一、选择题
1.(2025·永康)如图,在$□ ABCD$中,E,F分别是AD和BC的中点,P是AB上的一个动点,从点A运动到点B。在点P的运动过程中,$△ PED$与$△ PFC$的面积之和 （）



A.不变
B.变小
C.变大
D.先变大再变小

1.A

【分析】要判断△PED与△PFC的面积和变化情况，需结合平行四边形的性质、中点特点转化三角形面积关系。先利用中点将两个三角形的面积与△PAD、△PBC的面积关联，再根据平行四边形中△PAD与△PBC的面积和为定值，推导最终结论。
【解析】设平行四边形ABCD的面积为S。
∵ E是AD中点，△PED与△PAD同高，底ED为AD的一半，
∴ $ S_{△ PED} = \frac{1}{2}S_{△ PAD} $；
同理，F是BC中点，△PFC与△PBC同高，底FC为BC的一半，
∴ $ S_{△ PFC} = \frac{1}{2}S_{△ PBC} $；
则 $ S_{△ PED} + S_{△ PFC} = \frac{1}{2}(S_{△ PAD} + S_{△ PBC}) $。
在平行四边形中，△PAD和△PBC的底均为AB，高之和等于平行四边形AB边上的高，因此它们的面积和为平行四边形面积的一半，即 $ S_{△ PAD} + S_{△ PBC} = \frac{1}{2}S $；
代入得：$ S_{△ PED} + S_{△ PFC} = \frac{1}{2} × \frac{1}{2}S = \frac{S}{4} $，是定值，故面积之和不变。
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质、三角形面积计算
【点评】本题核心是利用中点性质转化三角形面积，结合平行四边形的面积规律推导定值，属于基础几何题，需掌握三角形面积与底、高的关系。
【难度系数】0.6

2.(2025·宁波江北)如图,在菱形ABCD中,$AD=2\sqrt{3},∠BAD=60°$,BD与AC相交于点O,点P是线段AB上的任意点,以PB为对角线作平行四边形POBQ,连结DQ,则DQ的最小值是 （）

A.$2\sqrt{3}$
B.4
C.$\frac{9}{2}$
D.$4\sqrt{3}$

2.C 解析:如图,过点Q作直线l//AB,再分别过点O,D作AB,l的垂线,垂足分别为N,M。因为四边形POBQ是平行四边形,所以易得点O到AB的距离等于点Q到AB的距离,所以点Q的轨迹即为平行于AB的线段(在直线l上),所以DQ≥DM=DH+HM=DH+ON,因为AD=2√3,∠BAD=60°,所以易得DH=3,因为点O为DB中点,ON⊥AB,DH⊥AB,所以易得OP为△DHB的中位线,故ON=1/2 DH=3/2,所以DQ≥DH+ON=3+3/2=9/2。再连结OM,交AB于点I,易证△ONI≌△MHI,所以HI=NI=1/2 HN,所以IB=3/4 HB＜AI,即当点Q在点M处时,点P在线段AB上,满足题意,所以DQ的最小值为9/2。故选C。
[第2题图]

【分析】
要解决DQ的最小值问题，首先利用菱形的性质和等边三角形的判定确定△ABD为等边三角形，再根据平行四边形的性质判断点Q的轨迹为平行于AB的直线，最后利用“点到直线的距离垂线段最短”结合中位线定理计算最小值。
【解析】
1. 在菱形ABCD中，AD=AB=2√3，∠BAD=60°，故△ABD是等边三角形，因此BD=AB=2√3，O为BD中点，BO=OD=√3。
2. 过D作DH⊥AB于H，在Rt△ADH中，∠BAD=60°，AD=2√3，可得DH=AD·sin60°=2√3×(√3/2)=3，AH=AD·cos60°=√3，AB=2AH=2√3，符合菱形边长。
3. 因为四边形POBQ是平行四边形，所以OQ//PB，即OQ//AB，因此点Q到AB的距离等于点O到AB的距离，即Q的轨迹是平行于AB的直线l。根据“点到直线的距离，垂线段最短”，DQ的最小值为点D到直线l的垂线段长度DM。
4. 过O作ON⊥AB于N，由于O是BD中点，ON⊥AB，DH⊥AB，故ON是△DBH的中位线，ON=1/2 DH=3/2。因此DM=DH + ON=3 + 3/2=9/2，即DQ的最小值为9/2。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质、平行四边形的性质、点到直线的距离
【点评】
本题综合考查菱形、平行四边形的性质及几何最值问题，核心是通过平行四边形的性质确定动点Q的轨迹，再利用垂线段最短和中位线定理求解，需熟练掌握几何图形的性质及最值问题的解题思路。
【难度系数】
0.4

3.(2024·丽水)如图,在菱形ABCD中,P是对角线BD上一动点,$PE⊥BC$于点E,$PF⊥CD$于点F,记菱形高线的长为h,则下列结论:①若P为BD的中点,则$PE=PF$;②$PE+PF=h$;③$∠EPF+∠A=180^{\circ }$;④若$AB=2,∠EPF=60^{\circ }$,连结PC,则$PE+PC$有最小值为2;⑤若$h=2,∠EPF=60^{\circ }$,连结EF,则$S_{△ PEF}$的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$。其中错误的结论有 （）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

3.B 解析:①如图,连结PC,若BP=DP,且BC=CD,则$S_{△ BPC}=S_{△ PCD}$,得PE=PF,①正确;②因为$S_{菱形ABCD}=BC·h$,$S_{菱形ABCD}=2S_{△ BCD}=2(S_{△ BPC}+S_{△ PCD})=2(\frac{1}{2}BC·PE+\frac{1}{2}CD·PF)=BC·(PE+PF)$,所以PE+PF=h,②正确;③因为四边形ABCD为菱形,所以∠BAD=∠BCD,又因为PE⊥BC,PF⊥CD,所以在四边形PECF中,有∠EPF+∠ECF=180°,所以∠EPF+∠A=180°,③正确;④如图,连结AP,并过点A作AG⊥BC,G为垂足。因为∠EPF=60°,所以∠C=120°,∠ABC=60°,且AB=2,易得AG=√3,所以PE+PC=PE+AP≥AG=√3,④不正确;⑤如图,过点E作EH⊥PF,由②,得PE+PF=h=2,因为∠EPF=60°,所以易得EH=√3/2 PE,设PE=a,则$S_{△ PEF}=\frac{1}{2}PF·EH=\frac{1}{2}PF·\frac{\sqrt{3}}{2}PE=\frac{\sqrt{3}}{4}a(2-a)=-\frac{\sqrt{3}}{4}(a-1)^2+\frac{\sqrt{3}}{4}$。又由h=2,∠ABC=60°,易得$AB=BC=\frac{4}{3}\sqrt{3}$,所以易得$\frac{2}{3}≤a≤\frac{4}{3}$,所以当a=1时,$S_{△ PEF}$有最大值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$,⑤不正确。故选B。
[第3题图]

【分析】
本题需结合菱形的性质，逐个分析5个结论的正确性：首先利用菱形的边相等、面积公式推导前3个结论；再通过对称转化求最值、结合角度与边长范围分析后2个结论，最终确定错误结论的数量。
【解析】
① 连结PC，因为P为BD中点，BP=DP，且BC=CD（菱形四边相等），则△BPC与△PCD等底同高，面积相等。又S△BPC=1/2·BC·PE，S△PCD=1/2·CD·PF，BC=CD，故PE=PF，①正确；
② 菱形面积=BC·h，同时菱形面积=2S△BCD=2(S△BPC+S△PCD)=2(1/2·BC·PE +1/2·CD·PF)=BC·(PE+PF)，因此PE+PF=h，②正确；
③ 菱形中∠A=∠BCD，PE⊥BC、PF⊥CD，故∠PEC=∠PFC=90°，四边形PECF内角和为360°，则∠EPF+∠ECF=180°，即∠EPF+∠A=180°，③正确；
④ 连结AP，菱形对称得AP=PC，故PE+PC=AP+PE，最小值为A到BC的距离AG。∠EPF=60°时∠C=120°，∠ABC=60°，AB=2，AG=AB·sin60°=√3≠2，④错误；
⑤ 由②知PE+PF=2，∠EPF=60°，S△PEF=1/2·PE·PF·sin60°=√3/4·a(2-a)= -√3/4(a-1)²+√3/4，结合h=2、∠ABC=60°，得PE的范围为2/3≤a≤4/3，当a=1时最大值为√3/4≠√3/2，⑤错误；
综上，错误结论共2个，选B。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质、三角形面积公式、最值问题
【点评】
本题综合考查菱形性质的应用，涉及面积转化、对称求最值、角度与边长范围分析，需学生熟练掌握菱形核心性质并灵活推导，对逻辑能力要求较高。
【难度系数】
0.6