7. 如图,在 $ \triangle A B C $ 中,$ D $,$ E $ 分别是 $ A B $,$ A C $ 的中点,$ B E= 2 D E $,延长 $ D E $ 到点 $ F $,使得 $ E F= B E $,连接 $ C F $.
(1) 求证：四边形 $ B C F E $ 是菱形；
(2) 若 $ C E= 4 $,$ \angle B C F= 120^{\circ} $,求菱形 $ B C F E $ 的面积.

【解析】：
### $(1)$ 证明四边形$BCFE$是菱形
- **步骤一：利用三角形中位线定理**
已知$D$，$E$分别是$AB$，$AC$的中点，根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，可得$DE// BC$，$BC = 2DE$。
- **步骤二：分析四边形$BCFE$的边的关系**
因为$BE = 2DE$，$EF = BE$，所以$BC = BE = EF$。
又因为$DE// BC$，即$EF// BC$，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以四边形$BCFE$是平行四边形。
- **步骤三：根据邻边相等的平行四边形是菱形得出结论**
由于$BE = EF$，所以平行四边形$BCFE$是菱形。
### $(2)$ 求菱形$BCFE$的面积
- **步骤一：求菱形的高**
连接$BF$交$CE$于点$O$。
因为四边形$BCFE$是菱形，$\angle BCF = 120^{\circ}$，所以$\angle BCE=\frac{1}{2}\angle BCF = 60^{\circ}$，$BC = BE$，则$\triangle BCE$是等边三角形（有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形）。
所以$BC = CE = 4$。
又因为菱形的对角线互相垂直且平分，所以$CE\perp BF$，$CO=\frac{1}{2}CE = 2$。
在$Rt\triangle BOC$中，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$c$为斜边，$a$、$b$为两直角边），$\angle OBC = 30^{\circ}$，$BC = 4$，则$BO=\sqrt{BC^{2}-CO^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}} = 2\sqrt{3}$，所以$BF = 2BO = 4\sqrt{3}$。
- **步骤二：根据菱形面积公式计算面积**
菱形面积公式为$S=\frac{1}{2}×$对角线之积，这里也可以用$S = CE× BO$（底$×$高），$CE = 4$，$BO = 2\sqrt{3}$，则$S_{菱形BCFE}=4×2\sqrt{3}=8\sqrt{3}$。
【答案】：
$(1)$ 证明过程如上述解析；$(2)$ $8\sqrt{3}$

8. 甲、乙两地相距 $ 300 \mathrm{~km} $,一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地,如图,线段 $ O A $ 表示货车离甲地距离 $ y(\mathrm{~km}) $ 与时间 $ x(\mathrm{~h}) $ 之间的函数关系；折线 $ B C D $ 表示轿车离甲地距离 $ y(\mathrm{~km}) $ 与 $ x(\mathrm{~h}) $ 之间的函数关系. 请根据图象解答下列问题：
(1) 轿车到达乙地后,货车距乙地多少千米？
(2) 求线段 $ C D $ 对应的函数解析式.
(3) 轿车到达乙地后,马上沿原路以 $ C D $ 段速度返回,求货车从甲地出发后多长时间再与轿车相遇(结果精确到 $ 0.01 $).

【解析】：
### $(1)$ 计算轿车到达乙地后货车距乙地的距离
首先求货车的速度$v_{货}$：
已知货车行驶$300km$用了$5h$，根据速度公式$v = \frac{s}{t}$，可得$v_{货}=\frac{300}{5}=60(km/h)$。
然后计算轿车到达乙地时货车行驶的路程：
轿车到达乙地用了$4.5h$，此时货车行驶的路程$s = 60×4.5 = 270(km)$。
最后求货车距乙地的距离：
货车距乙地的距离为$300 - 270=30(km)$。
### $(2)$ 求线段$CD$对应的函数解析式
设线段$CD$对应的函数解析式为$y = kx + b(k\neq0)$。
已知$C(2.5,80)$，$D(4.5,300)$，将其代入$y = kx + b$中，得到方程组$\begin{cases}2.5k + b = 80\\4.5k + b = 300\end{cases}$。
用第二个方程减去第一个方程消去$b$：
$(4.5k + b)-(2.5k + b)=300 - 80$，
$4.5k + b - 2.5k - b = 220$，
$2k = 220$，解得$k = 110$。
把$k = 110$代入$2.5k + b = 80$，得$2.5×110 + b = 80$，
$275 + b = 80$，解得$b=-195$。
所以线段$CD$对应的函数解析式为$y = 110x - 195(2.5\leqslant x\leqslant4.5)$。
### $(3)$ 求货车从甲地出发后与轿车再次相遇的时间
先求轿车$CD$段的速度$v_{轿}$：
$v_{轿}=\frac{300 - 80}{4.5 - 2.5}=\frac{220}{2}=110(km/h)$。
设货车从甲地出发后$t$小时再与轿车相遇：
货车行驶的路程$s_{货}=60t$，轿车返回时行驶的路程$s_{轿}=110(t - 4.5)$，且$s_{货}+s_{轿}=300$，即$60t+110(t - 4.5)=300$。
展开括号得$60t + 110t-495 = 300$。
移项合并同类项得$170t=300 + 495$，$170t = 795$。
解得$t=\frac{795}{170}\approx4.68$。
【答案】：
$(1)$ $30$千米；
$(2)$ $y = 110x - 195(2.5\leqslant x\leqslant4.5)$；
$(3)$ $4.68h$。