11. 新趋势 情境素材 桌面上有甲、乙、丙三个杯子，三个杯子内原来均装有一些水。先将甲杯中的水全部倒入丙杯，此时丙杯内水量为原来甲杯内水量的$2$倍多$40\ \mathrm{mL}$；再将乙杯中的水全部倒入丙杯，此时丙杯内水量为原来乙杯内水量的$3$倍少$180\ \mathrm{mL}$。若过程中没有水溢出，则原来甲、乙两个杯子内的水量相差()

A.$80\ \mathrm{mL}$
B.$110\ \mathrm{mL}$
C.$140\ \mathrm{mL}$
D.$220\ \mathrm{mL}$

11. B 解析：设原来甲、乙、丙三个杯子内的水量分别为 $a\ \mathrm{mL}$，$b\ \mathrm{mL}$ 和 $c\ \mathrm{mL}$. 由题意，得 $\{\begin{array}{l} a + c - 40 = 2a①,\\ a + b + c + 180 = 3b②.\end{array} $ ② - ①，得 $b + 220 = 3b - 2a$. 整理，得 $b - a = 110$，即原来甲、乙两个杯子内的水量相差 $110\ \mathrm{mL}$.

12. 已知$\frac{x + y}{2} = \frac{y + z}{3} = -2$，则代数式$x + 2y + z$的值为。

12. - 10

13. (2025·江苏南京期末)已知$x$，$y$，$z$均不为$0$，且$\begin{cases}x - 3y + z = 0, \\3x - 3y - 4z = 0,\end{cases}$则$x:y:z =$ ______ 。

13. 15 : 7 : 6

14. 有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品。若购买铅笔$3$支，练习本$7$本，圆珠笔$1$支，则共需$31.5$元；若购买铅笔$4$支，练习本$10$本，圆珠笔$1$支，则共需$42$元。现购买铅笔、练习本、圆珠笔各$1$件，共需元。

14. 10.5 解析：设每支铅笔 $x$ 元，每本练习本 $y$ 元，每支圆珠笔 $z$ 元. 由题意，得 $\{\begin{array}{l} 3x + 7y + z = 31.5①,\\ 4x + 10y + z = 42②.\end{array} $ ①×3 - ②×2，得 $x + y + z = 31.5×3 - 42×2 = 10.5$. 故购买铅笔、练习本、圆珠笔各 1 件，共需 10.5 元.

15. 某企业为了激励员工参与技术革新，设计了技术革新奖，这个奖项分设一、二、三等，按获奖等级颁发一定数额的奖金，每年评选一次，下表是近三年技术革新奖获奖人数及奖金总额情况：

问：技术革新一、二、三等奖的奖金数额分别为多少万元？

15. 设一、二、三等奖的奖金数额分别为 $x$ 万元、$y$ 万元和 $z$ 万元. 由题意，得 $\{\begin{array}{l} 10x + 20y + 30z = 41,\\ 12x + 20y + 28z = 42,\\ 14x + 25y + 40z = 54,\end{array} $ 解得 $\{\begin{array}{l} x = 1,\\ y = 0.8,\\ z = 0.5.\end{array} $ 故技术革新一、二、三等奖的奖金数额分别为 1 万元、0.8 万元和 0.5 万元.

16. (2025·江苏宿迁期末)如图，天平中放有苹果、香蕉和砝码，且两个天平都平衡，则一个苹果的质量是一根香蕉质量的(同一种物体的质量都相同)()


A.$\frac{4}{3}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$2$倍
D.$3$倍

16. B 解析：设一个苹果的质量为 $x$，一根香蕉的质量为 $y$，一个砝码的质量为 $z$. 由题意，得 $\{\begin{array}{l} 2x = 4z,\\ 3y = 2z + x,\end{array} $ 解得 $\{\begin{array}{l} x = 2z,\\ y = \frac{4}{3}z,\end{array} $ 所以 $\frac{x}{y} = \frac{2z}{\frac{4}{3}z} = \frac{3}{2}$. 故一个苹果的质量是一根香蕉质量的 $\frac{3}{2}$.

17. 已知有理数$x$，$y$，$z$满足$\begin{cases}2023(x - y) + 2024(y - z) + 2025(z - x) = 0, \\2023^2(x - y) + 2024^2(y - z) + 2025^2(z - x) = 2024,\end{cases}$则$z - y =$ ______ 。

17. 2024 解析：设 $x - y = a$，$y - z = b$，则 $z - x = - (x - y) - (y - z) = - a - b$，所以原方程组转化为 $\{\begin{array}{l} 2023a + 2024b - 2025(a + b) = 0①,\\ 2023^{2}a + 2024^{2}b - 2025^{2}(a + b) = 2024②.\end{array} $ 由 ①，得 $2a + b = 0$，即 $a = - \frac{b}{2}$. ② - ①×2023，得 $2024b - 2×2025(a + b) = 2024$③. 把 $a = - \frac{b}{2}$ 代入③，得 $b = - 2024$，所以 $z - y = - b = 2024$.

18. 新素养 应用意识 某工程若由甲、乙两队合做需$6$天完成，厂家需付甲、乙两队共$87000$元；若由乙、丙两队合做需$10$天完成，厂家需付乙、丙两队共$80000$元；若由甲、丙两队合做$5$天可完成全部工程的$\frac{2}{3}$，此时厂家需付甲、丙两队共$55000$元。
（1）甲、乙、丙三队单独完成全部工程分别需多少天？
（2）若要求不超过$15$天完成全部工程，则由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由。

18. (1) 设甲、乙、丙三队单独完成全部工程分别需 $x$ 天、$y$ 天、$z$ 天. 由题意，得 $\{\begin{array}{l} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6},\\ \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{10},\\ \frac{1}{x} + \frac{1}{z} = \frac{2}{3}×\frac{1}{5},\end{array} $ 解得 $\{\begin{array}{l} \frac{1}{x} = \frac{1}{10},\\ \frac{1}{y} = \frac{1}{15},\\ \frac{1}{z} = \frac{1}{30},\end{array} $ 所以 $\{\begin{array}{l} x = 10,\\ y = 15,\\ z = 30.\end{array} $ 故甲、乙、丙三队单独完成全部工程分别需 10 天、15 天、30 天.
(2) 设甲队做一天应付给 $a$ 元，乙队做一天应付给 $b$ 元，丙队做一天应付给 $c$ 元，则 $\{\begin{array}{l} 6(a + b) = 87000,\\ 10(b + c) = 80000,\\ 5(a + c) = 55000,\end{array} $ 解得 $\{\begin{array}{l} a = 8750,\\ b = 5750,\\ c = 2250.\end{array} $ 因为要求不超过 15 天完成全部工程，所以丙队不符合. 又 $10a = 87500$，$15b = 86250$，且 $86250 ＜ 87500$，所以由乙队单独完成此项工程花钱最少.