三、解答题
11.如图，$AB// DG$，$∠1+∠2=180°$.
(1)试说明：$AD// EF$；
(2)若$DG$是$∠ ADC$的平分线，$∠2=142°$，求$∠ B$的度数.

11.(1)证明:
∵AB//DG，
∴∠BAD=∠1，
∵∠1+∠2=180°，
∴∠BAD+∠2=180°，
∴AD//EF；
(2)解:
∵∠1+∠2=180°,∠2=142°，
∴∠1=38°，
∵DG是∠ADC的平分线，
∴∠CDG=∠1=38°，
∵AB//DG，
∴∠B=∠CDG=38°.

【分析】
(1) 要证明$AD// EF$，可通过证明二者的同旁内角互补推导。首先利用$AB// DG$的平行线性质得到角的等量关系，再结合已知的$∠ 1+∠ 2=180°$做等量代换，得到$AD$和$EF$的同旁内角互补，即可完成证明。
(2) 先根据$∠ 2$的度数和$∠ 1$与$∠ 2$互补的关系求出$∠ 1$的度数；再利用角平分线的定义得到$∠ CDG$和$∠ 1$相等；最后结合$AB// DG$的平行线性质，即可求出$∠ B$的度数。
【解析】
(1) 证明：
$\because AB// DG$，
$\therefore ∠ BAD=∠ 1$（两直线平行，内错角相等），
$\because ∠ 1+∠ 2=180°$，
$\therefore ∠ BAD+∠ 2=180°$（等量代换），
$\therefore AD// EF$（同旁内角互补，两直线平行）。
(2) 解：
$\because ∠ 1+∠ 2=180°$，$∠ 2=142°$，
$\therefore ∠ 1=180°-142°=38°$，
$\because DG$是$∠ ADC$的平分线，
$\therefore ∠ CDG=∠ 1=38°$（角平分线的定义），
$\because AB// DG$，
$\therefore ∠ B=∠ CDG=38°$（两直线平行，同位角相等）。
【答案】
(1) $AD// EF$，证明见上述解析；
(2) $∠ B=38°$
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、角平分线的定义
【点评】
本题属于平行线的基础综合题，核心考查平行线判定与性质的应用，解题时要注意区分：平行线的性质是由线的平行关系推导角的数量关系，平行线的判定是由角的数量关系推导线的平行关系，结合角平分线的定义即可顺利求解。
【难度系数】
0.8

12.乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业，某村有部分返乡青年承包了一些田地，采用新技术种植A，B两种农作物.种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如下表：

已知农作物种植人员共24人，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60万元，问A，B两种农作物的种植面积各是多少公顷？

12.解:设A种农作物的种植面积是x公顷,B种农作物的种植面积是y公顷。
根据题意,得 $\begin{cases}4x+3y=24, \\8x+9y=60,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}x=3, \\y=4.\end{cases}$
答:A种农作物的种植面积是3公顷,B种农作物的种植面积是4公顷.

【分析】
本题存在A、B两种农作物种植面积两个未知量，适合用二元一次方程组求解。首先设两个未知数分别对应两个未知量，再从题目条件中提取两个等量关系：①种植A作物的总人数+种植B作物的总人数=总人数24人；②种植A作物的总投入资金+种植B作物的总投入资金=总资金60万元。结合表格给出的每公顷所需人数、投入资金数据，将等量关系转化为方程组，最后解方程组即可得到结果。
【解析】
设A种农作物的种植面积是$x$公顷，B种农作物的种植面积是$y$公顷。
根据总人数为24人，列方程：$4x+3y=24$
根据总投入资金为60万元，列方程：$8x+9y=60$
联立得方程组：$\begin{cases}4x+3y=24&① \\8x+9y=60&② \end{cases}$
用加减消元法求解：
将①×2得：$8x+6y=48$ ③
用②-③得：$3y=12$，解得$y=4$
把$y=4$代入①得：$4x+3×4=24$，解得$x=3$
因此方程组的解为$\begin{cases}x=3 \\y=4 \end{cases}$
【答案】
A种农作物的种植面积是3公顷，B种农作物的种植面积是4公顷。
【知识点】
二元一次方程组应用，解二元一次方程组
【点评】
本题是典型的实际应用类题型，解题核心是从题干和表格中提取有效信息，找准等量关系列方程组，侧重考查学生的信息提取能力和方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.7

13. 如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解,则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程.
(1)在方程①$x-(3x+1)=-5$;②$\frac{2x}{3}+1=0$;③$3x-1=0$中,不等式组$\begin{cases}-x+2＞x-5, \\3x-1＞-x+2\end{cases}$的关联方程是 ______ (填序号);
(2)若方程$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}x$,$3+x=2(x+\frac{1}{2})$都是关于$x$的不等式组$\begin{cases}x＜2x-m, \\x-2≤ m\end{cases}$的关联方程,直接写出$m$的取值范围.

13.解:(1)①;
(2)由$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}x$,得$x=\frac{1}{2}$,由$3+x=2(x+\frac{1}{2})$得$x=2$,由不等式组$\begin{cases}x＜2x-m, \\x-2≤ m\end{cases}$得$m＜x＜2+m$,
∵方程$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}x,3+x=2(x+\frac{1}{2})$都是关于x的不等式组$\begin{cases}x＜2x-m, \\x-2≤ m\end{cases}$的关联方程,
∴$\begin{cases}m＜\frac{1}{2}, \\2+m≥2\end{cases}$,得$0≤ m＜\frac{1}{2}$.

【分析】
本题属于新定义类问题，解题思路如下：
(1) 先求解一元一次不等式组的解集，再分别求解三个一元一次方程的根，判断哪个方程的根落在不等式组的解集范围内，即为关联方程；
(2) 先分别求解两个给定一元一次方程的根，再求解含参数$m$的一元一次不等式组的解集，根据“关联方程”的定义，两个方程的根都属于不等式组的解集，据此列出关于$m$的不等式组，求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
(1) 求解不等式组$\begin{cases}-x+2＞x-5 \\3x-1＞-x+2\end{cases}$：
解不等式$-x+2＞x-5$，移项合并得$-2x＞-7$，系数化为1得$x＜\frac{7}{2}$；
解不等式$3x-1＞-x+2$，移项合并得$4x＞3$，系数化为1得$x＞\frac{3}{4}$；
因此不等式组的解集为$\frac{3}{4}＜x＜\frac{7}{2}$。
分别求解三个方程：
①$x-(3x+1)=-5$，去括号合并得$-2x=-4$，解得$x=2$，满足$\frac{3}{4}＜2＜\frac{7}{2}$，符合要求；
②$\frac{2x}{3}+1=0$，移项得$\frac{2x}{3}=-1$，解得$x=-\frac{3}{2}$，不在解集范围内，不符合；
③$3x-1=0$，解得$x=\frac{1}{3}$，不在解集范围内，不符合。
故关联方程为①。
(2) 先求解两个方程的根：
解方程$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}x$，移项合并得$x=\frac{1}{2}$；
解方程$3+x=2(x+\frac{1}{2})$，去括号得$3+x=2x+1$，移项得$x=2$。
再求解不等式组$\begin{cases}x＜2x-m \\x-2≤ m\end{cases}$：
解不等式$x＜2x-m$得$x＞m$；
解不等式$x-2≤m$得$x≤m+2$；
因此不等式组的解集为$m＜x≤m+2$。
由两个方程都是关联方程可知，$x=\frac{1}{2}$和$x=2$都在解集内，可得$\begin{cases}m＜\frac{1}{2} \\m+2≥2\end{cases}$，解得$0≤m＜\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) ①；(2) $0≤m＜\frac{1}{2}$
【知识点】
一元一次方程解法、一元一次不等式组解法、新定义理解
【点评】
本题结合新定义考查一元一次方程与不等式组的综合应用，解题核心是准确理解“关联方程”的定义，正确求解方程和不等式组，再根据约束条件求解参数范围，需要注意参数边界值的取舍是否符合要求。
【难度系数】
0.7