登录
2. 在某次演讲比赛中，五位评委给选手圆圆打分，打出互不相等的五个分数.去掉一个最低分，平均分为$x$；去掉一个最高分，平均分为$y$；同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分为$z$，则（
A.$y＞z＞x$
B.$x＞z＞y$
C.$y＞x＞z$
D.$z＞y＞x$
B
）A.$y＞z＞x$
B.$x＞z＞y$
C.$y＞x＞z$
D.$z＞y＞x$
答案
2.B
解析
【分析】
要比较x、y、z的大小，我们可以先将五个互不相等的分数按从小到大排序，明确最高分和最低分，再分别写出x、y、z对应的代数式，通过作差法比较代数式的大小，就能得出三者的关系。
【解析】
设五个互不相等的分数按从小到大排列为：$a ＜ b ＜ c ＜ d ＜ e$，其中$a$是最低分，$e$是最高分。
根据题意可得：
1. 去掉最低分后的平均分：$x = \frac{b + c + d + e}{4}$
2. 去掉最高分后的平均分：$y = \frac{a + b + c + d}{4}$
3. 同时去掉最高分和最低分后的平均分：$z = \frac{b + c + d}{3}$
首先比较$x$和$z$：
$x - z = \frac{b + c + d + e}{4} - \frac{b + c + d}{3} = \frac{3(b + c + d + e) - 4(b + c + d)}{12} = \frac{3e - b - c - d}{12}$
因为$e ＞ b$，$e ＞ c$，$e ＞ d$，所以$3e ＞ b + c + d$，即$x - z ＞ 0$，得$x ＞ z$。
再比较$z$和$y$：
$z - y = \frac{b + c + d}{3} - \frac{a + b + c + d}{4} = \frac{4(b + c + d) - 3(a + b + c + d)}{12} = \frac{b + c + d - 3a}{12}$
因为$b ＞ a$，$c ＞ a$，$d ＞ a$，所以$b + c + d ＞ 3a$，即$z - y ＞ 0$，得$z ＞ y$。
综上可得$x ＞ z ＞ y$。
【答案】
B
【知识点】
平均数的计算；作差法比较大小
【点评】
本题通过设数排序将抽象的平均分转化为具体的代数式，降低了比较难度，解题的关键是准确写出三个平均分对应的表达式，灵活运用作差法判断大小。
【难度系数】
0.7
要比较x、y、z的大小，我们可以先将五个互不相等的分数按从小到大排序，明确最高分和最低分，再分别写出x、y、z对应的代数式，通过作差法比较代数式的大小，就能得出三者的关系。
【解析】
设五个互不相等的分数按从小到大排列为：$a ＜ b ＜ c ＜ d ＜ e$，其中$a$是最低分，$e$是最高分。
根据题意可得：
1. 去掉最低分后的平均分：$x = \frac{b + c + d + e}{4}$
2. 去掉最高分后的平均分：$y = \frac{a + b + c + d}{4}$
3. 同时去掉最高分和最低分后的平均分：$z = \frac{b + c + d}{3}$
首先比较$x$和$z$：
$x - z = \frac{b + c + d + e}{4} - \frac{b + c + d}{3} = \frac{3(b + c + d + e) - 4(b + c + d)}{12} = \frac{3e - b - c - d}{12}$
因为$e ＞ b$，$e ＞ c$，$e ＞ d$，所以$3e ＞ b + c + d$，即$x - z ＞ 0$，得$x ＞ z$。
再比较$z$和$y$：
$z - y = \frac{b + c + d}{3} - \frac{a + b + c + d}{4} = \frac{4(b + c + d) - 3(a + b + c + d)}{12} = \frac{b + c + d - 3a}{12}$
因为$b ＞ a$，$c ＞ a$，$d ＞ a$，所以$b + c + d ＞ 3a$，即$z - y ＞ 0$，得$z ＞ y$。
综上可得$x ＞ z ＞ y$。
【答案】
B
【知识点】
平均数的计算；作差法比较大小
【点评】
本题通过设数排序将抽象的平均分转化为具体的代数式，降低了比较难度，解题的关键是准确写出三个平均分对应的表达式，灵活运用作差法判断大小。
【难度系数】
0.7
3. 为监测某河道水质，进行了6次水质检测，绘制了如图的氨氮含量的折线统计图.若这6次水质检测氨氮含量平均数为1.5 mg/L，则第3次检测得到的氨氮含量是（
A.1.6 mg/L
B.1.5 mg/L
C.1.2 mg/L
D.1 mg/L
D
）A.1.6 mg/L
B.1.5 mg/L
C.1.2 mg/L
D.1 mg/L
答案
3.D
解析
【分析】
本题已知6次检测氨氮含量的平均数，要求第3次的含量，解题思路如下：首先根据平均数的计算公式，由平均数和检测次数求出6次检测的总含量；再从折线统计图中读出除第3次外其余5次的氨氮含量，计算出这5次的总含量；最后用6次的总含量减去5次的总含量，即可求出第3次的检测含量。
【解析】
首先计算6次检测氨氮的总含量：
根据“总含量=平均数×检测次数”，可得总含量为 $1.5 × 6 = 9\ \mathrm{mg/L}$。
从折线统计图中读取已知5次的含量：第1次1.6mg/L，第2次2mg/L，第4次1.5mg/L，第5次1.4mg/L，第6次1.5mg/L。
计算这5次的总含量：
$1.6 + 2 + 1.5 + 1.4 + 1.5 = 8\ \mathrm{mg/L}$
则第3次的检测含量为：
$9 - 8 = 1\ \mathrm{mg/L}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
平均数计算，折线统计图识读
【点评】
本题属于基础题，重点考查平均数公式的灵活运用以及从折线统计图中提取有效信息的能力，只要熟练掌握平均数的基本计算方法，准确读取图中数据就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
本题已知6次检测氨氮含量的平均数，要求第3次的含量，解题思路如下：首先根据平均数的计算公式，由平均数和检测次数求出6次检测的总含量；再从折线统计图中读出除第3次外其余5次的氨氮含量，计算出这5次的总含量；最后用6次的总含量减去5次的总含量，即可求出第3次的检测含量。
【解析】
首先计算6次检测氨氮的总含量：
根据“总含量=平均数×检测次数”，可得总含量为 $1.5 × 6 = 9\ \mathrm{mg/L}$。
从折线统计图中读取已知5次的含量：第1次1.6mg/L，第2次2mg/L，第4次1.5mg/L，第5次1.4mg/L，第6次1.5mg/L。
计算这5次的总含量：
$1.6 + 2 + 1.5 + 1.4 + 1.5 = 8\ \mathrm{mg/L}$
则第3次的检测含量为：
$9 - 8 = 1\ \mathrm{mg/L}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
平均数计算，折线统计图识读
【点评】
本题属于基础题，重点考查平均数公式的灵活运用以及从折线统计图中提取有效信息的能力，只要熟练掌握平均数的基本计算方法，准确读取图中数据就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
4. 已知一组数据－1，－2，3，－4，4，则它们的平均数$\bar{x}=$
0
.（第3题）答案
4.0
解析
【分析】
本题考查算术平均数的计算，解题思路如下：首先回忆算术平均数的计算公式：一组数据的平均数等于所有数据的总和除以数据的总个数。第一步先统计这组数据的总个数，第二步计算所有数据相加的总和，第三步用总和除以总个数即可求出平均数，计算时要注意正负数的加法规则，避免符号错误。
【解析】
根据算术平均数的计算公式：$\bar{x}=\frac{1}{n}(x_1+x_2+\dots+x_n)$，其中$n$为数据的个数，$x_1,x_2,\dots,x_n$为各数据。
首先确定这组数据的个数$n=5$，再计算数据总和：
$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=(-1)+(-2)+3+(-4)+4=0$
代入公式得：
$\bar{x}=\frac{0}{5}=0$
【答案】
0
【知识点】
算术平均数的计算；有理数的加减运算
【点评】
本题属于基础题，主要考查算术平均数的基本计算方法，熟练掌握平均数公式是解题的核心，计算过程中注意正负数的运算规则，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.9
本题考查算术平均数的计算，解题思路如下：首先回忆算术平均数的计算公式：一组数据的平均数等于所有数据的总和除以数据的总个数。第一步先统计这组数据的总个数，第二步计算所有数据相加的总和，第三步用总和除以总个数即可求出平均数，计算时要注意正负数的加法规则，避免符号错误。
【解析】
根据算术平均数的计算公式：$\bar{x}=\frac{1}{n}(x_1+x_2+\dots+x_n)$，其中$n$为数据的个数，$x_1,x_2,\dots,x_n$为各数据。
首先确定这组数据的个数$n=5$，再计算数据总和：
$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=(-1)+(-2)+3+(-4)+4=0$
代入公式得：
$\bar{x}=\frac{0}{5}=0$
【答案】
0
【知识点】
算术平均数的计算；有理数的加减运算
【点评】
本题属于基础题，主要考查算术平均数的基本计算方法，熟练掌握平均数公式是解题的核心，计算过程中注意正负数的运算规则，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.9
5. 已知一组数据$ x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 $的平均数是4，那么另一组数据$ 3x_1 - 2, 3x_2 - 2, 3x_3 - 2, 3x_4 - 2, 3x_5 - 2 $的平均数是
10
。答案
5.10
解析
【分析】
解题时首先回忆平均数的定义：平均数等于一组数据中所有数据之和除以数据的个数。已知原数据的平均数，我们可以先求出原数据的总和，再将新数据的总和用原数据的总和表示，最后根据平均数公式计算新数据的平均数即可。也可以直接利用平均数的变化规律：若一组数据每个元素都变为原来的a倍再加b，那么新的平均数等于原平均数乘a再加b，快速求解。
【解析】
解：已知数据$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$的平均数是4，根据平均数的定义可得：
$\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5}=4$
所以$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=4×5=20$
设新数据$3x_1 - 2, 3x_2 - 2, 3x_3 - 2, 3x_4 - 2, 3x_5 - 2$的平均数为$\overline{x}$，则：
$\overline{x}=\frac{(3x_1 - 2)+(3x_2 - 2)+(3x_3 - 2)+(3x_4 - 2)+(3x_5 - 2)}{5}$
对分子整理得：
$\overline{x}=\frac{3(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5) - 2×5}{5}$
将$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=20$代入上式：
$\overline{x}=\frac{3×20 - 10}{5}=\frac{60-10}{5}=\frac{50}{5}=10$
【答案】
10
【知识点】
1. 平均数的定义
2. 平均数的变化规律
【点评】
本题是平均数相关的基础题，解题核心是掌握平均数的计算方法，既可以通过定义逐步推导，也可以记住数据线性变换下平均数的变化规律快速得出结果，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平均数的定义：平均数等于一组数据中所有数据之和除以数据的个数。已知原数据的平均数，我们可以先求出原数据的总和，再将新数据的总和用原数据的总和表示，最后根据平均数公式计算新数据的平均数即可。也可以直接利用平均数的变化规律：若一组数据每个元素都变为原来的a倍再加b，那么新的平均数等于原平均数乘a再加b，快速求解。
【解析】
解：已知数据$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$的平均数是4，根据平均数的定义可得：
$\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5}=4$
所以$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=4×5=20$
设新数据$3x_1 - 2, 3x_2 - 2, 3x_3 - 2, 3x_4 - 2, 3x_5 - 2$的平均数为$\overline{x}$，则：
$\overline{x}=\frac{(3x_1 - 2)+(3x_2 - 2)+(3x_3 - 2)+(3x_4 - 2)+(3x_5 - 2)}{5}$
对分子整理得：
$\overline{x}=\frac{3(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5) - 2×5}{5}$
将$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=20$代入上式：
$\overline{x}=\frac{3×20 - 10}{5}=\frac{60-10}{5}=\frac{50}{5}=10$
【答案】
10
【知识点】
1. 平均数的定义
2. 平均数的变化规律
【点评】
本题是平均数相关的基础题，解题核心是掌握平均数的计算方法，既可以通过定义逐步推导，也可以记住数据线性变换下平均数的变化规律快速得出结果，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.8
6. 某鼓号队10名队员的身高(单位:cm)如下:172,167,171,168,160,172,168,162,172,169.请用简便计算方法求他们的平均身高.
答案
6. 168.1 cm
解析
【分析】
本题要求用简便方法计算平均身高，观察给出的10个身高数据，数值都集中在170cm附近，因此可以采用基准数法简化计算：首先选定一个接近所有数据的基准数，将每个原数据减去基准数得到一组数值更小的新数据，计算新数据的平均数后，再加回基准数，即可得到原数据的平均身高，避免直接计算大数的和，降低计算量。
【解析】
解：观察所有身高数据均接近170cm，选择170cm作为基准数。
将每个身高数据减去170，得到新数据：
2，-3，1，-2，-10，2，-2，-8，2，-1
计算新数据的平均数：
$\bar{x}'=\frac{2 + (-3) + 1 + (-2) + (-10) + 2 + (-2) + (-8) + 2 + (-1)}{10}=\frac{-19}{10}=-1.9$
则原数据的平均身高为：
$\bar{x}=170 + (-1.9)=168.1\ \mathrm{cm}$
【答案】
168.1 cm
【知识点】
平均数的计算；基准数法简便运算
【点评】
本题考查平均数的简便计算方法，当一组数据数值较为接近时，选用基准数法可以有效减少计算量，降低计算出错的概率，是处理这类平均数计算问题的常用技巧。
【难度系数】
0.85
本题要求用简便方法计算平均身高，观察给出的10个身高数据，数值都集中在170cm附近，因此可以采用基准数法简化计算：首先选定一个接近所有数据的基准数，将每个原数据减去基准数得到一组数值更小的新数据，计算新数据的平均数后，再加回基准数，即可得到原数据的平均身高，避免直接计算大数的和，降低计算量。
【解析】
解：观察所有身高数据均接近170cm，选择170cm作为基准数。
将每个身高数据减去170，得到新数据：
2，-3，1，-2，-10，2，-2，-8，2，-1
计算新数据的平均数：
$\bar{x}'=\frac{2 + (-3) + 1 + (-2) + (-10) + 2 + (-2) + (-8) + 2 + (-1)}{10}=\frac{-19}{10}=-1.9$
则原数据的平均身高为：
$\bar{x}=170 + (-1.9)=168.1\ \mathrm{cm}$
【答案】
168.1 cm
【知识点】
平均数的计算；基准数法简便运算
【点评】
本题考查平均数的简便计算方法，当一组数据数值较为接近时，选用基准数法可以有效减少计算量，降低计算出错的概率，是处理这类平均数计算问题的常用技巧。
【难度系数】
0.85
7. 为了解某市的交通状况，现对该市的6条道路进行评估，得分分别为5,6,7,8,9,10.规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如表：
求本次评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级.
求本次评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级.
答案
7. 这6条道路的平均得分为7.5(分),该市的总体交通状况等级为合格
解析
【分析】
解题可分两步进行：第一步先计算6条道路得分的平均数，平均数的计算规则是所有数据的总和除以数据的总个数；第二步将算出的平均得分和表格给出的等级区间做对比，匹配到对应的交通状况等级即可。
【解析】
首先计算6条道路的平均得分：
$\bar{x}=\frac{5+6+7+8+9+10}{6}=\frac{45}{6}=7.5$（分）
对照表格的等级划分规则：$6≤7.5＜8$，对应的总体交通状况等级为合格。
【答案】
本次评估的平均得分为7.5分，该市的总体交通状况等级为合格。
【知识点】
平均数的计算，统计表格信息提取
【点评】
本题属于基础题型，考查基础的平均数计算能力和从统计表格中提取有效信息的能力，掌握平均数的计算公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.9
解题可分两步进行：第一步先计算6条道路得分的平均数，平均数的计算规则是所有数据的总和除以数据的总个数；第二步将算出的平均得分和表格给出的等级区间做对比，匹配到对应的交通状况等级即可。
【解析】
首先计算6条道路的平均得分：
$\bar{x}=\frac{5+6+7+8+9+10}{6}=\frac{45}{6}=7.5$（分）
对照表格的等级划分规则：$6≤7.5＜8$，对应的总体交通状况等级为合格。
【答案】
本次评估的平均得分为7.5分，该市的总体交通状况等级为合格。
【知识点】
平均数的计算，统计表格信息提取
【点评】
本题属于基础题型，考查基础的平均数计算能力和从统计表格中提取有效信息的能力，掌握平均数的计算公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.9
8. 某班16名男生在体检时测量了身高,以170 cm为标准,记录这16名男生的身高(超过170 cm的部分记为正数,不足170 cm的部分记为负数,单位:cm)如下:
-7,+4,0,+16,+2,-3,+1,-5,-9,+3,-4,+7,+1,-2,+1,t.
(1) 若身高记为t的男生身高是181 cm,则t=
(2) 这16名男生中最高的男生与最矮的男生身高相差多少?
(3) 在(1)的条件下,计算这16名男生的平均身高.
-7,+4,0,+16,+2,-3,+1,-5,-9,+3,-4,+7,+1,-2,+1,t.
(1) 若身高记为t的男生身高是181 cm,则t=
+11
.(2) 这16名男生中最高的男生与最矮的男生身高相差多少?
(3) 在(1)的条件下,计算这16名男生的平均身高.
答案
8.（1）181−170=11(cm),则t=+11
（2）16−(−9)=16+9=25(cm),即这16名男生中最高的男生与最矮的男生身高相差25 cm
（3）$\frac{1}{16}×(-7+4+0+16+2-3+1-5-9+3-4+7+1-2+1+11)+170=171(cm)$,即这16名男生的平均身高为171 cm
（2）16−(−9)=16+9=25(cm),即这16名男生中最高的男生与最矮的男生身高相差25 cm
（3）$\frac{1}{16}×(-7+4+0+16+2-3+1-5-9+3-4+7+1-2+1+11)+170=171(cm)$,即这16名男生的平均身高为171 cm
解析
【分析】
（1）第一问根据正负数的记录规则，超过标准身高170cm的部分记为正数，已知实际身高求记录值，直接用实际身高减去标准身高即可得到t的值。
（2）第二问求最高与最矮男生的身高差，先找到所有记录值中的最大值和最小值，最高身高为170加最大记录值，最矮身高为170加最小记录值，二者作差时标准身高170抵消，直接用最大记录值减去最小记录值即可得到身高差。
（3）第三问计算平均身高，可先计算16名男生身高的总偏差（即所有记录值的和），再求出平均偏差，最后加上标准身高170cm，就能得到平均身高，该方法可简化计算过程。
【解析】
（1）由题意，记录值等于实际身高减去标准身高170cm，已知身高记为t的男生身高为181cm，因此：
$t=181-170=11$，即$t=+11$。
（2）观察所有记录值，最大记录值为+16，最小记录值为-9，二者对应的身高差为：
$16-(-9)=16+9=25(\mathrm{cm})$。
（3）在（1）的条件下，先计算所有记录值的总和：
$-7+4+0+16+2-3+1-5-9+3-4+7+1-2+1+11=16$
平均偏差为：$\frac{1}{16}×16=1(\mathrm{cm})$
因此16名男生的平均身高为：$170+1=171(\mathrm{cm})$。
【答案】
（1）$+11$；（2）$25\ \mathrm{cm}$；（3）$171\ \mathrm{cm}$
【知识点】
正负数的意义；有理数加减运算；平均数计算
【点评】
本题结合身高测量的实际场景，考查正负数的实际应用和平均数的计算方法，解题核心是理解以170cm为标准的正负数记录规则，计算时可借助标准量简化运算，注意计算过程中符号不要出错。
【难度系数】
0.8
（1）第一问根据正负数的记录规则，超过标准身高170cm的部分记为正数，已知实际身高求记录值，直接用实际身高减去标准身高即可得到t的值。
（2）第二问求最高与最矮男生的身高差，先找到所有记录值中的最大值和最小值，最高身高为170加最大记录值，最矮身高为170加最小记录值，二者作差时标准身高170抵消，直接用最大记录值减去最小记录值即可得到身高差。
（3）第三问计算平均身高，可先计算16名男生身高的总偏差（即所有记录值的和），再求出平均偏差，最后加上标准身高170cm，就能得到平均身高，该方法可简化计算过程。
【解析】
（1）由题意，记录值等于实际身高减去标准身高170cm，已知身高记为t的男生身高为181cm，因此：
$t=181-170=11$，即$t=+11$。
（2）观察所有记录值，最大记录值为+16，最小记录值为-9，二者对应的身高差为：
$16-(-9)=16+9=25(\mathrm{cm})$。
（3）在（1）的条件下，先计算所有记录值的总和：
$-7+4+0+16+2-3+1-5-9+3-4+7+1-2+1+11=16$
平均偏差为：$\frac{1}{16}×16=1(\mathrm{cm})$
因此16名男生的平均身高为：$170+1=171(\mathrm{cm})$。
【答案】
（1）$+11$；（2）$25\ \mathrm{cm}$；（3）$171\ \mathrm{cm}$
【知识点】
正负数的意义；有理数加减运算；平均数计算
【点评】
本题结合身高测量的实际场景，考查正负数的实际应用和平均数的计算方法，解题核心是理解以170cm为标准的正负数记录规则，计算时可借助标准量简化运算，注意计算过程中符号不要出错。
【难度系数】
0.8
