1[2026浙江杭州质检,中]在同一坐标系中,一次函数$y=ax+b$与二次函数$y=bx^2+a$的图象可能是 ()

1.C 【解析】选项A，由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴，图象开口向上，则$a＜0,b＞0$；由直线可知，图象过第一、二、三象限，则$a＞0,b＞0$，不符合题意. 选项B，由抛物线可知，图象与y轴交在正半轴，图象开口向下，则$a＞0,b＜0$；由直线可知，图象过第一、二、三象限，则$a＞0,b＞0$，不符合题意. 选项C，由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴，图象开口向上，则$a＜0,b＞0$；由直线可知，图象过第一、二、四象限，则$a＜0,b＞0$，符合题意. 选项D，由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴，图象开口向上，则$a＜0,b＞0$；由直线可知，图象过第二、三、四象限，则$a＜0,b＜0$，不符合题意. 故选C.

2[中]如图,抛物线$y=ax^2+c$经过正方形OABC的三个顶点A,B,C,点B在y轴上,则ac的值为
()


A.-1
B.-2
C.-3
D.-4

2.B 【解析】过A作$AH⊥x$轴于H，如图.
∵四边形ABCO是正方形，
∴$∠AOB=45°$，
∴$∠AOH=45°$，
∴易知$AH=OH$. 设$A(m,m)$，则$B(0,2m)$，
∴$m=am^2+c$，$2m=c$，
∴$m=\frac{c}{2}$，$am=-1$，
∴$ac$的值为-2，故选B.

3[2026江苏苏州期末,中]对于一次函数$y=ax+b$以及二次函数$y=ax^2+c$(其中$a,b,c$均为常数,且$a＞0$),当$t≤x≤t+1$时,这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等,则$t$的值为.

3.-1或0 【解析】
∵在一次函数$y=ax+b$中，$a＞0$，
∴当$t≤x≤t+1$时，函数的最大值与最小值的差为$at+a+b-(at+b)=a$. 二次函数$y=ax^2+c(a＞0)$图象开口向上，对称轴为直线$x=0$. 当$t＜0＜t+1$时，根据与对称轴的距离判断：①当$0-t＜t+1-0$，即$-\frac{1}{2}＜t＜0$时，$y_{最小值}=c$，$y_{最大值}=a(t+1)^2+c$，此时$a(t+1)^2+c-c=a$，
∴$(t+1)^2=1$，解得$t=0$(舍去)或-2(舍去)；②当$0-t＞t+1-0$，即$-1＜t＜-\frac{1}{2}$时，$y_{最大值}=at^2+c$，$y_{最小值}=c$，此时$at^2+c-c=a$，
∴$t=-1$(舍去)或$t=1$(舍去). 当$t≥0$时，$y_{最小值}=at^2+c$，$y_{最大值}=a(t+1)^2+c$，此时$a(t+1)^2+c-(at^2+c)=a(2t+1)=a$，
∴$t=0$. 当$t+1≤0$，即$t≤-1$时，$y_{最大值}=at^2+c$，$y_{最小值}=a(t+1)^2+c$，此时$at^2+c-[a(t+1)^2+c]=a(-2t-1)=a$，
∴$t=-1$. 故答案为-1或0.

4[2025安徽阜阳质检,中]抛物线$y=mx^2+\frac{2}{m}$交y轴于点A,点A关于x轴的对称点为点B.
(1)点B的坐标为;
(2)点$C(2,\frac{2}{m}-1)$,$D(4,0)$,且线段CD与抛物线恰有一个交点,则m的取值范围是.

4.(1)$\boldsymbol{(0,-\frac{2}{m})}$ (2)$\boldsymbol{-\frac{1}{4}≤m＜0}$
【解析】(1)
∵抛物线$y=mx^2+\frac{2}{m}$与y轴交于点A，
∴$A(0,\frac{2}{m})$.
∵点A关于x轴的对称点为点B，
∴$B(0,-\frac{2}{m})$，故答案为$(0,-\frac{2}{m})$.
(2)
∵$C(2,\frac{2}{m}-1)$，
∴点C在直线$x=2$上. 若线段CD与抛物线恰有一个交点，则分以下两种情况：当$m＞0$时，如图(1)，$\frac{2}{m}-1≥m·2^2+\frac{2}{m}$，解得$m≤-\frac{1}{4}$(舍去)；当$m＜0$时，如图(2)，$\frac{2}{m}-1≤m·2^2+\frac{2}{m}$，解得$m≥-\frac{1}{4}$，即$-\frac{1}{4}≤m＜0$. 综上，m的取值范围为$-\frac{1}{4}≤m＜0$.

5[中]抛物线$y=2x^2 +n$与直线$y=2x -1$交于$M(m,3)$。
(1)求$m$和$n$的值。
(2)求抛物线$y=2x^2 +n$的顶点坐标和对称轴。
(3)对于二次函数$y=2x^2 +n$，当$x$在什么范围时，$y$随$x$的增大而减小？
(4)抛物线$y=2x^2 +n$与直线$y=2x -1$还有其他交点吗？若有，请求出来；若没有，请说明理由。
刷素养 走向重高

5.【解】(1)
∵抛物线$y=2x^2+n$与直线$y=2x-1$交于$M(m,3)$，
∴将$M(m,3)$代入$y=2x-1$得$3=2m-1$，解得$m=2$. 将$M(2,3)$代入$y=2x^2+n$得$3=8+n$，解得$n=-5$.
(2)根据(1)得出$y=2x^2-5$，
∴抛物线$y=2x^2+n$的顶点坐标为$(0,-5)$，对称轴为y轴(或直线$x=0$).
(3)
∵抛物线开口向上，对称轴为y轴，
∴当$x＜0$时，y随x的增大而减小.
(4)抛物线$y=2x^2+n$与直线$y=2x-1$还有其他交点. 令$2x-1=2x^2-5$，解得$x_1=-1$，$x_2=2$，当$x=-1$时，$y=2×(-1)-1=-3$，故抛物线$y=2x^2+n$与直线$y=2x-1$还有其他交点，交点坐标为$(-1,-3)$.

6 核心素养 推理能力 [难]如图,已知点 P 是抛物线 $y=\frac{1}{8}x^2+1$ 上的任意一点,设点 P 到直线 $y=-1$ 的距离为 $d_1$,点 P 到点 $F(0,3)$ 的距离为 $d_2$.
(1)求抛物线的顶点坐标和对称轴;
(2)判断 $d_1,d_2$ 的大小关系并证明;
(3)若线段 PF 的延长线交抛物线于点 Q,且线段 PQ 的长度是 m,线段 PQ 的中点 M 到 x 轴的距离是 n.直接写出 m 与 n 之间的函数关系式.

6.【解】(1)
∵抛物线的解析式为$y=\frac{1}{8}x^2+1$，
∴抛物线的顶点坐标是$(0,1)$，对称轴为y轴.
(2)$d_1=d_2$. 证明：设$P(p,\frac{1}{8}p^2+1)$，则$d_1=(\frac{1}{8}p^2+2)^2=\frac{p^4}{64}+\frac{p^2}{2}+4$，$d_2^2=p^2+(3-\frac{1}{8}p^2-1)^2=\frac{p^4}{64}+\frac{p^2}{2}+4$，
∴$d_1^2=d_2^2$.
∵$d_1＞0$，$d_2＞0$，
∴$d_1=d_2$.
(3)$m=2n+2$. 作$QS⊥x$轴，$PR⊥x$轴，取RS的中点N，连接MN，如图. 同(2)可得$QS=QF-1$，$PR=PF-1$. 由梯形中位线得$2MN=QS+PR=QF-1+PF-1=QP-2$，则$2n=m-2$，
∴$m=2n+2$.