14. 若$2^{x}· 4^{3 - x}· 8^{1 + x}=2048$，则$x=$.

14. 1 解析：因为 $ 2^{x} · 4^{3 - x} · 8^{1 + x} = 2048 $，所以 $ 2^{x} · 2^{2(3 - x)} · 2^{3(1 + x)} = 2^{11} $，所以 $ 2^{9 + 2x} = 2^{11} $，所以 $ 9 + 2x = 11 $，解得 $ x = 1 $。

15. 计算：
（1）$a^{3}· (a^{2})^{3}· (a^{3})^{3}$；
（2）$(y^{2})^{3}· (-y^{4})^{3}· y$；
（3）$(-x)^{3}· (x^{2})^{5}· x+(-x^{4})^{2}· (-x^{6})$；
（4）$(x^{3}· x^{5})^{2}+(-x)^{2}· (x^{2})^{3}· (-x^{2})^{4}$.

15. (1) 原式 $ = a^{3} · a^{6} · a^{9} = a^{18} $。
(2) 原式 $ = y^{6} · (-y^{12}) · y = -y^{19} $。
(3) 原式 $ = -x^{3} · x^{10} · x + x^{8} · (-x^{6}) = -x^{14} - x^{14} = -2x^{14} $。
(4) 原式 $ = (x^{8})^{2} + x^{2} · x^{6} · x^{8} = x^{16} + x^{16} = 2x^{16} $。

16. （1）设$n$为正整数，且$x^{2n}=5$，求$(x^{3n})^{2}-3(x^{2})^{2n}$的值；
（2）已知$10^{α}=5$，$10^{β}=6$，求$10^{2α + 2β}$的值；
（3）已知$x^{3}=m$，$x^{5}=n$，试用含$m$，$n$的代数式表示$x^{14}$.

16. (1) 因为 $ x^{2n} = 5 $，所以 $ (x^{3n})^{2} - 3(x^{2})^{2n} = x^{6n} - 3x^{4n} = (x^{2n})^{3} - 3(x^{2n})^{2} = 5^{3} - 3 × 5^{2} = 50 $。
(2) 因为 $ 10^{α} = 5 $，$ 10^{β} = 6 $，所以 $ 10^{2α + 2β} = (10^{α})^{2} · (10^{β})^{2} = 5^{2} × 6^{2} = 900 $。
(3) 因为 $ x^{3} = m $，$ x^{5} = n $，所以 $ x^{14} = x^{9} · x^{5} = (x^{3})^{3} · x^{5} = m^{3}n $。

17. 新素养 推理能力 已知$m$，$n$为正整数.如果$(-a^{m})^{n}=(-a^{n})^{m}$，那么()

A.$m$为奇数，$n$为奇数
B.$m$为偶数，$n$为偶数
C.$m$，$n$奇偶性相同
D.$m$，$n$奇偶性相反

17. C 解析：因为 $ (-a^{m})^{n} = (-a^{n})^{m} $，所以 $ m $，$ n $ 可以同时为奇数，也可以同时为偶数，即 $ m $，$ n $ 奇偶性相同。

18. (2025·江苏常州期中)小明是一位刻苦学习、勤于思考的学生.一天，他在解方程时突然产生了这样的想法：对于方程$x^{2}=-1$，如果存在一个数$\mathrm{i}$，使得$\mathrm{i}^{2}=-1$，那么方程$x^{2}=-1$可以变成$x^{2}=\mathrm{i}^{2}$，则$x=\pm \mathrm{i}$，从而$x=\pm \mathrm{i}$是方程$x^{2}=-1$的两个解.小明还发现$\mathrm{i}$具有以下性质：$\mathrm{i}^{1}=\mathrm{i}$，$\mathrm{i}^{2}=-1$，$\mathrm{i}^{3}=\mathrm{i}^{2}· \mathrm{i}=-\mathrm{i}$，$\mathrm{i}^{4}=(\mathrm{i}^{2})^{2}=(-1)^{2}=1$，$\mathrm{i}^{5}=\mathrm{i}^{4}· \mathrm{i}=\mathrm{i}$，$\mathrm{i}^{6}=(\mathrm{i}^{2})^{3}=(-1)^{3}=-1$，$\mathrm{i}^{7}=\mathrm{i}^{6}· \mathrm{i}=-\mathrm{i}$，$\mathrm{i}^{8}=(\mathrm{i}^{4})^{2}=1$，$···$.
请你观察上述等式，根据你发现的规律填空：$\mathrm{i}^{4n + 1}=$，$\mathrm{i}^{4n + 2}=$，$\mathrm{i}^{4n + 3}=$，$\mathrm{i}^{4n + 4}=$.($n$为自然数)

18. $ i $ $ -1 $ $ -i $ $ 1 $ 解析：由题意，得 $ i^{4n + 1} = i^{4n} · i = (i^{4})^{n} · i = i $，$ i^{4n + 2} = (i^{4})^{n} · i^{2} = -1 $，$ i^{4n + 3} = (i^{4})^{n} · i^{3} = -i $，$ i^{4n + 4} = (i^{4})^{n + 1} = 1 $。

19. (1)阅读并把下列过程填写完整：试比较$2^{100}$与$3^{75}$的大小.
解：因为$2^{100}=( )\_\_\_\_\_$)^{25}=16^{25}$，$3^{75}=()______$)^{25}=27^{25}$，且$16 ＜ 27$，
所以$2^{100}\_\_\_\_\_\_3^{75}$；
(2)仿照(1)中的解题过程，请比较$3^{55}$，$4^{44}$，$5^{33}$的大小.

19. (1) $ 2^{4} $ $ 3^{3} $ $ ＜ $
(2) 因为 $ 3^{55} = (3^{5})^{11} = 243^{11} $，$ 4^{44} = (4^{4})^{11} = 256^{11} $，$ 5^{33} = (5^{3})^{11} = 125^{11} $，且 $ 125 ＜ 243 ＜ 256 $，所以 $ 5^{33} ＜ 3^{55} ＜ 4^{44} $。

20. 已知$a^{x}=5$，$a^{y}=9$，$a^{m}=2025$，请用含$x$，$y$的代数式表示$m$.

20. 因为 $ a^{x} = 5 $，$ a^{y} = 9 $，$ a^{m} = 2025 = 5^{2} × 9^{2} $，所以 $ a^{m} = (a^{x})^{2} · (a^{y})^{2} $，所以 $ a^{m} = a^{2x} · a^{2y} $，所以 $ a^{m} = a^{2x + 2y} $，所以 $ m = 2x + 2y $。