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二元一次方程组在实际生活中的应用
如何设计购买方案？
素材 1 非物质文化遗产（简称“非遗”）是中华民族悠久历史文化的瑰宝，承载着丰富的民族精神与智慧. 近年来，“非遗+研学旅行”的模式逐渐兴起，成为一种寓教于乐的文化体验新形式. 这种融合了教育、旅游、文化深度探索的研学之旅，不仅能让参与者近距离接触和了解传统工艺、民俗艺术、地方戏曲等各种非遗项目，还能亲身体验其制作过程，感受其中蕴含的历史韵味与人文情怀，从而增强民族文化认同感，促进非物质文化遗产的保护与传承.
素材 2 某班 50 名同学要去某景区参加“非遗传承，研学之旅”活动，已知景区分为 $ A $，$ B $，$ C $ 三个场馆，且购买 1 张 $ A $ 场馆门票和 1 张 $ B $ 场馆门票共需 100 元，购买 3 张 $ A $ 场馆门票和 2 张 $ B $ 场馆门票共需 240 元. $ C $ 场馆门票为每张 24 元.
素材 3 由于场地原因，要求到 $ A $ 场馆参观的人数要多于到 $ B $ 场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观. 参观当天刚好有优惠活动：每购买 1 张 $ B $ 场馆门票就赠送 1 张 $ C $ 场馆门票.
解决问题
任务 1 确定场馆门票价格（1）请分别求出 $ A $ 场馆和 $ B $ 场馆的门票单价；
任务 2 探究经费的使用（2）若购买 $ B $ 场馆的门票赠送的 $ C $ 场馆门票刚好够参观 $ C $ 场馆的同学使用，求此次购买门票所需的最少总费用；
任务 3 拟定购买方案（3）若购买门票总预算为 1 360 元（全部花完），请你写出所有的购买方案.
如何设计购买方案？
素材 1 非物质文化遗产（简称“非遗”）是中华民族悠久历史文化的瑰宝，承载着丰富的民族精神与智慧. 近年来，“非遗+研学旅行”的模式逐渐兴起，成为一种寓教于乐的文化体验新形式. 这种融合了教育、旅游、文化深度探索的研学之旅，不仅能让参与者近距离接触和了解传统工艺、民俗艺术、地方戏曲等各种非遗项目，还能亲身体验其制作过程，感受其中蕴含的历史韵味与人文情怀，从而增强民族文化认同感，促进非物质文化遗产的保护与传承.
素材 2 某班 50 名同学要去某景区参加“非遗传承，研学之旅”活动，已知景区分为 $ A $，$ B $，$ C $ 三个场馆，且购买 1 张 $ A $ 场馆门票和 1 张 $ B $ 场馆门票共需 100 元，购买 3 张 $ A $ 场馆门票和 2 张 $ B $ 场馆门票共需 240 元. $ C $ 场馆门票为每张 24 元.
素材 3 由于场地原因，要求到 $ A $ 场馆参观的人数要多于到 $ B $ 场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观. 参观当天刚好有优惠活动：每购买 1 张 $ B $ 场馆门票就赠送 1 张 $ C $ 场馆门票.
解决问题
任务 1 确定场馆门票价格（1）请分别求出 $ A $ 场馆和 $ B $ 场馆的门票单价；
任务 2 探究经费的使用（2）若购买 $ B $ 场馆的门票赠送的 $ C $ 场馆门票刚好够参观 $ C $ 场馆的同学使用，求此次购买门票所需的最少总费用；
任务 3 拟定购买方案（3）若购买门票总预算为 1 360 元（全部花完），请你写出所有的购买方案.
答案
设 A 场馆的门票单价为 x 元/张，B 场馆的门票单价为 y 元/张。由题意，得 $\begin{cases}x + y = 100,\\3x + 2y = 240,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = 40,\\y = 60.\end{cases}$ 故 A 场馆的门票单价为 40 元/张，B 场馆的门票单价为 60 元/张。
解：设参观B场馆的学生有$x$人，参观C场馆的学生有$y$人。根据题意，购买B场馆门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，可得$y = x$（每购买1张B场馆门票赠送1张C场馆门票）。设A场馆门票每张15元，B场馆门票每张20元，C场馆门票每张10元，该校七年级共有200名学生，且每名学生只参观一个场馆，则参观A场馆的学生人数为$200 - x - y = 200 - 2x$。由参观A场馆的人数非负，得$200 - 2x ≥ 0$，解得$x ≤ 100$，且$x$为正整数。设此次购买门票的总费用为$W$元，根据题意列得：$\begin{aligned}W &= 15(200 - 2x) + 20x \\&= 3000 - 30x + 20x \\&= 3000 - 10x\end{aligned}$因为$x$为正整数，且$x ≤ 100$，$x$越大，$10x$的值越大，$3000 - 10x$的值越小，所以当$x = 100$时，$W$取得最小值：$W_{\mathrm{最小}} = 3000 - 10 × 100 = 2000$（元）答：此次购买门票所需的最少总费用为2000元。
解：设购买成人票$x$张，学生票$y$张（$x$、$y$为非负整数），根据题意得：$60x + 40y = 1360$方程两边同时除以20，化简得：$3x + 2y = 68$变形为：$y = \frac{68 - 3x}{2}$因为$x$、$y$为非负整数，所以$68 - 3x ≥ 0$且$68 - 3x$为偶数，即$x ≤ \frac{68}{3} \approx 22.67$，且$x$为偶数。分别代入$x$的取值计算$y$：当$x=0$时，$y = \frac{68 - 0}{2} = 34$；当$x=2$时，$y = \frac{68 - 6}{2} = 31$；当$x=4$时，$y = \frac{68 - 12}{2} = 28$；当$x=6$时，$y = \frac{68 - 18}{2} = 25$；当$x=8$时，$y = \frac{68 - 24}{2} = 22$；当$x=10$时，$y = \frac{68 - 30}{2} = 19$；当$x=12$时，$y = \frac{68 - 36}{2} = 16$；当$x=14$时，$y = \frac{68 - 42}{2} = 13$；当$x=16$时，$y = \frac{68 - 48}{2} = 10$；当$x=18$时，$y = \frac{68 - 54}{2} = 7$；当$x=20$时，$y = \frac{68 - 60}{2} = 4$；当$x=22$时，$y = \frac{68 - 66}{2} = 1$。答：所有购买方案如下：1. 购买成人票0张，学生票34张；2. 购买成人票2张，学生票31张；3. 购买成人票4张，学生票28张；4. 购买成人票6张，学生票25张；5. 购买成人票8张，学生票22张；6. 购买成人票10张，学生票19张；7. 购买成人票12张，学生票16张；8. 购买成人票14张，学生票13张；9. 购买成人票16张，学生票10张；10. 购买成人票18张，学生票7张；11. 购买成人票20张，学生票4张；12. 购买成人票22张，学生票1张。
解：设参观B场馆的学生有$x$人，参观C场馆的学生有$y$人。根据题意，购买B场馆门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，可得$y = x$（每购买1张B场馆门票赠送1张C场馆门票）。设A场馆门票每张15元，B场馆门票每张20元，C场馆门票每张10元，该校七年级共有200名学生，且每名学生只参观一个场馆，则参观A场馆的学生人数为$200 - x - y = 200 - 2x$。由参观A场馆的人数非负，得$200 - 2x ≥ 0$，解得$x ≤ 100$，且$x$为正整数。设此次购买门票的总费用为$W$元，根据题意列得：$\begin{aligned}W &= 15(200 - 2x) + 20x \\&= 3000 - 30x + 20x \\&= 3000 - 10x\end{aligned}$因为$x$为正整数，且$x ≤ 100$，$x$越大，$10x$的值越大，$3000 - 10x$的值越小，所以当$x = 100$时，$W$取得最小值：$W_{\mathrm{最小}} = 3000 - 10 × 100 = 2000$（元）答：此次购买门票所需的最少总费用为2000元。
解：设购买成人票$x$张，学生票$y$张（$x$、$y$为非负整数），根据题意得：$60x + 40y = 1360$方程两边同时除以20，化简得：$3x + 2y = 68$变形为：$y = \frac{68 - 3x}{2}$因为$x$、$y$为非负整数，所以$68 - 3x ≥ 0$且$68 - 3x$为偶数，即$x ≤ \frac{68}{3} \approx 22.67$，且$x$为偶数。分别代入$x$的取值计算$y$：当$x=0$时，$y = \frac{68 - 0}{2} = 34$；当$x=2$时，$y = \frac{68 - 6}{2} = 31$；当$x=4$时，$y = \frac{68 - 12}{2} = 28$；当$x=6$时，$y = \frac{68 - 18}{2} = 25$；当$x=8$时，$y = \frac{68 - 24}{2} = 22$；当$x=10$时，$y = \frac{68 - 30}{2} = 19$；当$x=12$时，$y = \frac{68 - 36}{2} = 16$；当$x=14$时，$y = \frac{68 - 42}{2} = 13$；当$x=16$时，$y = \frac{68 - 48}{2} = 10$；当$x=18$时，$y = \frac{68 - 54}{2} = 7$；当$x=20$时，$y = \frac{68 - 60}{2} = 4$；当$x=22$时，$y = \frac{68 - 66}{2} = 1$。答：所有购买方案如下：1. 购买成人票0张，学生票34张；2. 购买成人票2张，学生票31张；3. 购买成人票4张，学生票28张；4. 购买成人票6张，学生票25张；5. 购买成人票8张，学生票22张；6. 购买成人票10张，学生票19张；7. 购买成人票12张，学生票16张；8. 购买成人票14张，学生票13张；9. 购买成人票16张，学生票10张；10. 购买成人票18张，学生票7张；11. 购买成人票20张，学生票4张；12. 购买成人票22张，学生票1张。
