1.如图，四边形ABCD与四边形EBCF关于边BC所在的直线对称，若EF // BC，∠ABE=110°，则∠E的度数为

（）

A.$100°$
B.$120°$
C.$125°$
D.$135°$

1.C 【解析】由四边形ABCD与四边形EBCF关于边BC所在的直线对称,得$∠ ABC=∠ CBE=\frac{1}{2}×110°=55°$. 因为$EF// BC$,所以$∠ CBE+∠ E=180°$,所以$∠ E=125°$.

【典型例题2】如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB$的平分线与$AB$的垂直平分线$DM$交于点$D$，$DE⊥ AC$于点$E$，$DF⊥ BC$交$CB$的延长线于点$F$。
(1)求证:$AE=BF$；
(2)若$AC=24$，$BC=10$，求$AE$的长。
(1)【证明】如图所示，连接$AD$。因为$DM$垂直平分线段$AB$，所以$DA=DB$。
因为$CD$平分$∠ ACB$，$DE⊥ AC$，$DF⊥ BC$，所以$DE=DF$，$∠ DEA=∠ DFB=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ DEA$和$\mathrm{Rt}△ DFB$中，
$\begin{cases} DA=DB, \\ DE=DF, \end{cases}$
所以$\mathrm{Rt}△ DEA≌\mathrm{Rt}△ DFB(\mathrm{HL})$，
所以$AE=BF$。
(2)【解】在$\mathrm{Rt}△ CDE$与$\mathrm{Rt}△ CDF$中，
$\begin{cases} CD=CD, \\ DE=DF, \end{cases}$
所以$\mathrm{Rt}△ CDE≌\mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL})$，
所以$CE=CF$，所以$AC - AE = BC + BF$，所以$24 - AE = 10 + AE$，所以$AE=7$。


规律方法 遇到角平分线常需要向角的两边作垂线，构造出性质定理的基本图形，方便应用性质定理解决有关线段相等的问题。同样遇到线段的垂直平分线，也应想到连接它上面的关键点与线段两端点，进而应用线段垂直平分线的性质解决问题。

(1) 证明：
连接AD。
∵ DM垂直平分线段AB，
∴ DA = DB。
∵ CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴ DE = DF，∠DEA = ∠DFB = 90°。
在Rt△DEA和Rt△DFB中，
$\begin{cases}DA = DB, \\DE = DF,\end{cases}$
∴ Rt△DEA≌Rt△DFB(HL)，
∴ AE = BF。
(2) 解：
在Rt△CDE与Rt△CDF中，
$\begin{cases}CD = CD, \\DE = DF,\end{cases}$
∴ Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，
∴ CE = CF。
∵ CE = AC - AE，CF = BC + BF，且由(1)知AE = BF，
∴ AC - AE = BC + AE，
将AC=24，BC=10代入得：$24 - AE = 10 + AE$，
解得$AE = 7$。

2. 如图,在$△ ABC$中,$AB＞AC$.
(1)尺规作图:作点$D$,使得点$D$在$∠ BAC$的平分线上,且$DB=DC$;
(不写作法,保留作图痕迹)
(2)若$∠ BDC=102°$,则$∠ DBC=$°.

2.(1)【解】如图,点D即为所求。
(2)39 【解析】$∠ DBC=(180°-102°)÷2=39°$.

【典型例题 3】如图，已知$△ ABC$.

（1）画出$△ A_{1}B_{1}C_{1}$，使$△ A_{1}B_{1}C_{1}$和$△ ABC$关于直线$MN$成轴对称.
（2）画出$△ A_{2}B_{2}C_{2}$，使$△ A_{2}B_{2}C_{2}$和$△ ABC$关于直线$PQ$成轴对称.
（3）$△ A_{1}B_{1}C_{1}$与$△ A_{2}B_{2}C_{2}$成轴对称吗？若成，请在图上画出对称轴；若不成，请说明理由.
【解】(1)(2)所画图形如图所示.

（3）$△ A_{1}B_{1}C_{1}$与$△ A_{2}B_{2}C_{2}$不成轴对称，因为找不到使$△ A_{1}B_{1}C_{1}$与$△ A_{2}B_{2}C_{2}$对称的对称轴.

规律方法 1. 画轴对称的图形时取特殊点的一般方法：线段取端点，多边形取顶点，复杂图形找全关键点.
2. 画轴对称的图形的“三步骤”：确定特殊点，画特殊点的对称点，顺次连接对称点.
3. 画图时一定要牢记：对应点所连的线段被对称轴垂直平分.

解：
（1）分别作出点A、B、C关于直线MN的对称点$A_1$、$B_1$、$C_1$，再顺次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，得到的$△ A_1B_1C_1$即为所求。
（2）分别作出点A、B、C关于直线PQ的对称点$A_2$、$B_2$、$C_2$，再顺次连接$A_2B_2$、$B_2C_2$、$C_2A_2$，得到的$△ A_2B_2C_2$即为所求。
（3）$△ A_1B_1C_1$与$△ A_2B_2C_2$不成轴对称。
理由：不存在一条直线，使得$△ A_1B_1C_1$沿这条直线折叠后可以与$△ A_2B_2C_2$完全重合，找不到能使这两个三角形成轴对称的对称轴，因此二者不成轴对称。