7 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，$BC=6$，$AD$平分$∠ CAB$交$BC$于点$D$，$E$为边$AB$上一点，则线段$DE$长的最小值为（）

A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.$2$
D.$3$

7. C

8 已知关于$x$的一元二次方程$2x^2 + 4\sinα · x + 1 = 0$有两个相等的实数根，则锐角$α$的度数为（）

A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$

8. B

9 [2026 安徽]两块直角三角尺如图摆放,其中∠BAC=∠AEF=90°,∠AFE=60°,∠ABC=45°, AE⊥BC,边 BC 分别与 AE,AF 相交于点 M,N.若 BC=12,则 MN 的长为 ()

A.$2\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{3}$
C.$4\sqrt{3}$
D.$6\sqrt{3}$

9. A 【解析】在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°,∠ ABC=45°$,$\therefore$ 易知$△ ABC$是等腰直角三角形. $\because AE⊥ BC$于点$M$,$BC=12$,$\therefore AM=BM=CM=\dfrac{1}{2}BC=6$,$∠ AMN=90°$. 在$△ AEF$中,$∠ AEF=90°,∠ AFE=60°$,$\therefore ∠ EAF=30°$,即$∠ MAN=30°$. 在$△ AMN$中,$∠ AMN=90°,∠ MAN=30°$,$\therefore MN=AM· \tan 30°=6×\dfrac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$

10（1）已知α是锐角，$\cos^2α=\dfrac{3}{4}$，则α的度数为________；
（2）在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\tan(A-15°)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，则$\cos B$的值为________。

10. （1）$30°$ （2）$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

11 教材变式题 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BCA=90°$，$CD⊥ AB$，垂足为$D$。若$AD=2$，$CD=2\sqrt{3}$，则$∠ B=\_\_\_\_\_\_°$，$\sin A$的值为。

11. 30 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

12 [2025 内江]如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ ABC$的平分线$BD$交$AC$于点$D$,$O$是边$AB$上一点,以点$O$为圆心、$OB$长为半径作圆,$\odot O$恰好经过点$D$,交$AB$于点$E$.
(1) 求证:直线$AC$是$\odot O$的切线;
(2) 若$E$为$AO$的中点,$AD=3$,求涂色部分的面积.

(1) 证明：
连接OD，
∵ $OD=OB$，
∴ $∠ ODB=∠ OBD$，
∵ $BD$平分$∠ ABC$，
∴ $∠ OBD=∠ CBD$，
∴ $∠ ODB=∠ CBD$，
∴ $OD// BC$，
又∵ $∠ C=90°$，
∴ $∠ ODA=∠ C=90°$，即$OD⊥ AC$，
∵ $OD$是$\odot O$的半径，
∴ 直线$AC$是$\odot O$的切线。
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(2) 解：
∵ $E$为$AO$的中点，$OE$是$\odot O$的半径，
∴ $AO=2OE=2OD$，
由(1)知$∠ ADO=90°$，在$\mathrm{Rt}△ ADO$中，$AO=2OD$，
∴ $∠ A=30°$，$∠ AOD=60°$，
∵ $AD=3$，由勾股定理得：$AD^2 + OD^2 = AO^2$，
即 $3^2 + OD^2=(2OD)^2$，
解得$OD=\sqrt{3}$（负值舍去），
∴ $S_{△ AOD}=\frac{1}{2}× AD× OD=\frac{1}{2}×3×\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
$S_{\mathrm{扇形}ODE}=\frac{60π· OD^2}{360}=\frac{60π×3}{360}=\frac{π}{2}$，
∴ 涂色部分的面积$=S_{△ AOD}-S_{\mathrm{扇形}ODE}=\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{π}{2}=\frac{3\sqrt{3}-π}{2}$。
答：涂色部分的面积为$\frac{3\sqrt{3}-π}{2}$。