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1 将两个全等的直角三角形摆放在如图所示的△ABC中，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且这组对应直角边所对的顶点重合于点M，则点M一定在（
A.∠A的平分线上
B.边AC的高上
C.边BC的高上
D.∠B的平分线上
A
）A.∠A的平分线上
B.边AC的高上
C.边BC的高上
D.∠B的平分线上
答案
1. A
解析
【分析】
解题时先抓住题干核心条件：两个全等直角三角形的一组对应直角边分别在AB、AC上，公共顶点为M。首先可推导得出，M到AB的距离、M到AC的距离就是这两个全等直角三角形的一组对应边，根据全等三角形性质可得这两段距离相等；再结合角平分线的判定定理，就能判断出点M的位置。
【解析】
由题意可知，点M到AB边的距离、点M到AC边的距离是两个全等直角三角形的一组对应边。
∵全等三角形的对应边相等，
∴点M到AB的距离=点M到AC的距离。
根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，可得点M在∠A的平分线上。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的性质，角平分线的判定
【点评】
本题属于基础应用题，解题关键是结合全等三角形的性质得到点到角两边的距离相等，再对应角平分线的判定定理即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
解题时先抓住题干核心条件：两个全等直角三角形的一组对应直角边分别在AB、AC上，公共顶点为M。首先可推导得出，M到AB的距离、M到AC的距离就是这两个全等直角三角形的一组对应边，根据全等三角形性质可得这两段距离相等；再结合角平分线的判定定理，就能判断出点M的位置。
【解析】
由题意可知，点M到AB边的距离、点M到AC边的距离是两个全等直角三角形的一组对应边。
∵全等三角形的对应边相等，
∴点M到AB的距离=点M到AC的距离。
根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，可得点M在∠A的平分线上。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的性质，角平分线的判定
【点评】
本题属于基础应用题，解题关键是结合全等三角形的性质得到点到角两边的距离相等，再对应角平分线的判定定理即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
2 在如图所示的网格中，∠QBC 的位置如图所示，点 A，P，M，N 都在格点上，其中到∠QBC 两边距离相等的点是 （
A.P
B.A
C.N
D.M
D
）A.P
B.A
C.N
D.M
答案
2. D
解析
【分析】
本题可根据角平分线的判定定理求解，解题思路如下：首先回忆角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此我们只需要判断四个点中哪个点落在∠QBC的角平分线上即可。结合网格的特点，可先观察∠QBC两条边的倾斜规律，确定角平分线的位置，再对应匹配点的位置。
【解析】
根据角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
观察网格中∠QBC的两条边：边BQ从点B出发，每向右移动3格，向上移动1格；边BC从点B出发，每向右移动3格，向下移动1格，可知∠QBC关于过点B的水平格线对称，即这条水平格线就是∠QBC的角平分线。
观察A、P、M、N四个点的位置，只有点M在这条水平角平分线上，因此点M到∠QBC两边的距离相等。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的判定
【点评】
本题是角平分线相关知识的基础应用题，结合网格考查学生的观察分析能力，解题的关键是利用网格的对称性快速确定角平分线的位置，无需复杂计算。
【难度系数】
0.7
本题可根据角平分线的判定定理求解，解题思路如下：首先回忆角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此我们只需要判断四个点中哪个点落在∠QBC的角平分线上即可。结合网格的特点，可先观察∠QBC两条边的倾斜规律，确定角平分线的位置，再对应匹配点的位置。
【解析】
根据角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
观察网格中∠QBC的两条边：边BQ从点B出发，每向右移动3格，向上移动1格；边BC从点B出发，每向右移动3格，向下移动1格，可知∠QBC关于过点B的水平格线对称，即这条水平格线就是∠QBC的角平分线。
观察A、P、M、N四个点的位置，只有点M在这条水平角平分线上，因此点M到∠QBC两边的距离相等。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的判定
【点评】
本题是角平分线相关知识的基础应用题，结合网格考查学生的观察分析能力，解题的关键是利用网格的对称性快速确定角平分线的位置，无需复杂计算。
【难度系数】
0.7
3 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AD=AC$，$DE⊥ AB$交$BC$于点$E$。若$∠ B=28°$，则$∠ AEC$的度数为
59°
。答案
3. $59°$
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：∠C与∠ADE均为直角，且AC=AD，AE为公共边，可先通过HL判定Rt△ACE与Rt△ADE全等，推出AE平分∠CAB；再先在Rt△ABC中利用三角形内角和求出∠CAB的度数，进而得到∠CAE的度数，最后在Rt△ACE中利用直角三角形两锐角互余即可求出∠AEC的度数。
【解析】
在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=28°$，
根据三角形内角和为$180°$，得$∠ BAC=180° - 90° - 28° = 62°$。
$\because DE⊥ AB$，$\therefore ∠ ADE=∠ C=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACE$和$\mathrm{Rt}△ ADE$中：
$\begin{cases}AC=AD \\AE=AE\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACE ≌ \mathrm{Rt}△ ADE (\mathrm{HL})$。
$\therefore ∠ CAE=∠ DAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×62°=31°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$∠ C=90°$，
$\therefore ∠ AEC=90° - ∠ CAE=90° - 31°=59°$。
【答案】
$59°$
【知识点】
HL判定直角三角形全等；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是通过证明全等得到角相等的关系，再结合三角形内角和相关知识计算角度，解题的关键点是识别出公共斜边AE，利用HL证明两个直角三角形全等。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件：∠C与∠ADE均为直角，且AC=AD，AE为公共边，可先通过HL判定Rt△ACE与Rt△ADE全等，推出AE平分∠CAB；再先在Rt△ABC中利用三角形内角和求出∠CAB的度数，进而得到∠CAE的度数，最后在Rt△ACE中利用直角三角形两锐角互余即可求出∠AEC的度数。
【解析】
在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=28°$，
根据三角形内角和为$180°$，得$∠ BAC=180° - 90° - 28° = 62°$。
$\because DE⊥ AB$，$\therefore ∠ ADE=∠ C=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACE$和$\mathrm{Rt}△ ADE$中：
$\begin{cases}AC=AD \\AE=AE\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACE ≌ \mathrm{Rt}△ ADE (\mathrm{HL})$。
$\therefore ∠ CAE=∠ DAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×62°=31°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$∠ C=90°$，
$\therefore ∠ AEC=90° - ∠ CAE=90° - 31°=59°$。
【答案】
$59°$
【知识点】
HL判定直角三角形全等；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是通过证明全等得到角相等的关系，再结合三角形内角和相关知识计算角度，解题的关键点是识别出公共斜边AE，利用HL证明两个直角三角形全等。
【难度系数】
0.7
4 教材P51练习T1变式 如图，$BF ⊥ AC$，$CE ⊥ AB$，垂足分别为$F$，$E$，$BF$与$CE$相交于点$D$，$BD=CD$.求证:点$D$在$∠ BAC$的平分线上.
答案
4. $\because BF⊥ AC,CE⊥ AB,\therefore ∠ BED=∠ CFD=90°$. 在$△ BDE$和$△ CDF$中,$\begin{cases}∠ BED=∠ CFD,\\∠ BDE=∠ CDF,\\BD=CD,\end{cases}$$\therefore △ BDE≌△ CDF.\therefore DE=DF$. 又$\because BF⊥ AC,CE⊥ AB,\therefore$ 点$D$在$∠ BAC$的平分线上
解析
【分析】
要证明点D在∠BAC的平分线上，根据角平分线的判定定理，只需证明点D到AB、AC两边的距离相等，即DE=DF。已知BF⊥AC、CE⊥AB，可得∠BED和∠CFD都是直角，再结合已知条件BD=CD，以及对顶角∠BDE=∠CDF，可证明△BDE和△CDF全等，利用全等三角形对应边相等的性质就能得到DE=DF，进而推导出最终结论。
【解析】
证明：$\because BF⊥ AC,CE⊥ AB$，$\therefore ∠ BED=∠ CFD=90°$。
在$△ BDE$和$△ CDF$中：
$\begin{cases}∠ BED=∠ CFD,\\∠ BDE=∠ CDF,\\BD=CD,\end{cases}$
$\therefore △ BDE≌△ CDF\mathrm{（AAS）}$，
$\therefore DE=DF$。
又$\because BF⊥ AC,CE⊥ AB$，即点D到AB、AC的距离相等，
$\therefore$点D在$∠ BAC$的平分线上。
【答案】
$\because BF⊥ AC,CE⊥ AB,\therefore ∠ BED=∠ CFD=90°$. 在$△ BDE$和$△ CDF$中,$\begin{cases}∠ BED=∠ CFD,\\∠ BDE=∠ CDF,\\BD=CD,\end{cases}$$\therefore △ BDE≌△ CDF.\therefore DE=DF$. 又$\because BF⊥ AC,CE⊥ AB,\therefore$ 点$D$在$∠ BAC$的平分线上
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 角平分线的判定定理
3. 对顶角的性质
【点评】
本题属于角平分线判定的基础应用题型，解题核心是通过证明三角形全等得到点到角两边的距离相等，再结合角平分线判定定理完成证明，需要熟练掌握全等三角形的判定方法，以及角平分线判定定理的使用条件。
【难度系数】
0.8
要证明点D在∠BAC的平分线上，根据角平分线的判定定理，只需证明点D到AB、AC两边的距离相等，即DE=DF。已知BF⊥AC、CE⊥AB，可得∠BED和∠CFD都是直角，再结合已知条件BD=CD，以及对顶角∠BDE=∠CDF，可证明△BDE和△CDF全等，利用全等三角形对应边相等的性质就能得到DE=DF，进而推导出最终结论。
【解析】
证明：$\because BF⊥ AC,CE⊥ AB$，$\therefore ∠ BED=∠ CFD=90°$。
在$△ BDE$和$△ CDF$中：
$\begin{cases}∠ BED=∠ CFD,\\∠ BDE=∠ CDF,\\BD=CD,\end{cases}$
$\therefore △ BDE≌△ CDF\mathrm{（AAS）}$，
$\therefore DE=DF$。
又$\because BF⊥ AC,CE⊥ AB$，即点D到AB、AC的距离相等，
$\therefore$点D在$∠ BAC$的平分线上。
【答案】
$\because BF⊥ AC,CE⊥ AB,\therefore ∠ BED=∠ CFD=90°$. 在$△ BDE$和$△ CDF$中,$\begin{cases}∠ BED=∠ CFD,\\∠ BDE=∠ CDF,\\BD=CD,\end{cases}$$\therefore △ BDE≌△ CDF.\therefore DE=DF$. 又$\because BF⊥ AC,CE⊥ AB,\therefore$ 点$D$在$∠ BAC$的平分线上
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 角平分线的判定定理
3. 对顶角的性质
【点评】
本题属于角平分线判定的基础应用题型，解题核心是通过证明三角形全等得到点到角两边的距离相等，再结合角平分线判定定理完成证明，需要熟练掌握全等三角形的判定方法，以及角平分线判定定理的使用条件。
【难度系数】
0.8
5 如图，$PB ⊥ AB$，$PC ⊥ AC$，且$PB=PC$，D是AP上一点.求证:$∠ BDP=∠ CDP$.
答案
5. $\because PB⊥ AB,PC⊥ AC,PB=PC,\therefore AP$ 平分$∠ BAC$, 即$∠ BAP=∠ CAP$. $\because ∠ BAP+∠ BPA=90°,∠ CAP+∠ CPA=90°,\therefore ∠ BPA=∠ CPA$. 在$△ PBD$和$△ PCD$中,$\begin{cases}PB=PC,\\∠ BPD=∠ CPD,\\PD=PD,\end{cases}$$\therefore △ PBD≌△ PCD.\therefore ∠ BDP=∠ CDP$
解析
【分析】
要证明∠BDP=∠CDP，可通过证明两角所在的△PBD和△PCD全等实现。已知PB=PC，PD为两个三角形的公共边，因此只需证明夹角∠BPD=∠CPD即可。结合已知PB⊥AB、PC⊥AC且PB=PC，根据角平分线的判定定理可推出AP平分∠BAC，再利用直角三角形两锐角互余的性质即可推出∠BPD=∠CPD，进而用SAS证明三角形全等，得到对应角相等的结论。
【解析】
证明：
∵ $PB⊥AB$，$PC⊥AC$，$PB=PC$，
∴ $AP$平分$∠BAC$，即$∠BAP=∠CAP$。
∵ $∠BAP+∠BPA=90°$，$∠CAP+∠CPA=90°$，
∴ $∠BPA=∠CPA$。
在$△ PBD$和$△ PCD$中：
$\begin{cases}PB=PC, \\∠BPD=∠CPD, \\PD=PD,\end{cases}$
∴ $△ PBD≌△ PCD$（SAS），
∴ $∠BDP=∠CDP$。
【答案】
$∠BDP=∠CDP$
【知识点】
角平分线的判定；SAS判定三角形全等；全等三角形的性质
【点评】
本题是基础的几何证明题，核心考查对基础几何定理的应用能力，解题的关键是先通过角平分线的判定得到角相等关系，进而得到全等的判定条件，通过全等三角形的性质得到待证的等角关系。
【难度系数】
0.8
要证明∠BDP=∠CDP，可通过证明两角所在的△PBD和△PCD全等实现。已知PB=PC，PD为两个三角形的公共边，因此只需证明夹角∠BPD=∠CPD即可。结合已知PB⊥AB、PC⊥AC且PB=PC，根据角平分线的判定定理可推出AP平分∠BAC，再利用直角三角形两锐角互余的性质即可推出∠BPD=∠CPD，进而用SAS证明三角形全等，得到对应角相等的结论。
【解析】
证明：
∵ $PB⊥AB$，$PC⊥AC$，$PB=PC$，
∴ $AP$平分$∠BAC$，即$∠BAP=∠CAP$。
∵ $∠BAP+∠BPA=90°$，$∠CAP+∠CPA=90°$，
∴ $∠BPA=∠CPA$。
在$△ PBD$和$△ PCD$中：
$\begin{cases}PB=PC, \\∠BPD=∠CPD, \\PD=PD,\end{cases}$
∴ $△ PBD≌△ PCD$（SAS），
∴ $∠BDP=∠CDP$。
【答案】
$∠BDP=∠CDP$
【知识点】
角平分线的判定；SAS判定三角形全等；全等三角形的性质
【点评】
本题是基础的几何证明题，核心考查对基础几何定理的应用能力，解题的关键是先通过角平分线的判定得到角相等关系，进而得到全等的判定条件，通过全等三角形的性质得到待证的等角关系。
【难度系数】
0.8
6（易错题）如图所示为三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有 （
A.1处
B.2处
C.3处
D.4处
D
）A.1处
B.2处
C.3处
D.4处
答案
6. D
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆角平分线的相关性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。题目要求中转站到三条公路（可看作三条两两相交的直线）的距离相等，说明这个点必须同时在每两条公路夹角的角平分线上。我们需要分两种情况找交点：一是三条直线围成的三角形内部的内角平分线交点，二是三角形外部的外角平分线交点，注意不要遗漏外部的情况。
【解析】
根据角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；反之，到角两边距离相等的点在角的平分线上。
三条公路可视为三条两两相交的直线，形成一个三角形结构：
1. 三角形三个内角的角平分线交于1点，该点位于三角形内部，到三条公路的距离都相等；
2. 三角形任意两个相邻外角的角平分线也会交于一点，这类交点共有3个，均位于三角形外部，也满足到三条公路的距离相等。
综上，符合条件的地点共有1+3=4处。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定
【点评】
本题是易错题，解题时常出现只考虑三角形内部的内角平分线交点，忽略外部外角平分线交点的错误，思考时要全面覆盖所有夹角的平分线交点情况。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先回忆角平分线的相关性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。题目要求中转站到三条公路（可看作三条两两相交的直线）的距离相等，说明这个点必须同时在每两条公路夹角的角平分线上。我们需要分两种情况找交点：一是三条直线围成的三角形内部的内角平分线交点，二是三角形外部的外角平分线交点，注意不要遗漏外部的情况。
【解析】
根据角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；反之，到角两边距离相等的点在角的平分线上。
三条公路可视为三条两两相交的直线，形成一个三角形结构：
1. 三角形三个内角的角平分线交于1点，该点位于三角形内部，到三条公路的距离都相等；
2. 三角形任意两个相邻外角的角平分线也会交于一点，这类交点共有3个，均位于三角形外部，也满足到三条公路的距离相等。
综上，符合条件的地点共有1+3=4处。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定
【点评】
本题是易错题，解题时常出现只考虑三角形内部的内角平分线交点，忽略外部外角平分线交点的错误，思考时要全面覆盖所有夹角的平分线交点情况。
【难度系数】
0.6
7 教材P51例题变式 如图，O是$△ ABC$内一点，且点O到$△ ABC$的三边AB，BC，AC的距离相等，即$OF=OD=OE$。若$∠ BAC=76°$，则$∠ BOC=$
128°
。答案
7. $128°$
解析
【分析】
首先根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，由O到三边AB、BC、AC的距离相等，可推出BO平分∠ABC，CO平分∠ACB。再结合三角形内角和定理，先求出∠ABC与∠ACB的和，再计算它们的一半之和，也就是△BOC中两个底角的和，最后再次用三角形内角和即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵点O到△ABC三边AB、BC、AC的距离相等，即$OF=OD=OE$
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB（角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$
在△ABC中，$∠ BAC=76°$，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ BAC=180°-76°=104°$
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×104°=52°$
在△BOC中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-52°=128°$
【答案】
$128°$
【知识点】
角平分线的判定；三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题是角平分线性质与三角形内角和的综合应用题，解题的核心是根据点到三边距离相等判断出该点是三角形内角平分线的交点，再结合角度的倍分关系求解，是三角形章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
首先根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，由O到三边AB、BC、AC的距离相等，可推出BO平分∠ABC，CO平分∠ACB。再结合三角形内角和定理，先求出∠ABC与∠ACB的和，再计算它们的一半之和，也就是△BOC中两个底角的和，最后再次用三角形内角和即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵点O到△ABC三边AB、BC、AC的距离相等，即$OF=OD=OE$
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB（角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$
在△ABC中，$∠ BAC=76°$，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ BAC=180°-76°=104°$
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×104°=52°$
在△BOC中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-52°=128°$
【答案】
$128°$
【知识点】
角平分线的判定；三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题是角平分线性质与三角形内角和的综合应用题，解题的核心是根据点到三边距离相等判断出该点是三角形内角平分线的交点，再结合角度的倍分关系求解，是三角形章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
