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6.如果某型号飞机降落后滑行的距离$s$（单位：$\mathrm{m}$）关于滑行的时间$t$（单位：$\mathrm{s}$）的函数解析式是$s=54t-\frac{3}{2}t^2$，则该飞机着陆后到停下的滑行时间为（
A.$18\ \mathrm{s}$
B.$9\ \mathrm{s}$
C.$6\ \mathrm{s}$
D.$3.6\ \mathrm{s}$
A
）。A.$18\ \mathrm{s}$
B.$9\ \mathrm{s}$
C.$6\ \mathrm{s}$
D.$3.6\ \mathrm{s}$
答案
6.A
解析
【分析】
首先明确飞机停下的实际含义：飞机停下时滑行距离不再增加，即此时滑行距离s取得最大值。题目给出的s关于t的函数是开口向下的二次函数，其最大值出现在顶点位置，因此本题可转化为求该二次函数顶点对应的横坐标t的值，利用二次函数顶点坐标公式即可求解。
【解析】
将函数解析式整理为二次函数标准形式：$s=-\frac{3}{2}t^2 + 54t$，其中二次项系数$a=-\frac{3}{2}＜0$，所以该函数图象开口向下，当t取顶点横坐标时，s取得最大值，对应飞机滑行到最大距离后停下。
根据二次函数顶点横坐标公式$t=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-\frac{3}{2}$，$b=54$可得：
$t=-\frac{54}{2×(-\frac{3}{2})}=\frac{54}{3}=18(\mathrm{s})$
因此该飞机着陆后到停下的滑行时间为18s。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的实际应用；顶点坐标公式
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的应用，解题核心是将实际问题中的“停止”状态转化为二次函数取最大值的数学模型，熟练运用二次函数顶点坐标的求法即可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
首先明确飞机停下的实际含义：飞机停下时滑行距离不再增加，即此时滑行距离s取得最大值。题目给出的s关于t的函数是开口向下的二次函数，其最大值出现在顶点位置，因此本题可转化为求该二次函数顶点对应的横坐标t的值，利用二次函数顶点坐标公式即可求解。
【解析】
将函数解析式整理为二次函数标准形式：$s=-\frac{3}{2}t^2 + 54t$，其中二次项系数$a=-\frac{3}{2}＜0$，所以该函数图象开口向下，当t取顶点横坐标时，s取得最大值，对应飞机滑行到最大距离后停下。
根据二次函数顶点横坐标公式$t=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-\frac{3}{2}$，$b=54$可得：
$t=-\frac{54}{2×(-\frac{3}{2})}=\frac{54}{3}=18(\mathrm{s})$
因此该飞机着陆后到停下的滑行时间为18s。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的实际应用；顶点坐标公式
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的应用，解题核心是将实际问题中的“停止”状态转化为二次函数取最大值的数学模型，熟练运用二次函数顶点坐标的求法即可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
7.在某次测试中，小明掷出的实心球的飞行高度$y$(单位:m)与水平距离$x$(单位:m)之间的关系可以近似表达为$y=-\dfrac{1}{10}(x-3)^2+2.5$，则小明本次投掷实心球的成绩表达为
8 m
。答案
7.8 m
8.在排球比赛中,通常情况下,一名球员(二传手)在网前将球垫起来,球在本方球场的网前与球网平行的方向飞行,其飞行路线是抛物线的一部分,进攻队员跳起扣球.如图,球网的长AB为10 m,高OA为2.4 m,二传手在与边界O相距0.5 m处的点E传球,球(看成一个点)从点M处开始沿抛物线MHN飞行,点M的高度为1.8 m,球在水平方向飞行5 m后达到最大高度3.8 m.以点O为坐标原点,OE为x轴,OA为y轴,建立平面直角坐标系.
(1)求抛物线的解析式.
(2)甲球员在距二传手2 m的点F处起跳扣快球,其最大扣球高度为3.10 m(只考虑在起跳点正上方扣球,不考虑起跳时间等因素),甲球员能否扣到球?
(3)若乙球员的最大扣球高度是3.4 m,而对方防守队员最大防守高度为3.2 m,乙球员应在距点O多远的范围内起跳,既能扣到球又避免对方拦网?(扣球处到防守处视为球高度不变,参考数据:$\sqrt{5}\approx2.24,\sqrt{30}\approx5.48$)
(1)求抛物线的解析式.
(2)甲球员在距二传手2 m的点F处起跳扣快球,其最大扣球高度为3.10 m(只考虑在起跳点正上方扣球,不考虑起跳时间等因素),甲球员能否扣到球?
(3)若乙球员的最大扣球高度是3.4 m,而对方防守队员最大防守高度为3.2 m,乙球员应在距点O多远的范围内起跳,既能扣到球又避免对方拦网?(扣球处到防守处视为球高度不变,参考数据:$\sqrt{5}\approx2.24,\sqrt{30}\approx5.48$)
答案
8.(1)设 $y=a(x-h)^2+k$,由顶点$(5.5,3.8)$得 $y=a(x-5.5)^2+3.8$,
代入点$(0.5,1.8)$得 $1.8=a(0.5-5.5)^2+3.8$,解得 $a=-\dfrac{2}{25}$,
$\therefore y=-\dfrac{2}{25}(x-5.5)^2+3.8.$
(2)当 $x=2.5$ 时,$y=-\dfrac{2}{25}(2.5-5.5)^2+3.8=3.08$,
$\because 3.08＜3.10,\therefore$ 甲队员能扣到球.
(3)若乙队员的最大扣球高度是 $3.4$ m,而对方防守队员最大防守高度为 $3.2$ m,则扣球高度满足 $3.2＜y≤3.4.$
当 $y=3.4$ 时,$3.4=-\dfrac{2}{25}(x-5.5)^2+3.8$,解得 $x_1=5.5+\sqrt{5}\approx7.74,x_2=5.5-\sqrt{5}\approx3.26.$
当 $y=3.2$ 时,$3.2=-\dfrac{2}{25}(x-5.5)^2+3.8$,解得 $x_1=5.5+\dfrac{\sqrt{30}}{2}\approx8.24,x_2=5.5-\dfrac{\sqrt{30}}{2}\approx2.76.$
$\because a=-\dfrac{2}{25}＜0$,抛物线开口向下,$\therefore$ 当 $3.2＜y≤3.4$ 时,$2.76＜x≤3.26$ 或 $7.74≤ x＜8.24.$
$\therefore$ 乙球员在离边界 $O$ 点 $2.76＜x≤3.26$ 或 $7.74≤ x＜8.24$ 范围时起跳扣球,可扣球成功且避免对方拦网.
代入点$(0.5,1.8)$得 $1.8=a(0.5-5.5)^2+3.8$,解得 $a=-\dfrac{2}{25}$,
$\therefore y=-\dfrac{2}{25}(x-5.5)^2+3.8.$
(2)当 $x=2.5$ 时,$y=-\dfrac{2}{25}(2.5-5.5)^2+3.8=3.08$,
$\because 3.08＜3.10,\therefore$ 甲队员能扣到球.
(3)若乙队员的最大扣球高度是 $3.4$ m,而对方防守队员最大防守高度为 $3.2$ m,则扣球高度满足 $3.2＜y≤3.4.$
当 $y=3.4$ 时,$3.4=-\dfrac{2}{25}(x-5.5)^2+3.8$,解得 $x_1=5.5+\sqrt{5}\approx7.74,x_2=5.5-\sqrt{5}\approx3.26.$
当 $y=3.2$ 时,$3.2=-\dfrac{2}{25}(x-5.5)^2+3.8$,解得 $x_1=5.5+\dfrac{\sqrt{30}}{2}\approx8.24,x_2=5.5-\dfrac{\sqrt{30}}{2}\approx2.76.$
$\because a=-\dfrac{2}{25}＜0$,抛物线开口向下,$\therefore$ 当 $3.2＜y≤3.4$ 时,$2.76＜x≤3.26$ 或 $7.74≤ x＜8.24.$
$\therefore$ 乙球员在离边界 $O$ 点 $2.76＜x≤3.26$ 或 $7.74≤ x＜8.24$ 范围时起跳扣球,可扣球成功且避免对方拦网.
解析
【分析】
(1) 已知抛物线的最高点（顶点）坐标，选用顶点式$y=a(x-h)^2+k$求解更简便：先确定顶点坐标为$(5.5,3.8)$，再将点$M(0.5,1.8)$代入顶点式求出参数$a$即可得到解析式。
(2) 判断甲能否扣到球：先求出点F的横坐标为$0.5+2=2.5$，将$x=2.5$代入解析式求出对应球的高度，与甲的最大扣球高度$3.10\mathrm{m}$比较，若球的高度小于等于最大扣球高度则能扣到。
(3) 要同时满足扣到球、不被对方拦网，即球的高度需满足$3.2＜y≤3.4$：分别令$y=3.4$和$y=3.2$求出对应的$x$值，结合抛物线开口向下的性质，即可得到符合要求的$x$的取值范围。
【解析】
(1) 设抛物线的解析式为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，由题意得抛物线顶点坐标为$(5.5,3.8)$，则解析式可写为：
$y=a(x-5.5)^2+3.8$
将点$M(0.5,1.8)$代入上式得：
$1.8=a(0.5-5.5)^2+3.8$
解得$a=-\dfrac{2}{25}$
$\therefore$ 抛物线解析式为$y=-\dfrac{2}{25}(x-5.5)^2+3.8$。
(2) 点F的横坐标为$0.5+2=2.5$，将$x=2.5$代入解析式得：
$y=-\dfrac{2}{25}(2.5-5.5)^2+3.8=3.08$
$\because 3.08＜3.10$
$\therefore$ 甲球员能扣到球。
(3) 由题意得扣球高度需满足$3.2＜y≤3.4$：
① 当$y=3.4$时，$3.4=-\dfrac{2}{25}(x-5.5)^2+3.8$，解得$x_1=5.5+\sqrt{5}\approx7.74$，$x_2=5.5-\sqrt{5}\approx3.26$；
② 当$y=3.2$时，$3.2=-\dfrac{2}{25}(x-5.5)^2+3.8$，解得$x_1=5.5+\dfrac{\sqrt{30}}{2}\approx8.24$，$x_2=5.5-\dfrac{\sqrt{30}}{2}\approx2.76$。
$\because$ 抛物线开口向下，$\therefore$ 满足$3.2＜y≤3.4$的$x$范围为$2.76＜x≤3.26$或$7.74≤x＜8.24$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{2}{25}(x-5.5)^2+3.8$
(2) 甲球员能扣到球
(3) 乙球员应在距点O$2.76＜x≤3.26$或$7.74≤x＜8.24$的范围内起跳。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数实际应用，二次函数与不等式
【点评】
本题结合排球运动场景考查二次函数的实际应用，需要学生将实际场景中的位置、高度信息转化为数学坐标与数值，既考查了二次函数基础计算能力，也考查了用函数性质解决实际问题的应用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 已知抛物线的最高点（顶点）坐标，选用顶点式$y=a(x-h)^2+k$求解更简便：先确定顶点坐标为$(5.5,3.8)$，再将点$M(0.5,1.8)$代入顶点式求出参数$a$即可得到解析式。
(2) 判断甲能否扣到球：先求出点F的横坐标为$0.5+2=2.5$，将$x=2.5$代入解析式求出对应球的高度，与甲的最大扣球高度$3.10\mathrm{m}$比较，若球的高度小于等于最大扣球高度则能扣到。
(3) 要同时满足扣到球、不被对方拦网，即球的高度需满足$3.2＜y≤3.4$：分别令$y=3.4$和$y=3.2$求出对应的$x$值，结合抛物线开口向下的性质，即可得到符合要求的$x$的取值范围。
【解析】
(1) 设抛物线的解析式为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，由题意得抛物线顶点坐标为$(5.5,3.8)$，则解析式可写为：
$y=a(x-5.5)^2+3.8$
将点$M(0.5,1.8)$代入上式得：
$1.8=a(0.5-5.5)^2+3.8$
解得$a=-\dfrac{2}{25}$
$\therefore$ 抛物线解析式为$y=-\dfrac{2}{25}(x-5.5)^2+3.8$。
(2) 点F的横坐标为$0.5+2=2.5$，将$x=2.5$代入解析式得：
$y=-\dfrac{2}{25}(2.5-5.5)^2+3.8=3.08$
$\because 3.08＜3.10$
$\therefore$ 甲球员能扣到球。
(3) 由题意得扣球高度需满足$3.2＜y≤3.4$：
① 当$y=3.4$时，$3.4=-\dfrac{2}{25}(x-5.5)^2+3.8$，解得$x_1=5.5+\sqrt{5}\approx7.74$，$x_2=5.5-\sqrt{5}\approx3.26$；
② 当$y=3.2$时，$3.2=-\dfrac{2}{25}(x-5.5)^2+3.8$，解得$x_1=5.5+\dfrac{\sqrt{30}}{2}\approx8.24$，$x_2=5.5-\dfrac{\sqrt{30}}{2}\approx2.76$。
$\because$ 抛物线开口向下，$\therefore$ 满足$3.2＜y≤3.4$的$x$范围为$2.76＜x≤3.26$或$7.74≤x＜8.24$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{2}{25}(x-5.5)^2+3.8$
(2) 甲球员能扣到球
(3) 乙球员应在距点O$2.76＜x≤3.26$或$7.74≤x＜8.24$的范围内起跳。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数实际应用，二次函数与不等式
【点评】
本题结合排球运动场景考查二次函数的实际应用，需要学生将实际场景中的位置、高度信息转化为数学坐标与数值，既考查了二次函数基础计算能力，也考查了用函数性质解决实际问题的应用能力。
【难度系数】
0.6
