1.（2026·江苏徐州月考）如图，在$△ ABC$中，$AB＝AC$，点$P$从点$B$出发在线段$BA$上移动（点$P$与$A$，$B$两点不重合），同时点$F$从点$C$出发在线段$AC$的延长线上移动，且$P$，$F$两点移动的速度相同，$PF$与直线$BC$相交于点$D$.
（1）求证：$DP＝DF$；
（2）过点$P$作直线$BC$的垂线，垂足为$E$，在$P$，$F$两点移动的过程中，求线段$ED$与$BC$之间的数量关系.

1. (1) 过点 P 作 PQ//AC 交 BC 于点 Q,则∠ACB=∠PQB,∠CFD=∠DPQ. 因为点 P 和点 F 同时出发,且速度相同,所以 CF=BP. 又 AB=AC,所以∠ACB=∠B,即∠PQB=∠B. 所以 BP=PQ,即PQ=FC. 又∠PDQ=∠FDC,所以△PQD≌△FCD(AAS). 所以 DP=DF.
(2) $ED=\frac{1}{2} BC$. 理由如下:由(1),得△PQD≌△FCD,BP=PQ,所以 DQ=DC,即 $DQ=\frac{1}{2}QC$.因为 $PE⊥BQ$,所以 $EQ=\frac{1}{2}BQ$. 所以 $ED=DQ+EQ=\frac{1}{2}QC+\frac{1}{2}BQ=\frac{1}{2}BC$.

2. 如图，$AD// BC$，$∠ PAB$的平分线与$∠ CBA$的平分线相交于点E，连接CE并延长交AP于点D。求证：$AD+BC=AB$。

2. 延长 BE 交 AP 于点 F. 因为 AD//BC,所以∠AFE=∠CBE. 因为 BE 平分∠CBA,所以∠CBE=∠ABE,即∠AFE=∠ABE. 所以 AF=AB. 因为AE 平分∠BAD,所以 BE=FE. 又∠FED=∠BEC,所以△DEF≌△CEB(ASA). 所以 FD=BC. 所以AD+BC=AD+FD=AF=AB.

3. 如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC=80°$，AD平分$∠ BAC$，$BD⊥ AD$，垂足为D，E为BC上一点，$DE// AC$，
则$∠ BDE$的度数为（）

A.$115°$
B.$120°$
C.$125°$
D.$130°$

3. D 解析:延长 BD 交 AC 于点 F. 因为∠BAC=80°,AD 平分∠BAC,所以 $∠DAF=\frac{1}{2}∠BAC=40°$. 因为 $AD⊥BD$,所以 $∠ADF=90°$. 所以 $∠BFC=∠DAF+∠ADF=130°$. 因为 $DE // AC$, 所以$∠BDE=∠BFC=130°$.

4. 阅读理解:在一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时,我们可以通过以下三种方法转化倍角寻找等腰三角形:
如图①,若$∠ ABC=2∠ C$,作$BD$平分$∠ ABC$交$AC$于点$D$,则$△ DBC$是等腰三角形;
如图②,若$∠ ABC=2∠ C$,延长$CB$至点$D$,使$BD=BA$,连接$AD$,则$△ ACD$是等腰三角形;
如图③,若$∠ B=2∠ ACB$,以点$C$为顶点,$CA$为一边,在$△ ABC$外作$∠ ACD=∠ ACB$,$CD$交$BA$的延长线于点$D$,则$△ DBC$是等腰三角形.
解决问题:如图④,在$△ ABC$中,$∠ ACB=2∠ B$,$BC=2AC$.求证:$∠ A=90°$.

4. 作 CD 平分∠ACB 交 AB 于点 D,过点 D 作 DE⊥BC于点 E,则∠ACD=∠BCD,∠ACB=2∠BCD,∠DEC=90°. 因为∠ACB=2∠B,所以∠B=∠BCD. 所以 BD=DC,即△DBC 是等腰三角形. 又$DE⊥BC$,所以 BC=2EC. 又 BC=2AC,所以 AC=EC. 又 CD=CD, 所以 $△ACD≌△ECD$(SAS). 所以$∠A=∠DEC=90°$.