登录
问题 在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AC = 3$,$BC = 4$,若以$C$为圆心、$r为半径的圆与斜边AB$只有一个公共点,求$r$的值。
名师指导
当$\odot C与AB$相切时,只有一个交点；同时要注意$AB$是线段,当圆的半径$r$在一定范围内时,$AB与\odot C$相交且只有一个交点。
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
解：
名师指导
当$\odot C与AB$相切时,只有一个交点；同时要注意$AB$是线段,当圆的半径$r$在一定范围内时,$AB与\odot C$相交且只有一个交点。
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
解：
答案
1. 计算斜边AB长度：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90°$，$AC=3$，$BC=4$，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
2. 当$\odot C$与AB相切时：半径$r$等于点C到AB的距离（斜边上的高）。由面积法，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot r$，即$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× r$，解得$r=\frac{12}{5}$。
3. 当$\odot C$与线段AB相交且只有一个公共点时：需满足点A在圆内且点B在圆外（或点B在圆内且点A在圆外）。因$AC=3$，$BC=4$，则$AC＜BC$，故$AC＜r＜BC$，即$3＜r＜4$。
综上，$r$的值为$\frac{12}{5}$或$3＜r＜4$。
2. 当$\odot C$与AB相切时：半径$r$等于点C到AB的距离（斜边上的高）。由面积法，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot r$，即$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× r$，解得$r=\frac{12}{5}$。
3. 当$\odot C$与线段AB相交且只有一个公共点时：需满足点A在圆内且点B在圆外（或点B在圆内且点A在圆外）。因$AC=3$，$BC=4$，则$AC＜BC$，故$AC＜r＜BC$，即$3＜r＜4$。
综上，$r$的值为$\frac{12}{5}$或$3＜r＜4$。
1. 如图,$\odot O的半径为3$,圆心$O到一条直线的距离为3$,则这条直线可能是( )
A.$l_{1}$
B.$l_{2}$
C.$l_{3}$
D.$l_{4}$
A.$l_{1}$
B.$l_{2}$
C.$l_{3}$
D.$l_{4}$
答案
B
解析
解：因为圆的半径为$3$，圆心到直线的距离为$3$，所以直线与圆相切。观察图形，直线$l_2$与$\odot O$相切，故这条直线可能是$l_2$。
B
B
2. 如图,$\odot O的半径OC = 5cm$,直线$l\perp OC$,垂足为$H$,且$l交\odot O于A$,$B$两点,$AB = 8cm$,则$l沿OC所在直线平移后与\odot O$相切,则平移的距离是( )
A.$1cm$
B.$2cm$
C.$8cm$
D.$2cm或8cm$
A.$1cm$
B.$2cm$
C.$8cm$
D.$2cm或8cm$
答案
D
3. 已知$\odot O和点A$,$B$,若$OA = OB = 2cm$,$\odot O半径为1cm$。当$\angle AOB = $______时,直线$AB与\odot O$相切；当$\angle AOB$______时,直线$AB与\odot O$相交；当$\angle AOB$______时,直线$AB与\odot O$相离。
答案
$120°$；$＞120°$；$＜120°$
解析
$120°$；$＞120°$；$＜120°$
4. 如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图,凹槽$ABCD$是矩形。当餐盘正立且紧靠支架于点$A$,$D$时,恰好与$BC$边相切,则此餐盘的半径等于______$cm$。
答案
10
解析
解：设圆形餐盘的圆心为$O$，半径为$r\,cm$。连接$OA$，$OD$，过点$O$作$OE \perp BC$于点$E$，交$AD$于点$F$。
因为$ABCD$是矩形，所以$AD = BC = 16\,cm$，$AB = CD = 4\,cm$，且$AD // BC$，$OE \perp BC$，则$OF \perp AD$。
因为餐盘与$BC$相切，所以$OE = r$。又因为$AB = 4\,cm$，所以$OF = OE - EF = r - 4$。
由于$AD$是矩形的边，点$A$、$D$在圆上，所以$OA = OD = r$，$OF$垂直平分$AD$，则$AF = \frac{AD}{2} = 8\,cm$。
在$Rt\triangle AOF$中，由勾股定理得：$OA^2 = AF^2 + OF^2$，即$r^2 = 8^2 + (r - 4)^2$。
展开得：$r^2 = 64 + r^2 - 8r + 16$，化简得：$8r = 80$，解得$r = 10$。
$10$
因为$ABCD$是矩形，所以$AD = BC = 16\,cm$，$AB = CD = 4\,cm$，且$AD // BC$，$OE \perp BC$，则$OF \perp AD$。
因为餐盘与$BC$相切，所以$OE = r$。又因为$AB = 4\,cm$，所以$OF = OE - EF = r - 4$。
由于$AD$是矩形的边，点$A$、$D$在圆上，所以$OA = OD = r$，$OF$垂直平分$AD$，则$AF = \frac{AD}{2} = 8\,cm$。
在$Rt\triangle AOF$中，由勾股定理得：$OA^2 = AF^2 + OF^2$，即$r^2 = 8^2 + (r - 4)^2$。
展开得：$r^2 = 64 + r^2 - 8r + 16$，化简得：$8r = 80$，解得$r = 10$。
$10$
5. 如图,直线$AB$,$CD相交于点O$,$\angle AOC = 30^{\circ}$,半径为$1cm的\odot P的圆心在直线AB$上,开始时$PO = 6cm$,如果$\odot P以1cm/s的速度由A向B$的方向移动,当移动时间$t$满足______时,$\odot P与直线CD$相交。
答案
$4＜t＜8$
解析
解：过点$P$作$PE \perp CD$于点$E$，则$PE = PO \cdot \sin\angle AOC$。
$\because \angle AOC = 30°$，$\odot P$半径为$1\,cm$，
$\therefore PE = PO \cdot \sin 30°=\frac{1}{2}PO$。
$\odot P$与直线$CD$相交时，$PE ＜ 1$，即$\frac{1}{2}PO ＜ 1$，$\therefore PO ＜ 2$。
初始$PO = 6\,cm$，$\odot P$沿$AB$移动，速度$1\,cm/s$。
当点$P$在点$O$左侧时，移动距离$6 - t ＜ 2$，解得$t ＞ 4$；
当点$P$在点$O$右侧时，移动距离$t - 6 ＜ 2$，解得$t ＜ 8$。
综上，$4 ＜ t ＜ 8$。
$4 ＜ t ＜ 8$
$\because \angle AOC = 30°$，$\odot P$半径为$1\,cm$，
$\therefore PE = PO \cdot \sin 30°=\frac{1}{2}PO$。
$\odot P$与直线$CD$相交时，$PE ＜ 1$，即$\frac{1}{2}PO ＜ 1$，$\therefore PO ＜ 2$。
初始$PO = 6\,cm$，$\odot P$沿$AB$移动，速度$1\,cm/s$。
当点$P$在点$O$左侧时，移动距离$6 - t ＜ 2$，解得$t ＞ 4$；
当点$P$在点$O$右侧时，移动距离$t - 6 ＜ 2$，解得$t ＜ 8$。
综上，$4 ＜ t ＜ 8$。
$4 ＜ t ＜ 8$
