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9. 小明与小亮在做游戏时，两人各报一个整式，将小明报的整式作为被除式，小亮报的整式作为除式，要求商必须为$2xy$。若小明报的整式是$x^3y - 2xy^3$，则小亮应报的整式是
$\frac{1}{2}x^2 - y^2$
。答案
9. $\frac{1}{2}x^2 - y^2$
解析
【分析】
首先明确整式除法中各部分的关系：被除式÷除式=商，因此可推导出除式=被除式÷商。我们只需将题目给出的被除式$x^3y - 2xy^3$和商$2xy$代入该公式，再按照多项式除以单项式的运算法则计算即可：先把多项式的每一项分别除以单项式，再将所得的商相加，计算时注意系数的运算和同底数幂的除法规则。
【解析】
根据整式除法的数量关系可得：
$\begin{aligned}\mathrm{小亮报的整式}&=(x^3y - 2xy^3)÷2xy\\&=x^3y÷2xy - 2xy^3÷2xy\\&=\frac{1}{2}x^{3-1}y^{1-1} - x^{1-1}y^{3-1}\\&=\frac{1}{2}x^2 - y^2\end{aligned}$
【答案】
$\frac{1}{2}x^2 - y^2$
【知识点】
整式除法运算；多项式除以单项式
【点评】
本题属于整式除法的基础应用类题目，核心是掌握除法运算中各量的转换关系，以及多项式除以单项式的运算规则，计算时注意系数运算和同底数幂的指数变化即可得分。
【难度系数】
0.8
首先明确整式除法中各部分的关系：被除式÷除式=商，因此可推导出除式=被除式÷商。我们只需将题目给出的被除式$x^3y - 2xy^3$和商$2xy$代入该公式，再按照多项式除以单项式的运算法则计算即可：先把多项式的每一项分别除以单项式，再将所得的商相加，计算时注意系数的运算和同底数幂的除法规则。
【解析】
根据整式除法的数量关系可得：
$\begin{aligned}\mathrm{小亮报的整式}&=(x^3y - 2xy^3)÷2xy\\&=x^3y÷2xy - 2xy^3÷2xy\\&=\frac{1}{2}x^{3-1}y^{1-1} - x^{1-1}y^{3-1}\\&=\frac{1}{2}x^2 - y^2\end{aligned}$
【答案】
$\frac{1}{2}x^2 - y^2$
【知识点】
整式除法运算；多项式除以单项式
【点评】
本题属于整式除法的基础应用类题目，核心是掌握除法运算中各量的转换关系，以及多项式除以单项式的运算规则，计算时注意系数运算和同底数幂的指数变化即可得分。
【难度系数】
0.8
10. 已知 A 是一个多项式，单项式 B 等于 2x，某同学计算 A÷B 时，把 A÷B 误写成 A+B，结果得出 $5x^4 - 4x^3 + 3x^2$，求 A÷B.
答案
根据题意，得 $A+B=5x^4-4x^3+3x^2$. $\because B=2x$，$\therefore A=5x^4-4x^3+3x^2-2x$，则 $A÷B=(5x^4-4x^3+3x^2-2x)÷2x=\frac{5}{2}x^3-2x^2+\frac{3}{2}x-1$
解析
【分析】
解题时首先要根据误算的结果反推多项式A：因为同学错误将A÷B算成A+B，得到的结果是A与B的和，已知B是2x，所以用错误运算的结果减去B就能得到A的表达式，再用A除以B，按照多项式除以单项式的运算法则计算，即可得到正确的结果。
【解析】
根据题意可知：$A+B=5x^4 - 4x^3 + 3x^2$
∵ $B=2x$
∴ $A = 5x^4 - 4x^3 + 3x^2 - B = 5x^4 - 4x^3 + 3x^2 - 2x$
接下来计算$A÷B$：
$\begin{aligned}A÷B&=(5x^4 - 4x^3 + 3x^2 - 2x)÷2x \\&=5x^4÷2x - 4x^3÷2x + 3x^2÷2x - 2x÷2x \\&=\frac{5}{2}x^3 - 2x^2 + \frac{3}{2}x - 1\end{aligned}$
【答案】
$\frac{5}{2}x^3 - 2x^2 + \frac{3}{2}x - 1$
【知识点】
整式的加减运算、多项式除以单项式
【点评】
本题是整式运算的基础综合题，解题核心是先根据错误的运算关系求出未知多项式A，再按照整式除法规则计算出正确结果，考查学生的逆向思维和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先要根据误算的结果反推多项式A：因为同学错误将A÷B算成A+B，得到的结果是A与B的和，已知B是2x，所以用错误运算的结果减去B就能得到A的表达式，再用A除以B，按照多项式除以单项式的运算法则计算，即可得到正确的结果。
【解析】
根据题意可知：$A+B=5x^4 - 4x^3 + 3x^2$
∵ $B=2x$
∴ $A = 5x^4 - 4x^3 + 3x^2 - B = 5x^4 - 4x^3 + 3x^2 - 2x$
接下来计算$A÷B$：
$\begin{aligned}A÷B&=(5x^4 - 4x^3 + 3x^2 - 2x)÷2x \\&=5x^4÷2x - 4x^3÷2x + 3x^2÷2x - 2x÷2x \\&=\frac{5}{2}x^3 - 2x^2 + \frac{3}{2}x - 1\end{aligned}$
【答案】
$\frac{5}{2}x^3 - 2x^2 + \frac{3}{2}x - 1$
【知识点】
整式的加减运算、多项式除以单项式
【点评】
本题是整式运算的基础综合题，解题核心是先根据错误的运算关系求出未知多项式A，再按照整式除法规则计算出正确结果，考查学生的逆向思维和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
11. 请仔细阅读材料，并完成相应的任务.
多项式除以多项式
我们学习过多项式乘多项式，根据法则，可知$(x+2)(2x+1)=$①
因此，多项式除以多项式可借助竖式进行计算.
（1）任务一：补全材料中的两个空
①
（2）任务二：仿照例子的做法计算.
①$(x^2+2x+1)÷(x+1)=$
②$(2x^2+3x+1)÷(x+1)=$
（3）任务三：若$(2x^3+8x^2+3x-m)÷(2x+7)$的商为整式，求$m$的值和商式（请列出竖式并回答）.
多项式除以多项式
我们学习过多项式乘多项式，根据法则，可知$(x+2)(2x+1)=$①
$2x^2+5x+2$
，那么再根据除法是乘法的逆运算，可得$(2x^2+5x+2)÷(2x+1)=$②$x+2$
，这就是多项式除以多项式. 两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算. 例如$(x^2+9x+20)÷(x+4)$，可仿照$2835÷27$用竖式计算（如下所示）.因此，多项式除以多项式可借助竖式进行计算.
（1）任务一：补全材料中的两个空
①
$2x^2+5x+2$
，②$x+2$
.（2）任务二：仿照例子的做法计算.
①$(x^2+2x+1)÷(x+1)=$
$x+1$
.②$(2x^2+3x+1)÷(x+1)=$
$2x+1$
.（3）任务三：若$(2x^3+8x^2+3x-m)÷(2x+7)$的商为整式，求$m$的值和商式（请列出竖式并回答）.
答案
11. （1）①$2x^2+5x+2$ ②$x+2$ （2）①$x+1$ ②$2x+1$ （3）如答图35所示
$\because (2x^3+8x^2+3x-m)÷(2x+7)$的商为整式，且结合上图的竖式过程，$\therefore m=\frac{7}{4}$，此时$(2x^3+8x^2+3x-\frac{7}{4})÷(2x+7)=x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}$解析
【分析】
本题通过类比整数除法的运算方法，考查多项式乘除的相关知识，解题思路如下：1. 任务一：先根据多项式乘多项式的法则计算乘积，再利用除法是乘法的逆运算直接得到除法的结果；2. 任务二：模仿例子中多项式除法的竖式计算步骤，先将被除式和除式按x降幂排列，每次用被除式的最高次项除以除式的最高次项得到商的一项，再用这项乘除式，与被除式对应项相减，重复步骤直到余式次数低于除式次数，余式为0时就得到商式；3. 任务三：根据商为整式可知计算最终余式为0，对应常数项相等即可求出m的值，竖式上方的式子就是商式。
【解析】
（1）任务一：
① 根据多项式乘多项式法则计算：$(x+2)(2x+1)=x·2x + x·1 + 2·2x + 2·1=2x^2+x+4x+2=2x^2+5x+2$；
② 根据除法是乘法的逆运算，积除以其中一个因式等于另一个因式，因此$(2x^2+5x+2)÷(2x+1)=x+2$。
（2）任务二：
① 计算$(x^2+2x+1)÷(x+1)$：被除式最高次项$x^2$除以除式最高次项$x$得$x$，$x$乘$(x+1)$得$x^2+x$，与被除式相减得$x+1$；再用$x$除以$x$得1，1乘$(x+1)$得$x+1$，相减余0，因此商为$x+1$；
② 计算$(2x^2+3x+1)÷(x+1)$：被除式最高次项$2x^2$除以除式最高次项$x$得$2x$，$2x$乘$(x+1)$得$2x^2+2x$，与被除式相减得$x+1$；再用$x$除以$x$得1，1乘$(x+1)$得$x+1$，相减余0，因此商为$2x+1$。
（3）任务三：按照多项式除法竖式计算，最终商为整式说明余式为0，即$-m=-\frac{7}{4}$，解得$m=\frac{7}{4}$，商式为竖式上方的$x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}$。
【答案】
（1）①$2x^2+5x+2$ ②$x+2$ （2）①$x+1$ ②$2x+1$ （3）如答图35所示 $\because (2x^3+8x^2+3x-m)÷(2x+7)$的商为整式，且结合上图的竖式过程，$\therefore m=\frac{7}{4}$，此时$(2x^3+8x^2+3x-\frac{7}{4})÷(2x+7)=x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}$
【知识点】
多项式乘多项式，多项式除以多项式，乘除法互逆关系
【点评】
本题借助类比思想，将整数除法的计算方法迁移到多项式除法中，既巩固了整式乘法的基础运算，也考查了知识迁移和应用的能力，解题时要注意多项式按降幂排列，余式为0是商为整式的核心条件。
【难度系数】
0.7
本题通过类比整数除法的运算方法，考查多项式乘除的相关知识，解题思路如下：1. 任务一：先根据多项式乘多项式的法则计算乘积，再利用除法是乘法的逆运算直接得到除法的结果；2. 任务二：模仿例子中多项式除法的竖式计算步骤，先将被除式和除式按x降幂排列，每次用被除式的最高次项除以除式的最高次项得到商的一项，再用这项乘除式，与被除式对应项相减，重复步骤直到余式次数低于除式次数，余式为0时就得到商式；3. 任务三：根据商为整式可知计算最终余式为0，对应常数项相等即可求出m的值，竖式上方的式子就是商式。
【解析】
（1）任务一：
① 根据多项式乘多项式法则计算：$(x+2)(2x+1)=x·2x + x·1 + 2·2x + 2·1=2x^2+x+4x+2=2x^2+5x+2$；
② 根据除法是乘法的逆运算，积除以其中一个因式等于另一个因式，因此$(2x^2+5x+2)÷(2x+1)=x+2$。
（2）任务二：
① 计算$(x^2+2x+1)÷(x+1)$：被除式最高次项$x^2$除以除式最高次项$x$得$x$，$x$乘$(x+1)$得$x^2+x$，与被除式相减得$x+1$；再用$x$除以$x$得1，1乘$(x+1)$得$x+1$，相减余0，因此商为$x+1$；
② 计算$(2x^2+3x+1)÷(x+1)$：被除式最高次项$2x^2$除以除式最高次项$x$得$2x$，$2x$乘$(x+1)$得$2x^2+2x$，与被除式相减得$x+1$；再用$x$除以$x$得1，1乘$(x+1)$得$x+1$，相减余0，因此商为$2x+1$。
（3）任务三：按照多项式除法竖式计算，最终商为整式说明余式为0，即$-m=-\frac{7}{4}$，解得$m=\frac{7}{4}$，商式为竖式上方的$x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}$。
【答案】
（1）①$2x^2+5x+2$ ②$x+2$ （2）①$x+1$ ②$2x+1$ （3）如答图35所示
$\because (2x^3+8x^2+3x-m)÷(2x+7)$的商为整式，且结合上图的竖式过程，$\therefore m=\frac{7}{4}$，此时$(2x^3+8x^2+3x-\frac{7}{4})÷(2x+7)=x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}$【知识点】
多项式乘多项式，多项式除以多项式，乘除法互逆关系
【点评】
本题借助类比思想，将整数除法的计算方法迁移到多项式除法中，既巩固了整式乘法的基础运算，也考查了知识迁移和应用的能力，解题时要注意多项式按降幂排列，余式为0是商为整式的核心条件。
【难度系数】
0.7
12. 下列计算正确的是（
A.$x + 2x = 3x^2$
B.$x^2 · x^3 = x^5$
C.$x^6 ÷ x^2 = x$
D.$(xy)^2 = xy^2$
B
）.A.$x + 2x = 3x^2$
B.$x^2 · x^3 = x^5$
C.$x^6 ÷ x^2 = x$
D.$(xy)^2 = xy^2$
答案
12. B
解析
【分析】
本题考查整式的基础运算，解题思路是逐个分析每个选项对应的运算法则，分别计算验证，排除错误选项即可得到正确答案。首先回忆合并同类项、同底数幂乘除、积的乘方的运算法则，再依次判断每个选项的运算是否符合法则要求。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
A选项：属于合并同类项，合并同类项时系数相加，字母和字母的指数不变，因此$x+2x=(1+2)x=3x$，选项结果为$3x^2$，运算错误。
B选项：属于同底数幂相乘，同底数幂相乘的法则是底数不变，指数相加，因此$x^2 · x^3 = x^{2+3}=x^5$，运算正确。
C选项：属于同底数幂相除，同底数幂相除的法则是底数不变，指数相减，因此$x^6 ÷ x^2 = x^{6-2}=x^4$，选项结果为$x$，运算错误。
D选项：属于积的乘方，积的乘方法则是把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，因此$(xy)^2 = x^2y^2$，选项结果为$xy^2$，运算错误。
综上，只有B选项计算正确。
【答案】
B
【知识点】
合并同类项；同底数幂的乘除法；积的乘方
【点评】
本题是基础运算类考题，核心考查对整式运算各类法则的掌握程度，解题时要注意区分不同运算中指数的变化规则，避免混淆法则导致出错。
【难度系数】
0.9
本题考查整式的基础运算，解题思路是逐个分析每个选项对应的运算法则，分别计算验证，排除错误选项即可得到正确答案。首先回忆合并同类项、同底数幂乘除、积的乘方的运算法则，再依次判断每个选项的运算是否符合法则要求。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
A选项：属于合并同类项，合并同类项时系数相加，字母和字母的指数不变，因此$x+2x=(1+2)x=3x$，选项结果为$3x^2$，运算错误。
B选项：属于同底数幂相乘，同底数幂相乘的法则是底数不变，指数相加，因此$x^2 · x^3 = x^{2+3}=x^5$，运算正确。
C选项：属于同底数幂相除，同底数幂相除的法则是底数不变，指数相减，因此$x^6 ÷ x^2 = x^{6-2}=x^4$，选项结果为$x$，运算错误。
D选项：属于积的乘方，积的乘方法则是把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，因此$(xy)^2 = x^2y^2$，选项结果为$xy^2$，运算错误。
综上，只有B选项计算正确。
【答案】
B
【知识点】
合并同类项；同底数幂的乘除法；积的乘方
【点评】
本题是基础运算类考题，核心考查对整式运算各类法则的掌握程度，解题时要注意区分不同运算中指数的变化规则，避免混淆法则导致出错。
【难度系数】
0.9
13. 下列计算正确的是（
A.$2a^2 + 3a^2 = 6a^2$
B.$a^6 ÷ a^2 = a^3$
C.$(a^2)^3 = a^5$
D.$(3a)^2 = 9a^2$
D
）.A.$2a^2 + 3a^2 = 6a^2$
B.$a^6 ÷ a^2 = a^3$
C.$(a^2)^3 = a^5$
D.$(3a)^2 = 9a^2$
答案
13. D
解析
【分析】
本题考查整式的相关运算，解题思路是逐一分析每个选项，结合对应的运算法则判断计算是否正确：首先回忆合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方的运算法则，再分别对四个选项进行计算验证，最终选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数不变，因此$2a^2 + 3a^2 = (2+3)a^2 = 5a^2 ≠ 6a^2$，该选项计算错误；
B选项：同底数幂相除，底数不变，指数相减，因此$a^6 ÷ a^2 = a^{6-2} = a^4 ≠ a^3$，该选项计算错误；
C选项：幂的乘方，底数不变，指数相乘，因此$(a^2)^3 = a^{2×3} = a^6 ≠ a^5$，该选项计算错误；
D选项：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，因此$(3a)^2 = 3^2 · a^2 = 9a^2$，该选项计算正确。
【答案】
D
【知识点】
合并同类项；同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查整式运算的相关法则，解题时需注意区分不同运算中指数的变化规律，避免混淆运算法则导致出错。
【难度系数】
0.85
本题考查整式的相关运算，解题思路是逐一分析每个选项，结合对应的运算法则判断计算是否正确：首先回忆合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方的运算法则，再分别对四个选项进行计算验证，最终选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数不变，因此$2a^2 + 3a^2 = (2+3)a^2 = 5a^2 ≠ 6a^2$，该选项计算错误；
B选项：同底数幂相除，底数不变，指数相减，因此$a^6 ÷ a^2 = a^{6-2} = a^4 ≠ a^3$，该选项计算错误；
C选项：幂的乘方，底数不变，指数相乘，因此$(a^2)^3 = a^{2×3} = a^6 ≠ a^5$，该选项计算错误；
D选项：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，因此$(3a)^2 = 3^2 · a^2 = 9a^2$，该选项计算正确。
【答案】
D
【知识点】
合并同类项；同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查整式运算的相关法则，解题时需注意区分不同运算中指数的变化规律，避免混淆运算法则导致出错。
【难度系数】
0.85
14. 计算：$(-1)^{2025}+(-\dfrac{1}{2025})^0=$
$0$
答案
14. 0
解析
【分析】
解题时分别计算两个运算项的值再求和即可。第一步先根据-1的乘方规律判断结果：-1的奇数次幂等于-1，偶数次幂等于1，2025是奇数，可得出第一项的结果；第二步根据零指数幂的性质计算：任何不等于0的数的0次幂都等于1，本题中底数-1/2025不为0，可得出第二项的结果，最后将两个结果相加得到最终答案。
【解析】
1. 计算$(-1)^{2025}$：
因为2025是奇数，根据-1的乘方性质，可得$(-1)^{2025}=-1$。
2. 计算$(-\dfrac{1}{2025})^0$：
因为底数$-\dfrac{1}{2025}≠0$，根据零指数幂的性质，可得$(-\dfrac{1}{2025})^0=1$。
3. 求和：
将两个结果相加，即$(-1)+1=0$。
【答案】
0
【知识点】
乘方的性质、零指数幂
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查对-1的乘方规律和零指数幂性质的掌握，计算时只要注意判断指数奇偶性、确认零指数幂的底数不为0即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
解题时分别计算两个运算项的值再求和即可。第一步先根据-1的乘方规律判断结果：-1的奇数次幂等于-1，偶数次幂等于1，2025是奇数，可得出第一项的结果；第二步根据零指数幂的性质计算：任何不等于0的数的0次幂都等于1，本题中底数-1/2025不为0，可得出第二项的结果，最后将两个结果相加得到最终答案。
【解析】
1. 计算$(-1)^{2025}$：
因为2025是奇数，根据-1的乘方性质，可得$(-1)^{2025}=-1$。
2. 计算$(-\dfrac{1}{2025})^0$：
因为底数$-\dfrac{1}{2025}≠0$，根据零指数幂的性质，可得$(-\dfrac{1}{2025})^0=1$。
3. 求和：
将两个结果相加，即$(-1)+1=0$。
【答案】
0
【知识点】
乘方的性质、零指数幂
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查对-1的乘方规律和零指数幂性质的掌握，计算时只要注意判断指数奇偶性、确认零指数幂的底数不为0即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
