0.7
我们要找出所有满足“三棋共线”的直线，可按“先水平、再竖直、最后斜向”的固定顺序逐一排查，避免漏数或多数：第一步先检查每条水平线上的棋子数量，第二步检查每条竖直线上的棋子数量，第三步检查斜向直线上的棋子数量，每找到1条符合要求的直线就记录，最后汇总总数即可。
【解析】
我们按顺序排查：
1. 最上方水平直线：经过左上角黑棋、上排中间黑棋、上排右侧白棋，共3枚棋子，符合条件，为第1条。
2. 最下方水平直线：经过左下角黑棋、下排中间白棋、右下角黑棋，共3枚棋子，符合条件，为第2条。
3. 中间竖直直线：经过上排中间黑棋、棋盘中间白棋、下排中间白棋，共3枚棋子，符合条件，为第3条。
4. 斜向直线：经过左下角黑棋、棋盘中间白棋、上排右侧白棋，共3枚棋子，符合条件，为第4条。
其余直线上均只有2枚棋子，不符合要求。因此满足条件的直线共有4条。
【答案】
4
【知识点】
直线的性质；共线判断
【点评】
本题是基础的几何计数类题目，核心考查对直线特征的理解，解题的关键是按固定顺序排查，避免漏数、重复计数的问题。
【难度系数】
0.7
8. 中国高铁已经成为我国对外宣传的一张靓丽名片。如图，车次G7是从北京到上海的单程高铁，仅需4小时35分即可到达，其经停站为北京南—济南西—南京南—无锡东—上海虹桥。本列高铁二等座的车票种类共有
10
种。答案
8. 10
解析
【分析】
要计算单程高铁的二等座车票种类，首先明确：两个不同站点之间对应1种单程车票，因此我们可以把5个站点看作同一直线上的5个点，不同的线段就对应不同的车票，问题就转化为求这条直线上5个点能组成多少条不同的线段。我们可以按起点分类计数：从第一个站点出发，到后续每个站点都对应1种车票，依次类推，最后把所有情况相加即可，也可以用线段计数的规律直接计算。
【解析】
已知共有5个经停站：北京南、济南西、南京南、无锡东、上海虹桥，且为单程车票。
方法一：按起点分类计数
① 以北京南为起点：可到济南西、南京南、无锡东、上海虹桥，共4种车票；
② 以济南西为起点：可到南京南、无锡东、上海虹桥，共3种车票；
③ 以南京南为起点：可到无锡东、上海虹桥，共2种车票；
④ 以无锡东为起点：可到上海虹桥，共1种车票。
总种类：$4+3+2+1=10$（种）
方法二：利用线段计数规律
若直线上有$n$个点，则线段总条数为$\frac{n(n-1)}{2}$，此处$n=5$，代入得：
$\frac{5×(5-1)}{2}=10$（种）
【答案】
10
【知识点】
线段计数、实际问题建模
【点评】
本题将生活中的车票计数问题转化为数学中的线段计数问题，解题时需注意题干限定为单程车票，无需计算往返情况，避免重复计数。
【难度系数】
0.7
要计算单程高铁的二等座车票种类，首先明确：两个不同站点之间对应1种单程车票，因此我们可以把5个站点看作同一直线上的5个点，不同的线段就对应不同的车票，问题就转化为求这条直线上5个点能组成多少条不同的线段。我们可以按起点分类计数：从第一个站点出发，到后续每个站点都对应1种车票，依次类推，最后把所有情况相加即可，也可以用线段计数的规律直接计算。
【解析】
已知共有5个经停站：北京南、济南西、南京南、无锡东、上海虹桥，且为单程车票。
方法一：按起点分类计数
① 以北京南为起点：可到济南西、南京南、无锡东、上海虹桥，共4种车票；
② 以济南西为起点：可到南京南、无锡东、上海虹桥，共3种车票；
③ 以南京南为起点：可到无锡东、上海虹桥，共2种车票；
④ 以无锡东为起点：可到上海虹桥，共1种车票。
总种类：$4+3+2+1=10$（种）
方法二：利用线段计数规律
若直线上有$n$个点，则线段总条数为$\frac{n(n-1)}{2}$，此处$n=5$，代入得：
$\frac{5×(5-1)}{2}=10$（种）
【答案】
10
【知识点】
线段计数、实际问题建模
【点评】
本题将生活中的车票计数问题转化为数学中的线段计数问题，解题时需注意题干限定为单程车票，无需计算往返情况，避免重复计数。
【难度系数】
0.7
无锡东 14:05 14:07 2分
上海虹桥 14:35 … …
9. 过同一平面内三个点中的任意两个点画直线，可以画几条？我们可以把它分成两类：如图①，当三点在同一直线上时，可以画1条直线；如图②，当三点不在同一直线上时，可以画3条直线。想一想，过同一平面内四个点中的任意两个点，可以画几条直线？请画出图形。
上海虹桥 14:35 … …
9. 过同一平面内三个点中的任意两个点画直线，可以画几条？我们可以把它分成两类：如图①，当三点在同一直线上时，可以画1条直线；如图②，当三点不在同一直线上时，可以画3条直线。想一想，过同一平面内四个点中的任意两个点，可以画几条直线？请画出图形。
答案
9. 1条或4条或6条(图形略)
解析
【分析】
解题时要结合“两点确定一条直线”的性质，对平面内四个点的位置进行分类讨论：先考虑四点全部共线的情况，再考虑只有三个点共线的情况，最后考虑任意三点都不共线的情况，分别计算每种情况下可画出的直线数量即可，注意不要遗漏任何一种位置情况。
【解析】
我们分三种情况讨论：
1. 当四个点在同一条直线上时，过任意两点画的直线都是这条公共直线，此时共可以画1条直线；
2. 当四个点中有且仅有三个点在同一条直线上时，共线的三个点之间仅能确定1条直线，另外不在这条直线上的点和共线的三个点分别各确定1条直线，总共可以画$1+3=4$条直线；
3. 当四个点中任意三个点都不在同一条直线上时，第一个点可与其余3个点连3条直线，第二个点去掉和第一个点已连的直线，可与剩下2个点连2条直线，第三个点去掉已连的直线，可与最后1个点连1条直线，总共可以画$3+2+1=6$条直线。
综上，过同一平面内四个点中的任意两个点，可以画1条、4条或6条直线。
【答案】
1条或4条或6条(图形略)
【知识点】
两点确定一条直线；分类讨论思想；直线计数
【点评】
本题核心考查直线的基本性质，解题的关键是对四个点的位置关系进行全面分类，避免因漏考虑共线情况导致答案不全，能有效锻炼思维的严谨性。
【难度系数】
0.7
解题时要结合“两点确定一条直线”的性质，对平面内四个点的位置进行分类讨论：先考虑四点全部共线的情况，再考虑只有三个点共线的情况，最后考虑任意三点都不共线的情况，分别计算每种情况下可画出的直线数量即可，注意不要遗漏任何一种位置情况。
【解析】
我们分三种情况讨论：
1. 当四个点在同一条直线上时，过任意两点画的直线都是这条公共直线，此时共可以画1条直线；
2. 当四个点中有且仅有三个点在同一条直线上时，共线的三个点之间仅能确定1条直线，另外不在这条直线上的点和共线的三个点分别各确定1条直线，总共可以画$1+3=4$条直线；
3. 当四个点中任意三个点都不在同一条直线上时，第一个点可与其余3个点连3条直线，第二个点去掉和第一个点已连的直线，可与剩下2个点连2条直线，第三个点去掉已连的直线，可与最后1个点连1条直线，总共可以画$3+2+1=6$条直线。
综上，过同一平面内四个点中的任意两个点，可以画1条、4条或6条直线。
【答案】
1条或4条或6条(图形略)
【知识点】
两点确定一条直线；分类讨论思想；直线计数
【点评】
本题核心考查直线的基本性质，解题的关键是对四个点的位置关系进行全面分类，避免因漏考虑共线情况导致答案不全，能有效锻炼思维的严谨性。
【难度系数】
0.7
