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三、解答题
11. 解方程组：$\begin{cases} x - 2y = -8, \\ \dfrac{x + 3}{4} + 1 = \dfrac{y - 1}{3}. \end{cases}$
11. 解方程组：$\begin{cases} x - 2y = -8, \\ \dfrac{x + 3}{4} + 1 = \dfrac{y - 1}{3}. \end{cases}$
答案
11.$\begin{cases} x=-9, \\ y=-\dfrac{1}{2}. \end{cases}$
解析
【分析】
这是二元一次方程组求解问题，解题思路如下：第一步先处理含分母的第二个方程，利用等式的性质去分母，将其化为整数系数的整式方程，去分母时注意不要漏乘不含分母的常数项；第二步观察第一个方程的形式，x的系数为1，适合用代入消元法，将第一个方程变形为用y表示x的形式，代入化简后的第二个方程，先求出y的值，再回代求出x的值，最后验证解是否满足原方程组。
【解析】
解：给原方程组编号：
$\begin{cases} x - 2y = -8 \quad ①, \\ \dfrac{x + 3}{4} + 1 = \dfrac{y - 1}{3} \quad ②. \end{cases}$
1. 化简方程②：
两边同时乘4和3的最小公倍数12，得：
$3(x+3) + 12×1 = 4(y-1)$
展开并整理：
$3x + 9 + 12 = 4y - 4$
$3x - 4y = -25 \quad ③$
2. 用代入消元法求解：
由①变形得：$x = 2y - 8 \quad ④$
将④代入③，得：
$3(2y - 8) - 4y = -25$
展开计算：
$6y - 24 - 4y = -25$
$2y = -1$
解得：$y = -\dfrac{1}{2}$
3. 回代求x：
将$y = -\dfrac{1}{2}$代入④，得：
$x = 2×(-\dfrac{1}{2}) - 8 = -1 - 8 = -9$
4. 检验：将$x=-9,y=-\dfrac{1}{2}$代入原方程组，两个方程均成立。
【答案】
$\begin{cases} x=-9, \\ y=-\dfrac{1}{2}. \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组解法、等式的性质、代入消元法
【点评】
本题是二元一次方程组的常规基础题，解题核心是先将分式形式的方程转化为整式方程，再根据方程特征选择简便的消元方法，计算时要注意去分母不要漏乘常数项，避免出现计算失误。
【难度系数】
0.8
这是二元一次方程组求解问题，解题思路如下：第一步先处理含分母的第二个方程，利用等式的性质去分母，将其化为整数系数的整式方程，去分母时注意不要漏乘不含分母的常数项；第二步观察第一个方程的形式，x的系数为1，适合用代入消元法，将第一个方程变形为用y表示x的形式，代入化简后的第二个方程，先求出y的值，再回代求出x的值，最后验证解是否满足原方程组。
【解析】
解：给原方程组编号：
$\begin{cases} x - 2y = -8 \quad ①, \\ \dfrac{x + 3}{4} + 1 = \dfrac{y - 1}{3} \quad ②. \end{cases}$
1. 化简方程②：
两边同时乘4和3的最小公倍数12，得：
$3(x+3) + 12×1 = 4(y-1)$
展开并整理：
$3x + 9 + 12 = 4y - 4$
$3x - 4y = -25 \quad ③$
2. 用代入消元法求解：
由①变形得：$x = 2y - 8 \quad ④$
将④代入③，得：
$3(2y - 8) - 4y = -25$
展开计算：
$6y - 24 - 4y = -25$
$2y = -1$
解得：$y = -\dfrac{1}{2}$
3. 回代求x：
将$y = -\dfrac{1}{2}$代入④，得：
$x = 2×(-\dfrac{1}{2}) - 8 = -1 - 8 = -9$
4. 检验：将$x=-9,y=-\dfrac{1}{2}$代入原方程组，两个方程均成立。
【答案】
$\begin{cases} x=-9, \\ y=-\dfrac{1}{2}. \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组解法、等式的性质、代入消元法
【点评】
本题是二元一次方程组的常规基础题，解题核心是先将分式形式的方程转化为整式方程，再根据方程特征选择简便的消元方法，计算时要注意去分母不要漏乘常数项，避免出现计算失误。
【难度系数】
0.8
12.某学校在本学期组织学生积极参与“劳动最光荣”活动，并设置了四个劳动项目: A.为家人做早饭; B.洗碗; C.打扫; D.洗衣服.要求每个学生必须选择一个自己最擅长的劳动项目，并要坚持整个学期,为了解全校参加各项目的学生人数,学校随机抽取了部分学生进行调查,根据调查结果,绘制了如下两幅不完整的统计图.
请根据所给信息,解答下列问题:
(1)求本次接受抽样调查的总人数;
(2)请将条形统计图补充完整;
(3)求扇形统计图中A的百分比和扇形B的圆心角度数.
请根据所给信息,解答下列问题:
(1)求本次接受抽样调查的总人数;
(2)请将条形统计图补充完整;
(3)求扇形统计图中A的百分比和扇形B的圆心角度数.
答案
12.解:(1)本次接受抽样调查的总人数为 27÷22.5%=120(名);
(2)最擅长的 C 项目的人数为 120-18-45-27=30(名),
条形统计图略；
(3)项目 A 所占的百分比为 $\dfrac{18}{120}×100\%=15\%$；
扇形 B 的圆心角度数为 $360°×\dfrac{45}{120}=135°$.
(2)最擅长的 C 项目的人数为 120-18-45-27=30(名),
条形统计图略；
(3)项目 A 所占的百分比为 $\dfrac{18}{120}×100\%=15\%$；
扇形 B 的圆心角度数为 $360°×\dfrac{45}{120}=135°$.
解析
【分析】
解题时需结合条形统计图和扇形统计图的信息对应关系逐步求解：
1. 求抽样总人数：找到同时明确具体人数和对应占比的项目，D项目在条形图中人数为27人，扇形图中占比22.5%，根据“总人数=部分人数÷对应占比”即可算出总人数。
2. 补全条形图：用总人数减去已知的A、B、D三个项目的人数，得到C项目的人数，再在条形图对应位置画出C项目的直条即可。
3. 求A的百分比和B的圆心角：A的百分比用A的人数除以总人数乘100%计算；扇形圆心角总和为360°，B的圆心角度数用360°乘B人数占总人数的比例计算即可。
【解析】
(1) 已知D项目人数为27人，对应扇形占比为22.5%，因此本次接受抽样调查的总人数为：
$27÷22.5\%=120$（名）
(2) C项目的人数为总人数减去A、B、D项目的人数：
$120-18-45-27=30$（名）
在条形统计图中C项目对应位置绘制高度为30的直条即可补全图形。
(3) 项目A所占的百分比为：
$\dfrac{18}{120}×100\%=15\%$
扇形B的圆心角度数为：
$360°×\dfrac{45}{120}=135°$
【答案】
(1) 120名；
(2) C项目人数为30名，补图略；
(3) A的百分比为15%，扇形B的圆心角度数为$135°$。
【知识点】
条形统计图、扇形统计图、统计数据计算
【点评】
本题为统计图表综合应用题，解题突破口是找到两种统计图中相互对应的已知量先求出总样本数，只要掌握条形统计图、扇形统计图的特点和对应计算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时需结合条形统计图和扇形统计图的信息对应关系逐步求解：
1. 求抽样总人数：找到同时明确具体人数和对应占比的项目，D项目在条形图中人数为27人，扇形图中占比22.5%，根据“总人数=部分人数÷对应占比”即可算出总人数。
2. 补全条形图：用总人数减去已知的A、B、D三个项目的人数，得到C项目的人数，再在条形图对应位置画出C项目的直条即可。
3. 求A的百分比和B的圆心角：A的百分比用A的人数除以总人数乘100%计算；扇形圆心角总和为360°，B的圆心角度数用360°乘B人数占总人数的比例计算即可。
【解析】
(1) 已知D项目人数为27人，对应扇形占比为22.5%，因此本次接受抽样调查的总人数为：
$27÷22.5\%=120$（名）
(2) C项目的人数为总人数减去A、B、D项目的人数：
$120-18-45-27=30$（名）
在条形统计图中C项目对应位置绘制高度为30的直条即可补全图形。
(3) 项目A所占的百分比为：
$\dfrac{18}{120}×100\%=15\%$
扇形B的圆心角度数为：
$360°×\dfrac{45}{120}=135°$
【答案】
(1) 120名；
(2) C项目人数为30名，补图略；
(3) A的百分比为15%，扇形B的圆心角度数为$135°$。
【知识点】
条形统计图、扇形统计图、统计数据计算
【点评】
本题为统计图表综合应用题，解题突破口是找到两种统计图中相互对应的已知量先求出总样本数，只要掌握条形统计图、扇形统计图的特点和对应计算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
13. 阅读理解：
【形成概念】我们把关于$x$的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫作“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫作“无缘组合”
【初步感知】
（1）请判断下列组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由；
（Ⅰ）$\begin{cases}2x - 4 = 0, \\5x - 2 ＜ 3;\end{cases}$
（Ⅱ）$\begin{cases}\dfrac{x - 5}{3} = 2 - \dfrac{3 - x}{2}, \\\dfrac{x + 3}{2} - 1 ＜ \dfrac{3 - x}{4};\end{cases}$
【问题解决】
（2）若关于$x$的组合$\begin{cases}\dfrac{5a - x}{2} - 3 = 2x - 3a, \\\dfrac{x - a}{2} + 1 ≤ x + a\end{cases}$是“无缘组合”，求$a$的取值范围。
【形成概念】我们把关于$x$的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫作“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫作“无缘组合”
【初步感知】
（1）请判断下列组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由；
（Ⅰ）$\begin{cases}2x - 4 = 0, \\5x - 2 ＜ 3;\end{cases}$
（Ⅱ）$\begin{cases}\dfrac{x - 5}{3} = 2 - \dfrac{3 - x}{2}, \\\dfrac{x + 3}{2} - 1 ＜ \dfrac{3 - x}{4};\end{cases}$
【问题解决】
（2）若关于$x$的组合$\begin{cases}\dfrac{5a - x}{2} - 3 = 2x - 3a, \\\dfrac{x - a}{2} + 1 ≤ x + a\end{cases}$是“无缘组合”，求$a$的取值范围。
答案
13.解:(1)(Ⅰ)解$2x-4=0$,得$x=2$,
解$5x-2＜3$,得$x＜1$,
∵2 不在$x＜1$范围内,
∴(Ⅰ)组合是“无缘组合”；
(Ⅱ)解$\dfrac{x-5}{3}=2-\dfrac{3-x}{2}$得$x=-13$.
解不等式$\dfrac{x+3}{2}-1＜\dfrac{3-x}{4}$得$x＜\dfrac{1}{3}$.
∵$-13$在$x＜\dfrac{1}{3}$范围内,
∴(Ⅱ)组合是“有缘组合”；
(2)解方程$\dfrac{5a-x}{2}-3=2x-3a$,
得:$x=\dfrac{11a-6}{5}$,
解不等式$\dfrac{x-a}{2}+1≤ x+a$,
得:$x≥ -3a+2$,
∵关于$x$的组合$\begin{cases}\dfrac{5a-x}{2}-3=2x-3a, \\\dfrac{x-a}{2}+1≤ x+a\end{cases}$是“无缘组合”,
∴$\dfrac{11a-6}{5}＜-3a+2$,
解得:$a＜\dfrac{8}{13}$.
解$5x-2＜3$,得$x＜1$,
∵2 不在$x＜1$范围内,
∴(Ⅰ)组合是“无缘组合”；
(Ⅱ)解$\dfrac{x-5}{3}=2-\dfrac{3-x}{2}$得$x=-13$.
解不等式$\dfrac{x+3}{2}-1＜\dfrac{3-x}{4}$得$x＜\dfrac{1}{3}$.
∵$-13$在$x＜\dfrac{1}{3}$范围内,
∴(Ⅱ)组合是“有缘组合”；
(2)解方程$\dfrac{5a-x}{2}-3=2x-3a$,
得:$x=\dfrac{11a-6}{5}$,
解不等式$\dfrac{x-a}{2}+1≤ x+a$,
得:$x≥ -3a+2$,
∵关于$x$的组合$\begin{cases}\dfrac{5a-x}{2}-3=2x-3a, \\\dfrac{x-a}{2}+1≤ x+a\end{cases}$是“无缘组合”,
∴$\dfrac{11a-6}{5}＜-3a+2$,
解得:$a＜\dfrac{8}{13}$.
解析
【分析】
解决本题首先要准确理解新定义：“有缘组合”指一元一次方程的解属于一元一次不等式的解集，“无缘组合”则是方程的解不属于不等式的解集。解题思路如下：1. 对于（1）的两个组合，分别先求解一元一次方程得到x的具体值，再求解对应的一元一次不等式得到解集，判断方程的解是否在不等式解集内，即可判定组合类型；2. 对于（2），先分别求解含参数a的一元一次方程和一元一次不等式，用含a的式子表示方程的解和不等式的解集，再根据“无缘组合”的定义，得到方程的解不满足不等式，列出关于a的一元一次不等式，求解即可得到a的取值范围。
【解析】
(1)(Ⅰ) 解方程$2x-4=0$：
移项得$2x=4$，解得$x=2$；
解不等式$5x-2＜3$：
移项得$5x＜5$，解得$x＜1$；
∵$2$不在$x＜1$的范围内，
∴该组合是“无缘组合”。
(Ⅱ) 解方程$\dfrac{x-5}{3}=2-\dfrac{3-x}{2}$：
去分母，两边同乘6得$2(x-5)=12-3(3-x)$，
去括号得$2x-10=12-9+3x$，
移项合并同类项得$-x=13$，解得$x=-13$；
解不等式$\dfrac{x+3}{2}-1＜\dfrac{3-x}{4}$：
去分母，两边同乘4得$2(x+3)-4＜3-x$，
去括号得$2x+6-4＜3-x$，
移项合并同类项得$3x＜1$，解得$x＜\dfrac{1}{3}$；
∵$-13$在$x＜\dfrac{1}{3}$的范围内，
∴该组合是“有缘组合”。
(2) 解方程$\dfrac{5a-x}{2}-3=2x-3a$：
去分母得$5a-x-6=4x-6a$，
移项合并同类项得$-5x=-11a+6$，
解得$x=\dfrac{11a-6}{5}$；
解不等式$\dfrac{x-a}{2}+1\le x+a$：
去分母得$x-a+2\le 2x+2a$，
移项合并同类项得$-x\le 3a-2$，
系数化为1得$x\ge -3a+2$；
∵该组合是“无缘组合”，即方程的解不是不等式的解，
∴$\dfrac{11a-6}{5}＜-3a+2$，
去分母得$11a-6＜-15a+10$，
移项合并同类项得$26a＜16$，
解得$a＜\dfrac{8}{13}$。
【答案】
(1)(Ⅰ) 无缘组合；(Ⅱ) 有缘组合；(2) $a＜\dfrac{8}{13}$
【知识点】
一元一次方程的解法，一元一次不等式的解法，新定义问题
【点评】
本题以新定义为背景，考查基础的方程与不等式求解能力，解题核心是准确理解新定义的含义，将陌生问题转化为熟悉的解方程、解不等式问题即可解决，计算时注意去分母、移项的符号问题，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要准确理解新定义：“有缘组合”指一元一次方程的解属于一元一次不等式的解集，“无缘组合”则是方程的解不属于不等式的解集。解题思路如下：1. 对于（1）的两个组合，分别先求解一元一次方程得到x的具体值，再求解对应的一元一次不等式得到解集，判断方程的解是否在不等式解集内，即可判定组合类型；2. 对于（2），先分别求解含参数a的一元一次方程和一元一次不等式，用含a的式子表示方程的解和不等式的解集，再根据“无缘组合”的定义，得到方程的解不满足不等式，列出关于a的一元一次不等式，求解即可得到a的取值范围。
【解析】
(1)(Ⅰ) 解方程$2x-4=0$：
移项得$2x=4$，解得$x=2$；
解不等式$5x-2＜3$：
移项得$5x＜5$，解得$x＜1$；
∵$2$不在$x＜1$的范围内，
∴该组合是“无缘组合”。
(Ⅱ) 解方程$\dfrac{x-5}{3}=2-\dfrac{3-x}{2}$：
去分母，两边同乘6得$2(x-5)=12-3(3-x)$，
去括号得$2x-10=12-9+3x$，
移项合并同类项得$-x=13$，解得$x=-13$；
解不等式$\dfrac{x+3}{2}-1＜\dfrac{3-x}{4}$：
去分母，两边同乘4得$2(x+3)-4＜3-x$，
去括号得$2x+6-4＜3-x$，
移项合并同类项得$3x＜1$，解得$x＜\dfrac{1}{3}$；
∵$-13$在$x＜\dfrac{1}{3}$的范围内，
∴该组合是“有缘组合”。
(2) 解方程$\dfrac{5a-x}{2}-3=2x-3a$：
去分母得$5a-x-6=4x-6a$，
移项合并同类项得$-5x=-11a+6$，
解得$x=\dfrac{11a-6}{5}$；
解不等式$\dfrac{x-a}{2}+1\le x+a$：
去分母得$x-a+2\le 2x+2a$，
移项合并同类项得$-x\le 3a-2$，
系数化为1得$x\ge -3a+2$；
∵该组合是“无缘组合”，即方程的解不是不等式的解，
∴$\dfrac{11a-6}{5}＜-3a+2$，
去分母得$11a-6＜-15a+10$，
移项合并同类项得$26a＜16$，
解得$a＜\dfrac{8}{13}$。
【答案】
(1)(Ⅰ) 无缘组合；(Ⅱ) 有缘组合；(2) $a＜\dfrac{8}{13}$
【知识点】
一元一次方程的解法，一元一次不等式的解法，新定义问题
【点评】
本题以新定义为背景，考查基础的方程与不等式求解能力，解题核心是准确理解新定义的含义，将陌生问题转化为熟悉的解方程、解不等式问题即可解决，计算时注意去分母、移项的符号问题，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
