1. 如图所示的图形中，三角形共有 （）

A.3个
B.4个
C.5个
D.6个

1.C

【分析】
要正确数出三角形的个数，需遵循有序计数的原则，避免重复和遗漏。我们可以先数单独的小三角形，再数由多个小三角形组合形成的大三角形。首先观察图形特征，线段AD和BC交于点E，我们按从小到大的顺序逐一识别符合三角形定义的图形即可。
【解析】
我们按照有序计数的方法统计：
1. 数单个的小三角形：有△ABE、△ACE、△CDE，共3个；
2. 数由两个小三角形组合成的大三角形：有△ABC（由△ABE和△ACE组合得到）、△ACD（由△ACE和△CDE组合得到），共2个；
总计三角形的个数为$3+2=5$个。
【答案】
C
【知识点】
三角形的概念，图形计数
【点评】
本题属于基础的几何计数类题目，核心是掌握三角形的定义，计数时按固定顺序统计即可，易错点是容易漏数组合而成的大三角形或者重复计数。
【难度系数】
0.8

2.(教材习题变式)观察图形，回答下列问题：
(1)以线段AE为边的三角形有；
；
(2)以∠B为角的三角形有；
；
(3)△AED的三个内角分别是；
.

2.(1)△ABE,△ADE和△ACE
(2)△ABD,△ABE和△ABC
(3)∠DAE,∠ADE,∠AED

【分析】
解决本题需要紧扣三角形的相关概念：①三角形的边：组成三角形的线段叫做三角形的边；②三角形的内角：三角形中相邻两边组成的角叫做三角形的内角。解题时按顺序查找即可，避免漏解或多解：
(1) 找以AE为边的三角形，固定边AE，找第三个不同的顶点即可得到所有符合要求的三角形；
(2) 找以∠B为角的三角形，固定∠B的顶点B和两条边的方向，找第三个顶点即可；
(3) 找△AED的内角，依次取三角形的三个顶点，找顶点处位于三角形内部的角即可。
【解析】
(1) 固定边AE，第三个顶点分别取B、D、C，得到以AE为边的三角形：△ABE、△ADE、△ACE；
(2) 固定∠B（顶点为B，两边分别在射线BA、BC上），第三个顶点分别取D、E、C，得到以∠B为角的三角形：△ABD、△ABE、△ABC；
(3) △AED的三个内角是三个顶点处的内角，分别是顶点A处的∠DAE、顶点D处的∠ADE、顶点E处的∠AED。
【答案】
(1)△ABE，△ADE，△ACE
(2)△ABD，△ABE，△ABC
(3)∠DAE，∠ADE，∠AED
【知识点】
三角形的定义，三角形的边，三角形的内角
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是熟练掌握三角形的边、内角的定义，查找时按一定顺序枚举即可，避免出现漏数的情况。
【难度系数】
0.9

3. 三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小椭圆圈里的A表示 （）

A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形

3.D

【分析】
解题时首先明确本题的分类标准是“按边分类”，因此可先排除按角划分的三角形类型；再回忆三角形按边的分类框架：三角形整体分为两类，一类是三边都不相等的三角形，另一类是等腰三角形；而等腰三角形中包含特殊的三边都相等的类型即等边三角形，因此等腰三角形集合内部的子集A就是等边三角形。
【解析】
三角形按边分类可分为两大类：①三边都不相等的三角形；②等腰三角形。其中等腰三角形又可进一步分为：底边和腰不相等的等腰三角形，以及等边三角形（三边都相等，属于特殊的等腰三角形，是等腰三角形的子集）。
选项A、B、C均是三角形按角分类的结果，不符合本题按边分类的集合体系，应排除；因此等腰三角形集合内的A表示等边三角形。
【答案】D
【知识点】
三角形按边分类；等边三角形的从属关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考查三角形按边的分类逻辑，需要学生清晰区分按边分类和按角分类的不同标准，明确等边三角形是特殊的等腰三角形这一从属关系。
【难度系数】
0.9

4. 图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是 （）

A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.以上都有可能

4.D

【分析】
首先明确三角形按角分类的标准，再结合题图已知条件推导。图中仅露出1个锐角，我们需要回忆三类三角形的内角特征：锐角三角形有3个锐角，直角三角形有1个直角+2个锐角，钝角三角形有1个钝角+2个锐角，三类三角形都可以存在锐角。因此仅靠露出的1个锐角无法确定其余两个角的类型，三种三角形都有可能符合条件。
【解析】
三角形按角可分为三类：
1. 三个角都是锐角的是锐角三角形；
2. 有一个角是直角的是直角三角形；
3. 有一个角是钝角的是钝角三角形。
观察题图可知，仅露出的一个角为锐角，被遮住的两个角存在三种可能：若其余两个角都是锐角，就是锐角三角形；若其余两个角有一个是直角，就是直角三角形；若其余两个角有一个是钝角，就是钝角三角形。因此三种情况都有可能，故选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形按角分类；三角形内角特征
【点评】
本题易错点是容易误以为露出锐角就一定是锐角三角形，解题时要注意每类三角形都含有锐角，仅通过一个锐角无法判断三角形的具体类型，需要结合所有内角的情况判断。
【难度系数】
0.7

5.如图，已知$AB=AC$，$AD=BD=DE=CE=AE$，则图中有个等腰三角形，有个等边三角形。

5.4 1

【分析】
解题时首先明确等腰三角形和等边三角形的定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形，三条边都相等的三角形是等边三角形（等边三角形是特殊的等腰三角形）。接下来先列出图中所有的三角形，再结合题目给出的边相等的条件逐个判定，注意不要漏数也不要重复计数。
【解析】
1. 判定等腰三角形：
① 已知$AB=AC$，满足两边相等，故$△ ABC$是等腰三角形；
② 已知$AD=BD$，满足两边相等，故$△ ABD$是等腰三角形；
③ 已知$AD=DE=AE$，三边都相等，故$△ ADE$是等边三角形，同时属于等腰三角形；
④ 已知$AE=CE$，满足两边相等，故$△ AEC$是等腰三角形。
因此等腰三角形共有4个。
2. 判定等边三角形：
只有$△ ADE$满足三边相等的条件，其余三角形均不满足，故等边三角形共有1个。
【答案】
4；1
【知识点】
等腰三角形判定，等边三角形判定，三角形的识别
【点评】
本题侧重考查对等腰、等边三角形概念的理解，解题时需先梳理清楚图中所有三角形，再结合给出的边相等条件逐一判断，注意等边三角形属于特殊的等腰三角形，计数时不要遗漏。
【难度系数】
0.7

6.若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有对。

6.3

【分析】
解题时首先要明确题目给出的“共边三角形”的定义，即有一条公共边的两个三角形为一对共边三角形。本题要求找以BC为公共边的共边三角形，所以第一步先找出图中所有以BC为边的三角形，再将这些三角形两两配对，统计配对的总数量就是最终答案，注意找三角形时要做到不重不漏。
【解析】
首先观察图形，找出所有以BC为边的三角形：分别是△ABC、△EBC、△DBC，共3个。
接下来对这3个三角形进行两两配对：
1. △ABC和△DBC，以BC为公共边，符合要求；
2. △ABC和△EBC，以BC为公共边，符合要求；
3. △DBC和△EBC，以BC为公共边，符合要求。
综上，符合要求的共边三角形共有3对。
【答案】
3
【知识点】
三角形的识别、新定义理解
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题核心是准确理解新定义的含义，先完整找出所有以BC为边的三角形，再有序计数配对即可，计数时要注意避免重复和遗漏。
【难度系数】
0.7

7.如图,第1个图中有1个三角形,第2个图中共有5个三角形,第3个图中共有9个三角形,依此类推,则第6个图中共有个三角形.

7.21

【分析】
这是图形规律探究类题目，解题时先梳理已知的前3个图形对应的三角形数量：第1个图1个，第2个图5个，第3个图9个。对比相邻数值的差可发现，后一个图比前一个图多4个三角形，属于公差为4的等差数列，据此可推导第n个图的三角形数量的通用表达式，再将n=6代入表达式计算即可得到结果。
【解析】
解：观察已知图形的三角形数量：
第1个图形：三角形个数为$1 = 4×1 - 3$；
第2个图形：三角形个数为$5 = 4×2 - 3$；
第3个图形：三角形个数为$9 = 4×3 - 3$；
由此可得规律：第$n$个图形中三角形的个数为$4n - 3$。
当$n=6$时，三角形个数为$4×6 - 3 = 24 - 3 = 21$。
【答案】
21
【知识点】
图形规律探究；等差数列规律；代数式求值
【点评】
本题考查图形变化的规律探究，核心是通过观察、对比已知图形的数量特征，总结出通用的数量规律，再代入数值求解，解题时可先验证规律是否符合所有已知条件，避免规律推导错误。
【难度系数】
0.7

8.如图,过A,B,C,D,E五个点中任意三点画三角形.
(1)以AB为一边可以画出个三角形；
(2)以C为顶点可以画出多少个三角形？其中有几个等腰三角形？

8.解:(1)3
(2)如图，以点C为顶点的三角形有△ABC,△BEC,△BCD,△ACE,△ACD,△CDE共6个,其中等腰三角形有1个。

【分析】
(1) 要确定以AB为一边的三角形数量，只需找第三个顶点：第三个顶点不能与A、B共线，剩余的点为C、D、E，三个点都不与AB共线，每个点都能和AB组成1个三角形，直接计数即可。
(2) 要找以C为顶点的三角形，另外两个顶点从剩下的A、B、D、E四个点中选2个，按顺序组合，本题不存在三点共线的情况，数出总个数后，再结合网格特征判断各三角形的边长是否有相等的，即可得到等腰三角形的数量。
【解析】
解：(1) 以AB为一边时，第三个顶点可选择C、D、E，能构成△ABC、△ABD、△ABE，共3个三角形。
(2) 从A、B、D、E中任选2个点与C组合，可得到△ABC、△BEC、△BCD、△ACE、△ACD、△CDE，共6个三角形。
结合网格观察各三角形边长：△ACE中，AE的横向偏移1格、纵向偏移3格，AC的横向偏移3格、纵向偏移1格，二者长度相等，故△ACE是等腰三角形，其余三角形均不存在两边长度相等的情况，因此等腰三角形共有1个。
【答案】
(1)3
(2)如图，以点C为顶点的三角形有△ABC,△BEC,△BCD,△ACE,△ACD,△CDE共6个,其中等腰三角形有1个。
【知识点】
三角形的定义；等腰三角形判定；几何计数
【点评】
本题解题的关键是按顺序计数，避免重复或遗漏，判断等腰三角形时可结合网格特征直接比较线段长度，降低计算难度。
【难度系数】
0.7