1 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A,∠ B,∠ C$的对边分别是$a,b,c$，若$∠ B+∠ C=90°$，则下列等式中成立的是（）

A.$a^2 + b^2 = c^2$
B.$b^2 + c^2 = a^2$
C.$a^2 + c^2 = b^2$
D.$b + c = a$

1. B 【解析】
∵ ∠B+∠C = 90°,
∴ ∠A = 90°,
∴ $b^2+c^2 = a^2$. 故选 B.

2 若一个直角三角形的两边长分别为4和5，则第三条边长为。

2. 3 或 $\sqrt{41}$ 【解析】当5为直角边长时,第三条边长的平方为 $4^2+5^2=41$;当5为斜边长时,第三条边长的平方为 $5^2-4^2=9$,故第三条边长为3或$\sqrt{41}$. 故答案为3 或 $\sqrt{41}$.

3 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的对边分别为$a$，$b$，$c$. 若$a:b=3:4$，$c=20\ \mathrm{cm}$，则$b=\_\_\_\_\_\_$.

3. 16 cm 【解析】
∵ $a:b = 3:4$,
∴ 设 $a = 3x\ \mathrm{cm}$, $b = 4x\ \mathrm{cm}$.
∵ $c = 20\ \mathrm{cm}$,
∴ 由勾股定理可得 $(3x)^2+(4x)^2=20^2$,解得 $x = 4$(负值已舍去),
∴ $b = 4×4 = 16(\mathrm{cm})$. 故答案为 16 cm.

4[2025江苏无锡期中]如图，所有阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A,B,C的面积依次为2,6,3，则正方形D的面积为（）

A.6
B.8
C.11
D.12

4. C 【解析】设正方形 A,B,C,D 的边长分别为 $a,b,c,d$,中间阴影正方形的边长为 $x$.
∵ 两个三角形为直角三角形,
∴ $a^2+b^2=x^2$,$x^2+c^2=d^2$,
∴ $d^2=a^2+b^2+c^2$.
∵ A,B,C 三个正方形的面积分别为2,6,3,
∴ $d^2=a^2+b^2+c^2=2+6+3=11$,
∴ 正方形 D 的面积为 11. 故选 C.

5[2026江苏扬州调研]如图所示,实数可以用数轴上的点来表示,点A表示的数为a,点B表示的数为b,则$b-a=$.

5. $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ 【解析】如图,
∵ $OE=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$, $OD=\sqrt{1^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{3}$,
∴ $OA=OE=\sqrt{2}$,$OB=OD=\sqrt{3}$.
∵ 点 A 表示的数为 $a$,点 B 表示的数为 $b$,
∴ $b-a=OB-OA=\sqrt{3}-\sqrt{2}$,故答案为 $\sqrt{3}-\sqrt{2}$.

6 新考法[2026江苏盐城期中]如图,在$4×4$的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点叫作格点.
(1)在图中以格点为顶点画三角形,使三角形的三边长分别为$\sqrt{5}$,$\sqrt{10}$,$\sqrt{13}$;
(2)借助作出的图形,比较$\sqrt{5}+\sqrt{10}\_\_\_\_\_\_\sqrt{13}$(填“＞”“=”或“＜”).
建议用时20分钟 答案 D47

思路分析
(1)利用勾股定理拆解$\sqrt{5}=\sqrt{1^2+2^2}$,$\sqrt{10}=\sqrt{1^2+3^2}$,$\sqrt{13}=\sqrt{2^2+3^2}$,再利用网格图即可作出三角形.
6.【解】(1)如图所示, $△ ABC$ 即为所求.
(2)如图,由三角形三边关系得,$AC+AB＞BC$,即$\sqrt{5}+\sqrt{10}＞\sqrt{13}$,故答案为$＞$.

7[2025江苏南京期中]在$△ ABC$中，$∠ BAC$和$∠ ABC$都是锐角，$BC = a$，$AC = b$，$AB = c$. 如图(1)，当$∠ ACB=90°$时，$a^2 + b^2 = c^2$.
(1)如图(2)，当$∠ ACB＜90°$时，小明猜想$a^2 + b^2 ＞ c^2$，理由如下：
过点$A$作$AD ⊥ BC$，垂足为$D$，设$CD = x$，$···$. 完成小明的证明过程.
(2)如图(3)，当$∠ ACB＞90°$时，猜想$a^2 + b^2$与$c^2$的大小关系，并证明你的猜想.

刷易错$\boldsymbol{△right}$$·$小心有坑~

7.【解】(1)
∵ $AD^2 = b^2-x^2$,$AD^2 = c^2-(a-x)^2$,则$b^2-x^2 = c^2-(a-x)^2$,
∴ $a^2+b^2 = c^2+2ax$.
∵ $a＞0$, $x＞0$,
∴ $2ax＞0$,
∴ $a^2+b^2＞c^2$,
∴ 当$∠ACB＜90°$时,$a^2+b^2＞c^2$.
(2)当$∠ACB＞90°$时,$a^2+b^2$与$c^2$的大小关系为$a^2+b^2＜c^2$.证明:如图,过点 A 作 $AD ⊥ BC$,交BC 的延长线于点 D,设 $CD=x$.
∵ $AD^2=AC^2-DC^2=b^2-x^2$,$AD^2=AB^2-BD^2=c^2-(a+x)^2$,
∴ $b^2-x^2 = c^2-(a+x)^2$,
∴ $a^2+b^2 = c^2-2ax$.
∵ $a＞0$,$x＞0$,
∴ $2ax＞0$,
∴ $a^2+b^2 = c^2-2ax ＜ c^2$,
∴ 当$∠ACB＞90°$时,$a^2+b^2＜c^2$.
易错警示
本题因为没有图形,所以在解题时画出符合条件的图形就显得尤为重要,应按$∠ACB$为锐角或钝角两种情况分类讨论.

8 在$△ ABC$中，$AB=20$，$AC=15$，$BC$边上的高$AD$为12，则$BC$的长为.

8. 25 或 7 【解析】分两种情况讨论:如图(1),当$∠ACB$ 为 锐 角 时,在$\mathrm{Rt}△ ABD$ 中,$BD^2 = AB^2-AD^2 = 20^2-12^2 = 256$,
∴ $BD=16$. 在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中,$CD^2 = AC^2-AD^2 = 15^2-12^2 = 81$,
∴ $CD=9$,
∴ $BC=BD+CD=25$.
如图(2),当$∠ACB$ 为钝角时,在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中,$BD^2 = AB^2-AD^2 = 20^2-12^2 = 256$,
∴ $BD=16$.
在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中,$CD^2 = AC^2-AD^2 = 15^2-12^2 = 81$,
∴ $CD=9$,
∴ $BC=BD-CD=7$.综上所述,$BC$ 的长为 25 或 7.