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【变式2】如图，AD是$△ ABC$的角平分线，AE是$△ ABD$的角平分线.若$∠ BAC = 60°$，则$∠ EAC$的度数是().
A.$40°$
B.$30°$
C.$15°$
D.$45°$
A.$40°$
B.$30°$
C.$15°$
D.$45°$
答案
D
解析
【分析】
首先根据题目给出的角平分线条件分步推导角度：第一步，利用AD是△ABC的角平分线，结合已知∠BAC=60°，先求出∠BAD和∠DAC的度数；第二步，利用AE是△ABD的角平分线，求出∠EAD的度数；最后将∠EAD和∠DAC的度数相加，即可得到∠EAC的度数。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，
∴$∠ BAD = ∠ DAC = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2}×60°=30°$，
又
∵AE是△ABD的角平分线，
∴$∠ EAD = \frac{1}{2}∠ BAD = \frac{1}{2}×30°=15°$，
∴$∠ EAC = ∠ EAD + ∠ DAC = 15°+30°=45°$。
【答案】
D
【知识点】
三角形角平分线的定义，角度的和差计算
【点评】
本题考查角平分线定义的基础应用，解题关键是明确角平分线将对应角分成两个相等的小角，结合简单的角度运算即可求解，难度较低。
【难度系数】
0.85
首先根据题目给出的角平分线条件分步推导角度：第一步，利用AD是△ABC的角平分线，结合已知∠BAC=60°，先求出∠BAD和∠DAC的度数；第二步，利用AE是△ABD的角平分线，求出∠EAD的度数；最后将∠EAD和∠DAC的度数相加，即可得到∠EAC的度数。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，
∴$∠ BAD = ∠ DAC = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2}×60°=30°$，
又
∵AE是△ABD的角平分线，
∴$∠ EAD = \frac{1}{2}∠ BAD = \frac{1}{2}×30°=15°$，
∴$∠ EAC = ∠ EAD + ∠ DAC = 15°+30°=45°$。
【答案】
D
【知识点】
三角形角平分线的定义，角度的和差计算
【点评】
本题考查角平分线定义的基础应用，解题关键是明确角平分线将对应角分成两个相等的小角，结合简单的角度运算即可求解，难度较低。
【难度系数】
0.85
【变式3】如图,在△ABC中,AD⊥AB,有下列三个结论:①AD是△ACD的高;②AD是△ABD的高;③AD是△ABC的高.其中正确的是().
A.①②
B.①③
C.②③
D.②
A.①②
B.①③
C.②③
D.②
答案
D
解析
【分析】
解题的核心是牢记三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做这个三角形的高，判断线段是否为三角形的高，关键看该线段是否垂直于对应三角形的某条边。我们逐个验证三个结论：首先看①，△ACD的高需要线段垂直于△ACD的某条边，题目仅给出AD⊥AB，AD和△ACD的边CD（BC的一段）不垂直，故①错误；再看②，△ABD中AD⊥AB，符合高的定义，故②正确；最后看③，△ABC的高需要垂直于边BC，AD仅垂直AB，不垂直BC，故③错误，最终可选出正确答案。
【解析】
根据三角形高的定义逐一判断：
1. 对于结论①：△ACD的边为AC、CD、AD，已知仅AD⊥AB，AD与CD不垂直，因此AD不是△ACD的高，①错误；
2. 对于结论②：△ABD中，AD⊥AB，即AD垂直于△ABD的边AB，因此AD是△ABD的高，②正确；
3. 对于结论③：△ABC的高需要垂直于边BC，AD仅垂直AB，和BC不垂直，因此AD不是△ABC的高，③错误。
综上只有②正确，选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形的高的定义
【点评】
本题重点考查对三角形高的定义的理解，解题时要注意区分不同三角形的对应边，只有线段垂直于对应三角形的边时，才是该三角形的高。
【难度系数】
0.7
解题的核心是牢记三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做这个三角形的高，判断线段是否为三角形的高，关键看该线段是否垂直于对应三角形的某条边。我们逐个验证三个结论：首先看①，△ACD的高需要线段垂直于△ACD的某条边，题目仅给出AD⊥AB，AD和△ACD的边CD（BC的一段）不垂直，故①错误；再看②，△ABD中AD⊥AB，符合高的定义，故②正确；最后看③，△ABC的高需要垂直于边BC，AD仅垂直AB，不垂直BC，故③错误，最终可选出正确答案。
【解析】
根据三角形高的定义逐一判断：
1. 对于结论①：△ACD的边为AC、CD、AD，已知仅AD⊥AB，AD与CD不垂直，因此AD不是△ACD的高，①错误；
2. 对于结论②：△ABD中，AD⊥AB，即AD垂直于△ABD的边AB，因此AD是△ABD的高，②正确；
3. 对于结论③：△ABC的高需要垂直于边BC，AD仅垂直AB，和BC不垂直，因此AD不是△ABC的高，③错误。
综上只有②正确，选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形的高的定义
【点评】
本题重点考查对三角形高的定义的理解，解题时要注意区分不同三角形的对应边，只有线段垂直于对应三角形的边时，才是该三角形的高。
【难度系数】
0.7
1.如图,小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片,则他支起的这个点应是三角形的().
A.中点
B.三条角平分线的交点
C.三边高的交点
D.三边中线的交点
A.中点
B.三条角平分线的交点
C.三边高的交点
D.三边中线的交点
答案
D
解析
【分析】
解题时首先明确：质地均匀的三角形卡片能被支起保持平衡，说明支撑点是三角形的重心，即三角形重力的作用点。接下来回忆三角形各类特殊交点的性质，逐一判断每个选项对应的点的功能，找到符合重心性质的选项即可。
【解析】
质地均匀的三角形平衡时的支撑点是它的重心，我们依次分析选项：
A. 中点是三角形某一条边的中点，不是三角形整体的平衡支撑点，不符合要求；
B. 三条角平分线的交点是三角形的内心，特点是到三角形三边的距离相等，不是重心，不符合要求；
C. 三边高的交点是三角形的垂心，不具备平衡支撑的特点，不符合要求；
D. 三角形三边中线的交点是三角形的重心，质地均匀的三角形的重心就是它的平衡点，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
三角形重心性质；三角形特殊交点特点
【点评】
本题结合生活中的平衡现象，考查三角形各类特殊交点的性质，属于基础概念类考题，只要准确区分不同特殊点的对应性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确：质地均匀的三角形卡片能被支起保持平衡，说明支撑点是三角形的重心，即三角形重力的作用点。接下来回忆三角形各类特殊交点的性质，逐一判断每个选项对应的点的功能，找到符合重心性质的选项即可。
【解析】
质地均匀的三角形平衡时的支撑点是它的重心，我们依次分析选项：
A. 中点是三角形某一条边的中点，不是三角形整体的平衡支撑点，不符合要求；
B. 三条角平分线的交点是三角形的内心，特点是到三角形三边的距离相等，不是重心，不符合要求；
C. 三边高的交点是三角形的垂心，不具备平衡支撑的特点，不符合要求；
D. 三角形三边中线的交点是三角形的重心，质地均匀的三角形的重心就是它的平衡点，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
三角形重心性质；三角形特殊交点特点
【点评】
本题结合生活中的平衡现象，考查三角形各类特殊交点的性质，属于基础概念类考题，只要准确区分不同特殊点的对应性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
2. 如图，$∠ BDC = ∠ BED = 90°$,点A在线段DC上,$△ ABC$的边AC上的高是().
A.线段DE
B.线段BD
C.线段CA
D.线段DA
A.线段DE
B.线段BD
C.线段CA
D.线段DA
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段就是三角形这条边上的高。我们需要找△ABC的边AC上的高，第一步先确定AC边对应的顶点是点B，第二步找从点B出发、与AC所在直线垂直的线段即可。观察图形可知，A在DC上，所以AC在直线DC上，已知∠BDC=90°，说明BD垂直于DC，也就垂直于AC，符合高的定义。
【解析】
根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向其对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段即为该边上的高。
对于△ABC的边AC，其对应的顶点为B；
已知∠BDC=90°，即BD⊥DC，又因为点A在线段DC上，故AC在直线DC上，因此BD⊥AC，所以线段BD是△ABC的边AC上的高。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形高的定义
【点评】
本题考查三角形高的判定，解题的关键是紧扣高的定义，明确高是对应顶点到对边所在直线的垂线段，不要被图中其他无关线段干扰，结合已知的垂直条件判断即可。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段就是三角形这条边上的高。我们需要找△ABC的边AC上的高，第一步先确定AC边对应的顶点是点B，第二步找从点B出发、与AC所在直线垂直的线段即可。观察图形可知，A在DC上，所以AC在直线DC上，已知∠BDC=90°，说明BD垂直于DC，也就垂直于AC，符合高的定义。
【解析】
根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向其对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段即为该边上的高。
对于△ABC的边AC，其对应的顶点为B；
已知∠BDC=90°，即BD⊥DC，又因为点A在线段DC上，故AC在直线DC上，因此BD⊥AC，所以线段BD是△ABC的边AC上的高。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形高的定义
【点评】
本题考查三角形高的判定，解题的关键是紧扣高的定义，明确高是对应顶点到对边所在直线的垂线段，不要被图中其他无关线段干扰，结合已知的垂直条件判断即可。
【难度系数】
0.8
3.如图,在$△ ABC$中,AD为中线,DE和DF分别为$△ ADB$和$△ ADC$的高.若$AB=3$,$AC=4$,$DF=1.5$,则$DE=$.
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形，由此可得△ADB和△ADC的面积相等。接下来，两个三角形的面积可分别以AB、AC为底，对应高为DE、DF，用三角形面积公式表示，据此建立等式即可求解DE的长度。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，△ABD和△ACD等底同高，面积相等，即$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}$。
∵DE是△ADB的高，DF是△ADC的高，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB· DE$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AC· DF$，
∴$\frac{1}{2}AB· DE=\frac{1}{2}AC· DF$，化简得$AB· DE=AC· DF$。
将$AB=3$，$AC=4$，$DF=1.5$代入得：
$3× DE=4×1.5$，
解得$DE=2$。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
三角形中线的性质；三角形面积计算；等面积法
【点评】
本题是三角形性质的基础应用类题目，解题核心是利用中线平分三角形面积的特点建立等量关系，通过等面积法快速求解未知高的长度，是三角形面积相关的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形，由此可得△ADB和△ADC的面积相等。接下来，两个三角形的面积可分别以AB、AC为底，对应高为DE、DF，用三角形面积公式表示，据此建立等式即可求解DE的长度。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，△ABD和△ACD等底同高，面积相等，即$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}$。
∵DE是△ADB的高，DF是△ADC的高，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB· DE$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AC· DF$，
∴$\frac{1}{2}AB· DE=\frac{1}{2}AC· DF$，化简得$AB· DE=AC· DF$。
将$AB=3$，$AC=4$，$DF=1.5$代入得：
$3× DE=4×1.5$，
解得$DE=2$。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
三角形中线的性质；三角形面积计算；等面积法
【点评】
本题是三角形性质的基础应用类题目，解题核心是利用中线平分三角形面积的特点建立等量关系，通过等面积法快速求解未知高的长度，是三角形面积相关的典型题型。
【难度系数】
0.7
4. 在$△ ABC$中，$AC=5\ \mathrm{cm}$，$AD$是$△ ABC$的中线. 若$△ ABD$的周长与$△ ADC$的周长相差2 cm，则$BA=$ cm.
答案
$\boldsymbol{3或7}$
解析
【分析】
首先回忆三角形中线的定义：三角形的中线会将对边分成长度相等的两段，因此可得BD=CD。接下来分别写出两个三角形的周长表达式，两式作差时，公共边AD以及相等的BD、CD会相互抵消，最终差值就是BA与AC的长度差。已知周长差为2cm，结合AC的长度，注意题目未明确哪个三角形周长更大，需要分两种情况讨论，即可求出BA的长度。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD = CD。
△ABD的周长 = BA + BD + AD，
△ADC的周长 = AC + CD + AD，
∵△ABD的周长与△ADC的周长相差2 cm，
∴|(BA + BD + AD) - (AC + CD + AD)| = 2，
化简得|BA - AC| = 2。
已知AC = 5 cm，
情况1：若△ABD周长更大，即BA ＞ AC，
则BA - 5 = 2，解得BA = 7 cm；
情况2：若△ADC周长更大，即BA ＜ AC，
则5 - BA = 2，解得BA = 3 cm。
两种结果均符合三角形边长的取值要求。
【答案】
3或7
【知识点】
三角形中线的性质；三角形周长计算；分类讨论思想
【点评】
本题解题的关键是利用中线的性质消去周长中相等的边，快速得到BA和AC的长度关系，解题时要注意题目未明确周长大小关系，需分两种情况计算，避免漏解。
【难度系数】
0.7
首先回忆三角形中线的定义：三角形的中线会将对边分成长度相等的两段，因此可得BD=CD。接下来分别写出两个三角形的周长表达式，两式作差时，公共边AD以及相等的BD、CD会相互抵消，最终差值就是BA与AC的长度差。已知周长差为2cm，结合AC的长度，注意题目未明确哪个三角形周长更大，需要分两种情况讨论，即可求出BA的长度。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD = CD。
△ABD的周长 = BA + BD + AD，
△ADC的周长 = AC + CD + AD，
∵△ABD的周长与△ADC的周长相差2 cm，
∴|(BA + BD + AD) - (AC + CD + AD)| = 2，
化简得|BA - AC| = 2。
已知AC = 5 cm，
情况1：若△ABD周长更大，即BA ＞ AC，
则BA - 5 = 2，解得BA = 7 cm；
情况2：若△ADC周长更大，即BA ＜ AC，
则5 - BA = 2，解得BA = 3 cm。
两种结果均符合三角形边长的取值要求。
【答案】
3或7
【知识点】
三角形中线的性质；三角形周长计算；分类讨论思想
【点评】
本题解题的关键是利用中线的性质消去周长中相等的边，快速得到BA和AC的长度关系，解题时要注意题目未明确周长大小关系，需分两种情况计算，避免漏解。
【难度系数】
0.7
5. 如图，$△ ABC$的边$BC$上的高为$AF$，中线为$AD$，边$AC$上的高为$BG$. 已知$AF=6$，$BD=10$，$BG=5$. 求：
(1) $△ ABC$的面积；
(2) $AC$的长.
(1) $△ ABC$的面积；
(2) $AC$的长.
答案
解：
(1) ∵ AD是△ABC的边BC上的中线，
∴ BC = 2BD。
∵ BD = 10，
∴ BC = 2×10 = 20。
又∵ AF是△ABC的边BC上的高，AF = 6，
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AF = \frac{1}{2} × 20 × 6 = 60$。
(2) ∵ BG是△ABC的边AC上的高，BG = 5，
且 $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AC × BG$，
代入$S_{△ ABC}=60$得：
$\frac{1}{2} × AC × 5 = 60$，
解得 $AC = 24$。
答：(1) $△ ABC$的面积为60；(2) $AC$的长为24。
(1) ∵ AD是△ABC的边BC上的中线，
∴ BC = 2BD。
∵ BD = 10，
∴ BC = 2×10 = 20。
又∵ AF是△ABC的边BC上的高，AF = 6，
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AF = \frac{1}{2} × 20 × 6 = 60$。
(2) ∵ BG是△ABC的边AC上的高，BG = 5，
且 $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AC × BG$，
代入$S_{△ ABC}=60$得：
$\frac{1}{2} × AC × 5 = 60$，
解得 $AC = 24$。
答：(1) $△ ABC$的面积为60；(2) $AC$的长为24。
解析
【分析】
（1）要求△ABC的面积，已知BC边上的高AF的长度，只需先求出底边BC的长度即可。根据AD是BC边上的中线，可知中线将BC分成相等的两段，即BC=2BD，代入BD的数值就能得到BC的长，再结合三角形面积公式即可算出面积。
（2）要求AC的长，已知AC边上的高BG，且△ABC的面积在（1）中已经求出，同一个三角形的面积是固定的，因此可以再次利用三角形面积公式，将已知的面积和高代入，反推出底边AC的长度。
【解析】
(1)
∵ AD是△ABC的边BC上的中线，
∴ BC = 2BD。
∵ BD = 10，
∴ BC = 2×10 = 20。
又
∵ AF是△ABC的边BC上的高，AF = 6，
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AF = \frac{1}{2} × 20 × 6 = 60$。
(2)
∵ BG是△ABC的边AC上的高，BG = 5，
且 $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AC × BG$，
将$S_{△ ABC}=60$代入得：
$\frac{1}{2} × AC × 5 = 60$，
解得 $AC = 24$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{60}$；(2) $\boldsymbol{24}$
【知识点】
三角形中线的性质；三角形高的定义；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查三角形相关概念的应用，解题核心是抓住中线平分对边的性质求出底边长，再利用同一三角形面积的两种表示方法建立等式求解未知边长，熟练掌握基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8
（1）要求△ABC的面积，已知BC边上的高AF的长度，只需先求出底边BC的长度即可。根据AD是BC边上的中线，可知中线将BC分成相等的两段，即BC=2BD，代入BD的数值就能得到BC的长，再结合三角形面积公式即可算出面积。
（2）要求AC的长，已知AC边上的高BG，且△ABC的面积在（1）中已经求出，同一个三角形的面积是固定的，因此可以再次利用三角形面积公式，将已知的面积和高代入，反推出底边AC的长度。
【解析】
(1)
∵ AD是△ABC的边BC上的中线，
∴ BC = 2BD。
∵ BD = 10，
∴ BC = 2×10 = 20。
又
∵ AF是△ABC的边BC上的高，AF = 6，
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AF = \frac{1}{2} × 20 × 6 = 60$。
(2)
∵ BG是△ABC的边AC上的高，BG = 5，
且 $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AC × BG$，
将$S_{△ ABC}=60$代入得：
$\frac{1}{2} × AC × 5 = 60$，
解得 $AC = 24$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{60}$；(2) $\boldsymbol{24}$
【知识点】
三角形中线的性质；三角形高的定义；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查三角形相关概念的应用，解题核心是抓住中线平分对边的性质求出底边长，再利用同一三角形面积的两种表示方法建立等式求解未知边长，熟练掌握基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8
