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10. 已知点$A(m-1,y_1)$，$B(m,y_2)$都在二次函数$y=(x-1)^2+n$的图象上.若$y_1＜y_2$，则$m$的取值范围为（
A.$m＞2$
B.$m＞\dfrac{3}{2}$
C.$m＜1$
D.$\dfrac{3}{2}＜m＜2$
B
）A.$m＞2$
B.$m＞\dfrac{3}{2}$
C.$m＜1$
D.$\dfrac{3}{2}＜m＜2$
答案
10.B
11.已知抛物线$y=a(x-h)^2 +k$与$x$轴有两个交点$A(-1,0),B(3,0)$，抛物线$y=a(x-h-m)^2 +k$与$x$轴的一个交点是$(4,0)$，则$m$的值是 （
A.$5$
B.$-1$
C.$5$或$1$
D.$-5$或$-1$
C
）A.$5$
B.$-1$
C.$5$或$1$
D.$-5$或$-1$
答案
11.C
12.若抛物线 $y=-2(x+m-1)^2 -3m +6$ 的顶点在第二象限，则 m 的取值范围是
$1＜m＜2$
。答案
12.$1＜m＜2$
13.如图，已知二次函数$y=-3(x+m)^2 +k$（$m,k$为常数，且$k＞0$）的图象与$x$轴交于$A,B$两点，若$AB=2$，则$k$的值是
3
。答案
13.3
14.(教材第41页例2变式)如图是某公园一喷水池,在水池中央有一垂直于地面的喷水柱,喷水时,水流在各方向沿形状相同的抛物线落下,若水流喷出的高度 y(m)与水平距离 x(m)之间的函数关系式为 $y=-(x-1)^2+2.25$.
(1)求喷出的水流离地面的最大高度；
(2)求喷嘴离地面的高度；
(3)若把喷水池改成圆形,则水池半径至少为多少时,才能使喷出的水流不落在水池外？
(1)求喷出的水流离地面的最大高度；
(2)求喷嘴离地面的高度；
(3)若把喷水池改成圆形,则水池半径至少为多少时,才能使喷出的水流不落在水池外？
答案
14.(1)解:$\because$水流喷出的高度$y(\mathrm{m})$与水平距离 $x(\mathrm{m})$之间的函数关系式为 $y=-(x-1)^2+2.25$. $\therefore$喷出的水流离地面的最大高度为 $2.25\mathrm{m}$.
(2)当 $x=0$ 时, $y=-(0-1)^2 +2.25=1.25$. $\therefore$喷嘴离地面的高度为 $1.25\mathrm{m}$.
(3)令 $y=0$,即 $0=-(x-1)^2 + 2. 25$, 解得 $x_1=-0.5$,$x_2=2.5$. $\therefore$水池半径至少为 $2.5\mathrm{m}$ 时,才能使喷出的水流不落在水池外.
(2)当 $x=0$ 时, $y=-(0-1)^2 +2.25=1.25$. $\therefore$喷嘴离地面的高度为 $1.25\mathrm{m}$.
(3)令 $y=0$,即 $0=-(x-1)^2 + 2. 25$, 解得 $x_1=-0.5$,$x_2=2.5$. $\therefore$水池半径至少为 $2.5\mathrm{m}$ 时,才能使喷出的水流不落在水池外.
15.(核心素养·模型观念)如图,直线$y=-3x+3$与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线$y=a(x-2)^2+k$经过点A,B,并与x轴交于另一点C,其顶点为P.
(1)求a,k的值;
(2)抛物线的对称轴上是否存在一点N,使$△ ABN$是以AB为斜边的直角三角形?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求a,k的值;
(2)抛物线的对称轴上是否存在一点N,使$△ ABN$是以AB为斜边的直角三角形?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
15.(1)解:在 $y=-3x+3$ 中,令 $y=0$,得 $x=1$;令 $x=0$,得 $y=3$,$\therefore A(1,0)$,$B(0,3)$. 将 $A(1,0)$,$B(0,3)$ 分别代入 $y=a(x-2)^2 +k$,得
$\begin{cases}a+k=0,\\4a+k=3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=1,\\k=-1.\end{cases}$
(2)存在.理由:由题意,可设点 $N$ 的坐标为 $(2,n)$,则 $NB^2=2^2+(n-3)^2=n^2-6n+13$,$NA^2=(2-1)^2+n^2=1+n^2$,且 $AB^2=1^2+3^2=10$. 当 $△ ABN$ 是以 $AB$ 为斜边的直角三角形时,由勾股定理,得 $NB^2+NA^2=AB^2$. $\therefore n^2-6n+13+1+n^2=10$,解得 $n_1=1$,$n_2=2$. $\therefore$点 $N$ 的坐标为 $(2,1)$ 或 $(2,2)$. $\therefore$存在满足条件的点 $N$,其坐标为 $(2,1)$ 或 $(2,2)$.
$\begin{cases}a+k=0,\\4a+k=3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=1,\\k=-1.\end{cases}$
(2)存在.理由:由题意,可设点 $N$ 的坐标为 $(2,n)$,则 $NB^2=2^2+(n-3)^2=n^2-6n+13$,$NA^2=(2-1)^2+n^2=1+n^2$,且 $AB^2=1^2+3^2=10$. 当 $△ ABN$ 是以 $AB$ 为斜边的直角三角形时,由勾股定理,得 $NB^2+NA^2=AB^2$. $\therefore n^2-6n+13+1+n^2=10$,解得 $n_1=1$,$n_2=2$. $\therefore$点 $N$ 的坐标为 $(2,1)$ 或 $(2,2)$. $\therefore$存在满足条件的点 $N$,其坐标为 $(2,1)$ 或 $(2,2)$.
