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基础知识·预习
问题1 实际问题中的反比例函数的图象一般位于哪个象限？为什么？
问题2 建立反比例函数模型解决实际问题的过程一般是什么？
问题1 实际问题中的反比例函数的图象一般位于哪个象限？为什么？
问题2 建立反比例函数模型解决实际问题的过程一般是什么？
答案
解：
问题1：实际问题中的反比例函数的图象一般位于第一象限。
原因：实际问题里的自变量和对应的函数值通常都代表有实际意义的数量，比如速度、时间、路程、面积等，这类量的取值都为正数，即$x＞0$，$y＞0$，因此函数图象上所有点的横、纵坐标都为正，对应的图象一般仅位于第一象限。
问题2：建立反比例函数模型解决实际问题的一般过程如下：
1. 审题：分析实际问题中的已知量和未知量，确定两个变量之间的等量关系；
2. 建模：根据两个变量的乘积为定值的反比例关系，列出反比例函数解析式，同时结合实际意义确定自变量的取值范围；
3. 求解：利用反比例函数的图象与性质，代入相关数值计算得到结果；
4. 核验：验证所得结果是否符合实际问题的要求，最终得到合理的实际问题结论。
问题1：实际问题中的反比例函数的图象一般位于第一象限。
原因：实际问题里的自变量和对应的函数值通常都代表有实际意义的数量，比如速度、时间、路程、面积等，这类量的取值都为正数，即$x＞0$，$y＞0$，因此函数图象上所有点的横、纵坐标都为正，对应的图象一般仅位于第一象限。
问题2：建立反比例函数模型解决实际问题的一般过程如下：
1. 审题：分析实际问题中的已知量和未知量，确定两个变量之间的等量关系；
2. 建模：根据两个变量的乘积为定值的反比例关系，列出反比例函数解析式，同时结合实际意义确定自变量的取值范围；
3. 求解：利用反比例函数的图象与性质，代入相关数值计算得到结果；
4. 核验：验证所得结果是否符合实际问题的要求，最终得到合理的实际问题结论。
解析
【分析】
问题1的思考路径：先回忆普通反比例函数的图象分布规律，再结合实际问题的特有属性——实际问题中的自变量和函数值都对应具有实际意义的量（如路程、速度、长度等），这类量的取值通常为正数，由此即可推导图象所在象限。问题2的思考路径：遵循解决实际应用问题的通用逻辑，结合反比例函数“两个变量乘积为定值”的核心特点梳理步骤，需注意额外考虑实际情境对自变量取值的限制，最后还要验证结果是否符合实际要求。
【解析】
问题1解答：
实际问题中的反比例函数的图象一般位于第一象限。
原因：实际问题里的自变量和对应的函数值通常都代表有实际意义的数量，比如速度、时间、路程、面积等，这类量的取值都为正数，即$x＞0$，$y＞0$，因此函数图象上所有点的横、纵坐标都为正，对应的图象一般仅位于第一象限。
问题2解答：
建立反比例函数模型解决实际问题的一般过程如下：
1. 审题：分析实际问题中的已知量和未知量，确定两个变量之间的等量关系；
2. 建模：根据两个变量的乘积为定值的反比例关系，列出反比例函数解析式，同时结合实际意义确定自变量的取值范围；
3. 求解：利用反比例函数的图象与性质，代入相关数值计算得到结果；
4. 核验：验证所得结果是否符合实际问题的要求，最终得到合理的实际问题结论。
【答案】
问题1：实际问题中的反比例函数的图象一般位于第一象限。原因：实际问题里的自变量和对应的函数值通常都代表有实际意义的数量，比如速度、时间、路程、面积等，这类量的取值都为正数，即$x＞0$，$y＞0$，因此函数图象上所有点的横、纵坐标都为正，对应的图象一般仅位于第一象限。
问题2：建立反比例函数模型解决实际问题的一般过程如下：1. 审题：分析实际问题中的已知量和未知量，确定两个变量之间的等量关系；2. 建模：根据两个变量的乘积为定值的反比例关系，列出反比例函数解析式，同时结合实际意义确定自变量的取值范围；3. 求解：利用反比例函数的图象与性质，代入相关数值计算得到结果；4. 核验：验证所得结果是否符合实际问题的要求，最终得到合理的实际问题结论。
【知识点】
反比例函数的图象、自变量取值范围、反比例函数建模
【点评】
本题是反比例函数应用板块的基础概念题，既考查对反比例函数基础性质的掌握，也引导学习者建立数学知识结合实际情境思考的意识，是后续解决复杂反比例函数实际应用题的铺垫。
【难度系数】
0.8
问题1的思考路径：先回忆普通反比例函数的图象分布规律，再结合实际问题的特有属性——实际问题中的自变量和函数值都对应具有实际意义的量（如路程、速度、长度等），这类量的取值通常为正数，由此即可推导图象所在象限。问题2的思考路径：遵循解决实际应用问题的通用逻辑，结合反比例函数“两个变量乘积为定值”的核心特点梳理步骤，需注意额外考虑实际情境对自变量取值的限制，最后还要验证结果是否符合实际要求。
【解析】
问题1解答：
实际问题中的反比例函数的图象一般位于第一象限。
原因：实际问题里的自变量和对应的函数值通常都代表有实际意义的数量，比如速度、时间、路程、面积等，这类量的取值都为正数，即$x＞0$，$y＞0$，因此函数图象上所有点的横、纵坐标都为正，对应的图象一般仅位于第一象限。
问题2解答：
建立反比例函数模型解决实际问题的一般过程如下：
1. 审题：分析实际问题中的已知量和未知量，确定两个变量之间的等量关系；
2. 建模：根据两个变量的乘积为定值的反比例关系，列出反比例函数解析式，同时结合实际意义确定自变量的取值范围；
3. 求解：利用反比例函数的图象与性质，代入相关数值计算得到结果；
4. 核验：验证所得结果是否符合实际问题的要求，最终得到合理的实际问题结论。
【答案】
问题1：实际问题中的反比例函数的图象一般位于第一象限。原因：实际问题里的自变量和对应的函数值通常都代表有实际意义的数量，比如速度、时间、路程、面积等，这类量的取值都为正数，即$x＞0$，$y＞0$，因此函数图象上所有点的横、纵坐标都为正，对应的图象一般仅位于第一象限。
问题2：建立反比例函数模型解决实际问题的一般过程如下：1. 审题：分析实际问题中的已知量和未知量，确定两个变量之间的等量关系；2. 建模：根据两个变量的乘积为定值的反比例关系，列出反比例函数解析式，同时结合实际意义确定自变量的取值范围；3. 求解：利用反比例函数的图象与性质，代入相关数值计算得到结果；4. 核验：验证所得结果是否符合实际问题的要求，最终得到合理的实际问题结论。
【知识点】
反比例函数的图象、自变量取值范围、反比例函数建模
【点评】
本题是反比例函数应用板块的基础概念题，既考查对反比例函数基础性质的掌握，也引导学习者建立数学知识结合实际情境思考的意识，是后续解决复杂反比例函数实际应用题的铺垫。
【难度系数】
0.8
【典型例题】某工程队接到一项挖水渠工程,所需天数$y$是每天完成的工程量$x$(单位:m)的反比例函数,且当$x=24$时,$y=50$.
(1)求$y$关于$x$的函数解析式,并写出$x$的取值范围.
(2)已知该工程队的1台挖掘机平均1天挖水渠15 m.若要求该工程队恰好10天完成此项工程,则需要几台这样的挖掘机?
【解】(1)设$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$.
把$x=24,y=50$代入$y=\frac{k}{x}$,得$50=\frac{k}{24}$.
解得$k=1200$.
因此,$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{1200}{x}(x＞0)$.
(2)把$y=10$代入$y=\frac{1200}{x}$,得$10=\frac{1200}{x}$.解得$x=120$.
$\because 120÷15=8$,
$\therefore$需要8台这样的挖掘机.
规律方法 要找准实际问题中的基本数量关系.
(1)求$y$关于$x$的函数解析式,并写出$x$的取值范围.
(2)已知该工程队的1台挖掘机平均1天挖水渠15 m.若要求该工程队恰好10天完成此项工程,则需要几台这样的挖掘机?
【解】(1)设$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$.
把$x=24,y=50$代入$y=\frac{k}{x}$,得$50=\frac{k}{24}$.
解得$k=1200$.
因此,$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{1200}{x}(x＞0)$.
(2)把$y=10$代入$y=\frac{1200}{x}$,得$10=\frac{1200}{x}$.解得$x=120$.
$\because 120÷15=8$,
$\therefore$需要8台这样的挖掘机.
规律方法 要找准实际问题中的基本数量关系.
答案
解：
(1) 设$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠ 0)$。
将$x=24$，$y=50$代入解析式，得
$50=\frac{k}{24}$，
解得$k=1200$。
所以$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{1200}{x}$，
$x$的取值范围是$x＞0$。
(2) 将$y=10$代入$y=\frac{1200}{x}$，得
$10=\frac{1200}{x}$，
解得$x=120$。
$120÷15=8$。
答：(1) $y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{1200}{x}(x＞0)$；(2) 需要8台这样的挖掘机。
(1) 设$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠ 0)$。
将$x=24$，$y=50$代入解析式，得
$50=\frac{k}{24}$，
解得$k=1200$。
所以$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{1200}{x}$，
$x$的取值范围是$x＞0$。
(2) 将$y=10$代入$y=\frac{1200}{x}$，得
$10=\frac{1200}{x}$，
解得$x=120$。
$120÷15=8$。
答：(1) $y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{1200}{x}(x＞0)$；(2) 需要8台这样的挖掘机。
解析
【分析】
(1) 题目明确说明所需天数y是每天完成工程量x的反比例函数，因此首先设反比例函数的一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，再将已知的x=24、y=50代入解析式，即可求出未知系数k；结合实际意义，每天完成的工程量x为正数，可直接确定x的取值范围。
(2) 要求10天完成工程所需的挖掘机台数，首先将y=10代入第一问求出的函数解析式，算出每天需要完成的总工程量x，再用总工程量除以每台挖掘机每天的工作量15m，即可得到需要的挖掘机数量。
【解析】
(1) 设$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠ 0)$。
将$x=24$，$y=50$代入解析式，得
$50=\frac{k}{24}$，
解得$k=1200$。
所以$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{1200}{x}$，结合实际意义，x为每天完成的工程量，因此$x$的取值范围是$x＞0$。
(2) 若要10天完成此项工程，即$y=10$，将$y=10$代入$y=\frac{1200}{x}$，得
$10=\frac{1200}{x}$，
解得$x=120$，即每天需要完成120m的工程量。
已知1台挖掘机平均1天挖15m，因此需要的挖掘机数量为$120÷15=8$（台）。
【答案】
(1) $y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{1200}{x}(x＞0)$；(2) 需要8台这样的挖掘机。
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 反比例函数的实际应用
【点评】
本题是反比例函数在工程问题中的基础应用，解题核心是熟练运用待定系数法求解反比例函数解析式，同时要注意结合实际问题确定自变量的取值范围，计算所需设备数量时理清数量关系即可，整体解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
(1) 题目明确说明所需天数y是每天完成工程量x的反比例函数，因此首先设反比例函数的一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，再将已知的x=24、y=50代入解析式，即可求出未知系数k；结合实际意义，每天完成的工程量x为正数，可直接确定x的取值范围。
(2) 要求10天完成工程所需的挖掘机台数，首先将y=10代入第一问求出的函数解析式，算出每天需要完成的总工程量x，再用总工程量除以每台挖掘机每天的工作量15m，即可得到需要的挖掘机数量。
【解析】
(1) 设$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠ 0)$。
将$x=24$，$y=50$代入解析式，得
$50=\frac{k}{24}$，
解得$k=1200$。
所以$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{1200}{x}$，结合实际意义，x为每天完成的工程量，因此$x$的取值范围是$x＞0$。
(2) 若要10天完成此项工程，即$y=10$，将$y=10$代入$y=\frac{1200}{x}$，得
$10=\frac{1200}{x}$，
解得$x=120$，即每天需要完成120m的工程量。
已知1台挖掘机平均1天挖15m，因此需要的挖掘机数量为$120÷15=8$（台）。
【答案】
(1) $y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{1200}{x}(x＞0)$；(2) 需要8台这样的挖掘机。
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 反比例函数的实际应用
【点评】
本题是反比例函数在工程问题中的基础应用，解题核心是熟练运用待定系数法求解反比例函数解析式，同时要注意结合实际问题确定自变量的取值范围，计算所需设备数量时理清数量关系即可，整体解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
某蓄水池的排水管每小时排水8 m³，只
用该排水管排水，6 h可将满池水排空。
(1)求这个蓄水池的容积。
(2)如果增加排水管，使每小时的排水量达到Q(单位：m³)，那么将满池水排空所需的时间t(单位：h)将如何变化？直接写出t关于Q的函数解析式。
(3)如果准备在5 h内将满池水排空，那么每小时的排水量至少是多少？
用该排水管排水，6 h可将满池水排空。
(1)求这个蓄水池的容积。
(2)如果增加排水管，使每小时的排水量达到Q(单位：m³)，那么将满池水排空所需的时间t(单位：h)将如何变化？直接写出t关于Q的函数解析式。
(3)如果准备在5 h内将满池水排空，那么每小时的排水量至少是多少？
答案
(1)8×6=48(m³).
故这个蓄水池的容积为 48 m³.
(2)t 随Q 的增大而减小.
t 关于Q 的函数解析式为 $t=\frac{48}{Q}$.
(3)把 $t=5$ 代入 $t=\frac{48}{Q}$,得 $5=\frac{48}{Q}$.
解得 $Q=9.6$.
故每小时的排水量至少是 $9.6\ \mathrm{m}^3$.
故这个蓄水池的容积为 48 m³.
(2)t 随Q 的增大而减小.
t 关于Q 的函数解析式为 $t=\frac{48}{Q}$.
(3)把 $t=5$ 代入 $t=\frac{48}{Q}$,得 $5=\frac{48}{Q}$.
解得 $Q=9.6$.
故每小时的排水量至少是 $9.6\ \mathrm{m}^3$.
解析
【分析】
解题思路可分三步推进：
1. 第(1)问：蓄水池容积就是满池水的总水量，根据“总水量=每小时排水量×排水时间”，直接代入已知的排水效率和排水时间计算即可。
2. 第(2)问：总水量固定时，每小时排水量Q越大，排空池水的时间t越短，二者成反比例关系，结合总水量为48m³即可写出t关于Q的函数解析式，注意Q的实际取值为正数。
3. 第(3)问：要求5小时内排空，即t≤5，由于t随Q增大而减小，只需计算t=5时对应的Q值，即为每小时的最小排水量，代入函数解析式求解即可。
【解析】
(1) 已知排水管每小时排水$8\ \mathrm{m}^3$，6h可排空满池水，根据总水量=排水效率×排水时间，可得蓄水池容积为：
$8×6=48\ \mathrm{m}^3$
(2) 总水量固定为$48\ \mathrm{m}^3$，每小时排水量Q越大，排空时间t越短，即t随Q的增大而减小。
根据总水量公式可得$Q· t=48$，变形得到t关于Q的函数解析式为：
$t=\frac{48}{Q}\ (Q＞0)$
(3) 若要在5h内排空满池水，将$t=5$代入$t=\frac{48}{Q}$，得：
$5=\frac{48}{Q}$
解得$Q=9.6$
由于t随Q增大而减小，因此每小时排水量至少为$9.6\ \mathrm{m}^3$时，可在5h内排空满池水。
【答案】
(1) 这个蓄水池的容积为$48\ \mathrm{m}^3$；
(2) t随Q的增大而减小，t关于Q的函数解析式为$t=\frac{48}{Q}\ (Q＞0)$；
(3) 每小时的排水量至少是$9.6\ \mathrm{m}^3$。
【知识点】
1. 反比例函数实际应用
2. 反比例函数性质
3. 函数代入求值
【点评】
本题结合生活中的排水场景出题，核心是抓住“总水量不变”的隐含条件，判断排水量和排水时间的反比例关系，掌握反比例函数的基本性质和代入求值方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题思路可分三步推进：
1. 第(1)问：蓄水池容积就是满池水的总水量，根据“总水量=每小时排水量×排水时间”，直接代入已知的排水效率和排水时间计算即可。
2. 第(2)问：总水量固定时，每小时排水量Q越大，排空池水的时间t越短，二者成反比例关系，结合总水量为48m³即可写出t关于Q的函数解析式，注意Q的实际取值为正数。
3. 第(3)问：要求5小时内排空，即t≤5，由于t随Q增大而减小，只需计算t=5时对应的Q值，即为每小时的最小排水量，代入函数解析式求解即可。
【解析】
(1) 已知排水管每小时排水$8\ \mathrm{m}^3$，6h可排空满池水，根据总水量=排水效率×排水时间，可得蓄水池容积为：
$8×6=48\ \mathrm{m}^3$
(2) 总水量固定为$48\ \mathrm{m}^3$，每小时排水量Q越大，排空时间t越短，即t随Q的增大而减小。
根据总水量公式可得$Q· t=48$，变形得到t关于Q的函数解析式为：
$t=\frac{48}{Q}\ (Q＞0)$
(3) 若要在5h内排空满池水，将$t=5$代入$t=\frac{48}{Q}$，得：
$5=\frac{48}{Q}$
解得$Q=9.6$
由于t随Q增大而减小，因此每小时排水量至少为$9.6\ \mathrm{m}^3$时，可在5h内排空满池水。
【答案】
(1) 这个蓄水池的容积为$48\ \mathrm{m}^3$；
(2) t随Q的增大而减小，t关于Q的函数解析式为$t=\frac{48}{Q}\ (Q＞0)$；
(3) 每小时的排水量至少是$9.6\ \mathrm{m}^3$。
【知识点】
1. 反比例函数实际应用
2. 反比例函数性质
3. 函数代入求值
【点评】
本题结合生活中的排水场景出题，核心是抓住“总水量不变”的隐含条件，判断排水量和排水时间的反比例关系，掌握反比例函数的基本性质和代入求值方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
