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知识体系构建
一元二次方程
├─一般形式 —$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）
├─解法
│ ├─直接开平方法
│ ├─配方法
│ ├─公式法：$x=$①
│ └─因式分解法
├─根的判别式
│ ├─$\Delta＞0 ⇔$方程有②
│ ├─$\Delta$③
有两个相等的实数根
│ └─$\Delta$④
├─根与系数的关系
│ └─若方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的两根分别是$x_1$，$x_2$，则$x_1+x_2=$⑥
└─实际应用
├─步骤：审、设、列、解、验、答
└─主要类型：平均变化率、传播问题，互赠、握手问题
一元二次方程
├─一般形式 —$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）
├─解法
│ ├─直接开平方法
│ ├─配方法
│ ├─公式法：$x=$①
$\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
（$b^2-4ac≥0$）│ └─因式分解法
├─根的判别式
│ ├─$\Delta＞0 ⇔$方程有②
两个不等
的实数根│ ├─$\Delta$③
=
$0 ⇔$有两个相等的实数根│ └─$\Delta$④
＜
$0 ⇔$方程⑤无
实数根├─根与系数的关系
│ └─若方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的两根分别是$x_1$，$x_2$，则$x_1+x_2=$⑥
$-\frac{b}{a}$
，$x_1x_2=$⑦$\frac{c}{a}$
└─实际应用
├─步骤：审、设、列、解、验、答
└─主要类型：平均变化率、传播问题，互赠、握手问题
答案
1. $\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
2. 两个不等
3. =
4. ＜
5. 无
6. $-\frac{b}{a}$
7. $\frac{c}{a}$
2. 两个不等
3. =
4. ＜
5. 无
6. $-\frac{b}{a}$
7. $\frac{c}{a}$
解析
【分析】
本题是对一元二次方程核心基础知识点的考查，解题时只需对应回忆一元二次方程的求根公式、根的判别式的意义、根与系数的关系相关结论，逐一填空即可，这类基础识记内容是求解一元二次方程相关问题的前提。
【解析】
①公式法是通过配方法推导得到的一元二次方程的通用求根公式，当$b^2-4ac≥0$时，根为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；
②根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta＞0$时，根号下的数为正，求根公式中$\pm$对应两个不同的结果，即方程有两个不等的实数根；
③当方程有两个相等的实数根时，求根公式中根号部分为0，两个根相等，对应$\Delta=0$；
④⑤当$\Delta＜0$时，根号下的数为负数，在实数范围内无意义，因此方程无实数根；
⑥⑦根与系数的关系是通过将求根公式的两个根相加、相乘化简得到的，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
【答案】
①$\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；②两个不等；③$=$；④$＜$；⑤无；⑥$-\frac{b}{a}$；⑦$\frac{c}{a}$
【知识点】
一元二次方程求根公式；根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题属于一元二次方程的基础概念梳理题，重点考查核心基础知识点的记忆掌握情况，这些内容是求解一元二次方程、解决相关实际应用问题的基础，需要熟练识记、灵活运用。
【难度系数】
0.9
本题是对一元二次方程核心基础知识点的考查，解题时只需对应回忆一元二次方程的求根公式、根的判别式的意义、根与系数的关系相关结论，逐一填空即可，这类基础识记内容是求解一元二次方程相关问题的前提。
【解析】
①公式法是通过配方法推导得到的一元二次方程的通用求根公式，当$b^2-4ac≥0$时，根为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；
②根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta＞0$时，根号下的数为正，求根公式中$\pm$对应两个不同的结果，即方程有两个不等的实数根；
③当方程有两个相等的实数根时，求根公式中根号部分为0，两个根相等，对应$\Delta=0$；
④⑤当$\Delta＜0$时，根号下的数为负数，在实数范围内无意义，因此方程无实数根；
⑥⑦根与系数的关系是通过将求根公式的两个根相加、相乘化简得到的，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
【答案】
①$\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；②两个不等；③$=$；④$＜$；⑤无；⑥$-\frac{b}{a}$；⑦$\frac{c}{a}$
【知识点】
一元二次方程求根公式；根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题属于一元二次方程的基础概念梳理题，重点考查核心基础知识点的记忆掌握情况，这些内容是求解一元二次方程、解决相关实际应用问题的基础，需要熟练识记、灵活运用。
【难度系数】
0.9
1. 下列方程一定是一元二次方程的是 （
A.$ax^2 + 2x = 1$
B.$x^2 + 2y = 2$
C.$2x - x^2 = 3$
D.$x + \frac{1}{y} = 4$
C
）A.$ax^2 + 2x = 1$
B.$x^2 + 2y = 2$
C.$2x - x^2 = 3$
D.$x + \frac{1}{y} = 4$
答案
1. C
解析
【分析】
要判断是否为一元二次方程，首先明确一元二次方程的三个核心判定条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。我们只需对照这三个条件逐一排查选项即可。
【解析】
一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，同时要求二次项系数不等于0。
选项A：$ax^2 + 2x = 1$，当$a=0$时，方程变为$2x=1$，属于一元一次方程，因此不一定是一元二次方程，排除A；
选项B：$x^2 + 2y = 2$，含有$x$、$y$两个未知数，属于二元方程，不符合“一元”的要求，排除B；
选项C：$2x - x^2 = 3$，整理为标准形式为$-x^2 + 2x - 3 = 0$，仅含未知数$x$，最高次数为2，是整式方程，完全符合一元二次方程的定义，当选；
选项D：$x + \frac{1}{y} = 4$，分母中含有未知数$y$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，排除D。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；整式方程的判定；方程的分类
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是牢牢把握一元二次方程的三个判定要点，尤其要注意不能忽略二次项系数不为0、方程为整式方程这两个容易被遗漏的条件。
【难度系数】
0.8
要判断是否为一元二次方程，首先明确一元二次方程的三个核心判定条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。我们只需对照这三个条件逐一排查选项即可。
【解析】
一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，同时要求二次项系数不等于0。
选项A：$ax^2 + 2x = 1$，当$a=0$时，方程变为$2x=1$，属于一元一次方程，因此不一定是一元二次方程，排除A；
选项B：$x^2 + 2y = 2$，含有$x$、$y$两个未知数，属于二元方程，不符合“一元”的要求，排除B；
选项C：$2x - x^2 = 3$，整理为标准形式为$-x^2 + 2x - 3 = 0$，仅含未知数$x$，最高次数为2，是整式方程，完全符合一元二次方程的定义，当选；
选项D：$x + \frac{1}{y} = 4$，分母中含有未知数$y$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，排除D。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；整式方程的判定；方程的分类
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是牢牢把握一元二次方程的三个判定要点，尤其要注意不能忽略二次项系数不为0、方程为整式方程这两个容易被遗漏的条件。
【难度系数】
0.8
2. 方程$2x^2 +6x=5$的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（
A.6,2,5
B.2,-6,5
C.2,6,5
D.2,6,-5
D
）A.6,2,5
B.2,-6,5
C.2,6,5
D.2,6,-5
答案
2. D
解析
【分析】
要确定一元二次方程的各项系数，首先要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a\ne0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题时需先把给出的方程化为一般形式（等号右侧为0），再对应识别各项系数，注意系数要包含自身的符号。
【解析】
首先将原方程$2x^2 +6x=5$移项，把等号右侧的5移到左侧，得到一元二次方程的一般形式：
$2x^2 +6x -5=0$
对照一般形式可得：二次项系数为2，一次项系数为6，常数项为-5，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的一般形式，一元二次方程系数识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是未将方程整理为一般形式就直接判断常数项，或者忽略移项后常数项的符号变化。
【难度系数】
0.9
要确定一元二次方程的各项系数，首先要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a\ne0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题时需先把给出的方程化为一般形式（等号右侧为0），再对应识别各项系数，注意系数要包含自身的符号。
【解析】
首先将原方程$2x^2 +6x=5$移项，把等号右侧的5移到左侧，得到一元二次方程的一般形式：
$2x^2 +6x -5=0$
对照一般形式可得：二次项系数为2，一次项系数为6，常数项为-5，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的一般形式，一元二次方程系数识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是未将方程整理为一般形式就直接判断常数项，或者忽略移项后常数项的符号变化。
【难度系数】
0.9
3. 关于x的一元二次方程$x^2 + a^2 -1 =0$的一个根是$x=0$，则a的值为（
A.-1
B.1
C.$\pm1$
D.3
C
）A.-1
B.1
C.$\pm1$
D.3
答案
3. C
解析
【分析】
解题思路：已知方程的根，首先根据方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，因此将根x=0代入原一元二次方程，即可得到关于参数a的方程，再求解该方程就能得到a的值。本题中原方程二次项系数为1，天然满足一元二次方程二次项系数不为0的要求，无需额外排除取值。
【解析】
解：
∵x=0是一元二次方程$x^2 + a^2 -1 =0$的根
∴将x=0代入方程，等式成立，即：
$0^2 + a^2 -1 = 0$
化简得：$a^2 = 1$
根据平方根的性质，解得：$a = \pm 1$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
方程根的定义，平方根运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查利用方程根的性质求解参数的方法，计算量小，只要掌握根的定义即可顺利解答，是一元二次方程相关考点中的常见基础题。
【难度系数】
0.9
解题思路：已知方程的根，首先根据方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，因此将根x=0代入原一元二次方程，即可得到关于参数a的方程，再求解该方程就能得到a的值。本题中原方程二次项系数为1，天然满足一元二次方程二次项系数不为0的要求，无需额外排除取值。
【解析】
解：
∵x=0是一元二次方程$x^2 + a^2 -1 =0$的根
∴将x=0代入方程，等式成立，即：
$0^2 + a^2 -1 = 0$
化简得：$a^2 = 1$
根据平方根的性质，解得：$a = \pm 1$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
方程根的定义，平方根运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查利用方程根的性质求解参数的方法，计算量小，只要掌握根的定义即可顺利解答，是一元二次方程相关考点中的常见基础题。
【难度系数】
0.9
4. 用配方法解方程$x^2 - 4x - 1 = 0$时，配方后正确的是（
A.$(x + 2)^2 = 3$
B.$(x + 2)^2 = 17$
C.$(x - 2)^2 = 5$
D.$(x - 2)^2 = 17$
C
）A.$(x + 2)^2 = 3$
B.$(x + 2)^2 = 17$
C.$(x - 2)^2 = 5$
D.$(x - 2)^2 = 17$
答案
4. C
解析
【分析】
要解答本题，需按照配方法解一元二次方程的标准思路逐步推导：首先将常数项移到方程右侧，把含未知数的项留在左侧；再给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方的形式，整理后对比选项即可得出正确答案。
【解析】
用配方法解方程$x^2 - 4x - 1 = 0$的步骤如下：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 - 4x = 1$
2. 配方：一次项系数为$-4$，它的一半的平方为$(\frac{-4}{2})^2=4$，给方程两边同时加4：
$x^2 - 4x + 4 = 1 + 4$
3. 将左侧整理为完全平方形式：
$(x - 2)^2 = 5$
因此配方后正确的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，等式的性质
【点评】
本题属于配方法的基础考查题，解题的关键是牢记配方法的操作步骤，尤其要注意一次项系数的符号，避免配方时出现符号错误。
【难度系数】
0.8
要解答本题，需按照配方法解一元二次方程的标准思路逐步推导：首先将常数项移到方程右侧，把含未知数的项留在左侧；再给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方的形式，整理后对比选项即可得出正确答案。
【解析】
用配方法解方程$x^2 - 4x - 1 = 0$的步骤如下：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 - 4x = 1$
2. 配方：一次项系数为$-4$，它的一半的平方为$(\frac{-4}{2})^2=4$，给方程两边同时加4：
$x^2 - 4x + 4 = 1 + 4$
3. 将左侧整理为完全平方形式：
$(x - 2)^2 = 5$
因此配方后正确的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，等式的性质
【点评】
本题属于配方法的基础考查题，解题的关键是牢记配方法的操作步骤，尤其要注意一次项系数的符号，避免配方时出现符号错误。
【难度系数】
0.8
5. 一元二次方程$2x^2 -5x +6=0$的根的情况为（
A.无实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根
D.不能判定
A
）A.无实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根
D.不能判定
答案
5. A
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，需使用一元二次方程根的判别式$\Delta = b^2-4ac$：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，方程无实数根。解题时首先从给定方程中确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的值，再代入判别式公式计算$\Delta$的取值，最后根据$\Delta$的正负判断根的情况即可。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2 -5x +6=0$，
二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-5$，常数项$c=6$，
代入根的判别式公式得：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 × 2 × 6 = 25 - 48 = -23$
$\because \Delta = -23 ＜ 0$
$\therefore$ 该一元二次方程无实数根。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程根的判定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查利用判别式判断一元二次方程根的情况，解题的关键是准确识别方程各项的系数，正确计算判别式的数值即可快速得出结论。
【难度系数】
0.9
要判断一元二次方程根的情况，需使用一元二次方程根的判别式$\Delta = b^2-4ac$：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，方程无实数根。解题时首先从给定方程中确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的值，再代入判别式公式计算$\Delta$的取值，最后根据$\Delta$的正负判断根的情况即可。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2 -5x +6=0$，
二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-5$，常数项$c=6$，
代入根的判别式公式得：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 × 2 × 6 = 25 - 48 = -23$
$\because \Delta = -23 ＜ 0$
$\therefore$ 该一元二次方程无实数根。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程根的判定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查利用判别式判断一元二次方程根的情况，解题的关键是准确识别方程各项的系数，正确计算判别式的数值即可快速得出结论。
【难度系数】
0.9
6. 如图，在长为100 m，宽为50 m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是$3600\ \mathrm{m}^2$，则小路的宽是（
A.5 m
B.70 m
C.5 m或70 m
D.10 m
A
）A.5 m
B.70 m
C.5 m或70 m
D.10 m
答案
6. A
解析
【分析】
这是一道一元二次方程在几何面积问题中的应用题，解题可按以下思路思考：首先对于矩形中修建等宽小路的问题，可采用平移法简化计算，将四条小路分别向矩形的边缘平移，余下的花圃部分可以拼成一个规则的新矩形，只需表示出新矩形的长和宽，再结合花圃的已知面积列方程求解即可，最后要结合实际情况对方程的解进行检验，舍去不符合实际意义的解。
【解析】
解：设小路的宽为$x\ \mathrm{m}$。
将小路平移到矩形边缘后，花圃部分为长$(100-2x)\ \mathrm{m}$、宽$(50-2x)\ \mathrm{m}$的矩形，根据花圃面积为$3600\ \mathrm{m}^2$，列方程：
$(100-2x)(50-2x)=3600$
展开并整理方程：
$5000-300x+4x^2=3600$
$4x^2-300x+1400=0$
两边同时除以4得：
$x^2-75x+350=0$
因式分解得：
$(x-5)(x-70)=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=70$。
结合实际意义，小路宽度不能超过原矩形的宽，即$50-2x＞0$，$x＜25$，因此$x=70$不符合题意，舍去。
故小路的宽为$5\ \mathrm{m}$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；实际问题解的检验
【点评】
本题是方程与几何结合的常见应用题，核心技巧是通过平移法将分散的花圃面积转化为规则矩形的面积，降低计算难度，解题时要特别注意求出方程的解后，需结合实际场景验证解的合理性，避免错选增根。
【难度系数】
0.7
这是一道一元二次方程在几何面积问题中的应用题，解题可按以下思路思考：首先对于矩形中修建等宽小路的问题，可采用平移法简化计算，将四条小路分别向矩形的边缘平移，余下的花圃部分可以拼成一个规则的新矩形，只需表示出新矩形的长和宽，再结合花圃的已知面积列方程求解即可，最后要结合实际情况对方程的解进行检验，舍去不符合实际意义的解。
【解析】
解：设小路的宽为$x\ \mathrm{m}$。
将小路平移到矩形边缘后，花圃部分为长$(100-2x)\ \mathrm{m}$、宽$(50-2x)\ \mathrm{m}$的矩形，根据花圃面积为$3600\ \mathrm{m}^2$，列方程：
$(100-2x)(50-2x)=3600$
展开并整理方程：
$5000-300x+4x^2=3600$
$4x^2-300x+1400=0$
两边同时除以4得：
$x^2-75x+350=0$
因式分解得：
$(x-5)(x-70)=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=70$。
结合实际意义，小路宽度不能超过原矩形的宽，即$50-2x＞0$，$x＜25$，因此$x=70$不符合题意，舍去。
故小路的宽为$5\ \mathrm{m}$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；实际问题解的检验
【点评】
本题是方程与几何结合的常见应用题，核心技巧是通过平移法将分散的花圃面积转化为规则矩形的面积，降低计算难度，解题时要特别注意求出方程的解后，需结合实际场景验证解的合理性，避免错选增根。
【难度系数】
0.7
二、填空题
7. 一元二次方程$3x(x - 2) = -4$的一般形式是
7. 一元二次方程$3x(x - 2) = -4$的一般形式是
$3x^2 -6x +4 =0$
.答案
7. $3x^2 -6x +4 =0$
解析
【分析】
首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a、b、c$为常数），解题时先运用乘法分配律去掉方程左侧的括号，再将等号右侧的常数项移到左侧，移项注意变号，最终整理为左侧是按$x$降幂排列的多项式、右侧为0的形式即可，过程中要注意避免符号和计算错误。
【解析】
解：对原方程$3x(x - 2) = -4$逐步化简：
1. 去括号：根据乘法分配律，$3x$分别乘括号内的两项，得$3x^2 - 6x = -4$；
2. 移项：将等号右侧的$-4$移到等号左侧，移项变号，得$3x^2 - 6x + 4 = 0$，该式符合一元二次方程一般形式的要求。
【答案】
$3x^2 -6x +4 =0$
【知识点】
一元二次方程的一般形式；去括号法则；移项法则
【点评】
本题是基础类填空题，核心考查一元二次方程一般形式的化简规则，易错点为去括号时漏乘项、移项时符号处理错误，熟练掌握整式化简的基本方法即可顺利得分。
【难度系数】
0.9
首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a、b、c$为常数），解题时先运用乘法分配律去掉方程左侧的括号，再将等号右侧的常数项移到左侧，移项注意变号，最终整理为左侧是按$x$降幂排列的多项式、右侧为0的形式即可，过程中要注意避免符号和计算错误。
【解析】
解：对原方程$3x(x - 2) = -4$逐步化简：
1. 去括号：根据乘法分配律，$3x$分别乘括号内的两项，得$3x^2 - 6x = -4$；
2. 移项：将等号右侧的$-4$移到等号左侧，移项变号，得$3x^2 - 6x + 4 = 0$，该式符合一元二次方程一般形式的要求。
【答案】
$3x^2 -6x +4 =0$
【知识点】
一元二次方程的一般形式；去括号法则；移项法则
【点评】
本题是基础类填空题，核心考查一元二次方程一般形式的化简规则，易错点为去括号时漏乘项、移项时符号处理错误，熟练掌握整式化简的基本方法即可顺利得分。
【难度系数】
0.9
