10. 若正比例函数 $ y = (a - 1)x^{a^2 - 3} $ 的图象经过点 $ (-2, b^2 + 5) $,求 $ a $,$ b $ 的值。

1. 由正比例函数定义知：$a^2 - 3 = 1$且$a - 1 \neq 0$
解方程$a^2 - 3 = 1$，得$a^2 = 4$，$a = \pm 2$
由$a - 1 \neq 0$，得$a \neq 1$，故$a = 2$或$a = -2$
2. 函数图象过点$(-2, b^2 + 5)$，代入得：$b^2 + 5 = (a - 1)(-2)^{a^2 - 3}$
因$a^2 - 3 = 1$，则$(-2)^{a^2 - 3} = -2$，等式化为$b^2 + 5 = -2(a - 1)$
3. 当$a = 2$时：$b^2 + 5 = -2(2 - 1) = -2$，$b^2 = -7$，无解，舍去
4. 当$a = -2$时：$b^2 + 5 = -2(-2 - 1) = 6$，$b^2 = 1$，$b = \pm 1$
结论：$a = -2$，$b = \pm 1$

11. 将 $ 2 × 2 $ 的正方形网格如图放置在平面直角坐标系中,每个小正方形的顶点称为格点,每个小正方形的边长都是 1,正方形 $ ABCD $ 的顶点都在格点上。若直线 $ y = kx (k \neq 0) $ 与正方形 $ ABCD $ 有公共点,则 $ k $ 的取值范围是。

1/2 ≤ k ≤ 2

由图可知正方形ABCD顶点坐标：A(1,2)，B(1,1)，C(2,1)，D(2,2)。直线y=kx过原点，与正方形有公共点需经过或穿过正方形区域。当直线过点A(1,2)时，k=2；过点C(2,1)时，k=1/2。故k的取值范围是1/2 ≤ k ≤ 2。

12. 如图,在平面直角坐标系中,点 $ A $ 的坐标为 $ (1, 0) $,在直线 $ y = \dfrac{\sqrt{3}}{3}x $ 上取点 $ P $,使 $ \triangle OPA $ 是等腰三角形,则所有满足条件的点 $ P $ 的坐标为。

$(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$，$(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$，$(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2})$，$(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{6})$

设点$P$的坐标为$(x,\frac{\sqrt{3}}{3}x)$，
当$OA=OP$时，
$\because OA = 1$，$\therefore OP = 1$，
即$x^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{3}x)^{2}=1$，
解得$x_{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$x_{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，
当$x=\frac{\sqrt{3}}{2}$时，$y = \frac{1}{2}$，当$x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$时，$y=-\frac{1}{2}$，
此时$P_{1}(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$，$P_{2}(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2})$；
当$OA=AP$时，
$\because A(1,0)$，$\therefore AP = 1$，
即$(x - 1)^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{3}x)^{2}=1$，
解得$x_{1}=0$（舍去），$x_{2}=\frac{3}{2}$，
当$x=\frac{3}{2}$时，$y=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
此时$P_{3}(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$；
当$OP = AP$时，
$x^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{3}x)^{2}=(x - 1)^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{3}x)^{2}$，
解得$x=\frac{1}{2}$，
当$x=\frac{1}{2}$时，$y=\frac{\sqrt{3}}{6}$，
此时$P_{4}(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{6})$。

13. 如图,正比例函数 $ y = kx $ 的图象经过点 $ A $,点 $ A $ 在第四象限,过点 $ A $ 作 $ AH \perp x $ 轴,垂足为点 $ H $,点 $ A $ 的横坐标为 3,且 $ \triangle AOH $ 的面积为 3。
(1)求正比例函数的表达式；
(2)在 $ x $ 轴上能否找到一点 $ P $,使 $ \triangle AOP $ 的面积为 5？若能,求点 $ P $ 的坐标；若不能,请说明理由。

(1)∵点A横坐标为3，设A(3,y)，A在第四象限，∴y＜0。
∵AH⊥x轴，H(3,0)，OH=3，AH=|y|。
△AOH面积=1/2×OH×AH=3，即1/2×3×|y|=3，解得|y|=2，∴y=-2（y＜0）。
∴A(3,-2)，代入y=kx得-2=3k，k=-2/3。
∴正比例函数表达式为y=-2/3 x。
(2)能。设P(p,0)，△AOP面积=5。
A到x轴距离为|-2|=2，OP=|p|。
面积=1/2×|p|×2=|p|=5，∴|p|=5，p=±5。
∴P(5,0)或(-5,0)。