例3 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+2x + k + 1 = 0$ 的两根 $x_{1},x_{2}$ 满足 $x_{1}+x_{2}-x_{1}x_{2} ＜ -1$, 则 $k$ 的取值范围是 (
A.$k ＞ -2$
B.$k ＞ 2$
C.$-2 ＜ k \leq 0$
D.$0 \leq k ＜ 2$
C
)A.$k ＞ -2$
B.$k ＞ 2$
C.$-2 ＜ k \leq 0$
D.$0 \leq k ＜ 2$
答案
C
解析
对于方程$x^{2}+2x + k + 1 = 0$，$a=1$，$b=2$，$c=k+1$。由韦达定理得$x_{1}+x_{2}=-2$，$x_{1}x_{2}=k+1$。代入$x_{1}+x_{2}-x_{1}x_{2}＜ -1$，得$-2-(k+1)＜ -1$，化简得$-k-3＜ -1$，解得$k＞ -2$。又因方程有两根，判别式$\Delta = 2^{2}-4×1×(k+1)=-4k≥0$，解得$k≤0$。综上，$-2＜k≤0$。
3. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}-(2m - 1)x + m^{2}=0$ 的两实数根为 $x_{1},x_{2}$, 若 $(x_{1}+1)(x_{2}+1)=3$, 则 $m$ 的值为
-3
.答案
-3
解析
由韦达定理得$x_1 + x_2 = 2m - 1$，$x_1x_2 = m^2$。
$\because (x_1 + 1)(x_2 + 1) = 3$，
$\therefore x_1x_2 + x_1 + x_2 + 1 = 3$，
代入得$m^2 + (2m - 1) + 1 = 3$，
化简得$m^2 + 2m - 3 = 0$，
解得$m = 1$或$m = -3$。
又$\Delta = (2m - 1)^2 - 4m^2 = -4m + 1 \geq 0$，
$\therefore m \leq \frac{1}{4}$，故$m = 1$舍去，$m = -3$。
$\because (x_1 + 1)(x_2 + 1) = 3$，
$\therefore x_1x_2 + x_1 + x_2 + 1 = 3$，
代入得$m^2 + (2m - 1) + 1 = 3$，
化简得$m^2 + 2m - 3 = 0$，
解得$m = 1$或$m = -3$。
又$\Delta = (2m - 1)^2 - 4m^2 = -4m + 1 \geq 0$，
$\therefore m \leq \frac{1}{4}$，故$m = 1$舍去，$m = -3$。
例4 甲型流感是一种传染性极强的急性呼吸道传染病, 其早期症状包括发热、咳嗽、喉痛、身体疼痛、头痛、畏寒和浑身乏力等. 在 “甲流” 初期, 有 1 人感染了 “甲流病毒”, 若未得到有效控制, 经过两轮传染后共有 225 人感染了 “甲流病毒”. 设每轮传染中平均 1 人传染 $x$ 人, 则根据题意列出的方程是 (
【分析】
由表可得, 经过两轮传染后共计
可列方程为
A.$x + x(1 + x)=225$
B.$1 + x + x^{2}=225$
C.$(x + 1)^{2}=225$
D.$x(1 + x)=225$
C
)【分析】
由表可得, 经过两轮传染后共计
$(1 + x)^{2}$
人被感染.可列方程为
$(1 + x)^2 = 225$
.A.$x + x(1 + x)=225$
B.$1 + x + x^{2}=225$
C.$(x + 1)^{2}=225$
D.$x(1 + x)=225$
答案
C
$ (1 + x)^2 = 225 $。
$(1 + x)^{2}$
$(1 + x)^{2}$$ (1 + x)^2 = 225 $。
解析
设每轮传染中平均每人传染$ x $人，经过两轮传染后，感染人数计算如下：
初期：1人。
第一轮后：新增$1 × x = x$人，总共感染$1 + x$人。
第二轮后：新增$ (1 + x) × x$人，总共感染$1 + x + (1 + x) × x = (1 + x)^2 $人。
经过两轮传染后，共有225人感染，因此方程为：
$ (1 + x)^2 = 225 $。
初期：1人。
第一轮后：新增$1 × x = x$人，总共感染$1 + x$人。
第二轮后：新增$ (1 + x) × x$人，总共感染$1 + x + (1 + x) × x = (1 + x)^2 $人。
经过两轮传染后，共有225人感染，因此方程为：
$ (1 + x)^2 = 225 $。
4. 随着 “博物馆热” 的持续升温, 越来越多的人走进博物馆, 了解历史文化. 某博物馆今年 3 月份共计接待游客 10 万人, 5 月份接待游客增加到了 14.4 万人.
(1) 求该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率;
(2) 若 6 月份继续保持相同的增长率, 则该博物馆 6 月份预计接待游客多少万人?
(1) 求该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率;
(2) 若 6 月份继续保持相同的增长率, 则该博物馆 6 月份预计接待游客多少万人?
答案
(1) $20\%$
(2) $17.28$
解析
(1) 设月平均增长率为 $x$，
根据题意得： $10(1 + x)^2 = 14.4$；
整理得： $(1 + x)^2 = 1.44$；
开平方得 $1 + x = \pm1.2$，
解得 $x_1 = 0.2$，即 $20\%$， $x_2 = -2.2$（舍去）；
所以月平均增长率为 $20\%$。
(2) 根据增长率计算6月份游客数：
$14.4 × (1 + 0.2) = 17.28$（万人）；
所以6月份预计接待游客 $17.28$ 万人。
1. (2025 河南,5) 一元二次方程 $x^{2}-2x = 0$ 的根的情况是 (
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
A
)A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
答案
A
解析
对于一元二次方程 $x^{2}-2x = 0$，其一般形式为 $ax^{2}+bx+c = 0$（$a\neq0$），这里 $a = 1$，$b = -2$，$c = 0$。
根据判别式 $\Delta=b^{2}-4ac$，可得 $\Delta=(-2)^{2}-4×1×0 = 4＞0$。
当 $\Delta＞0$ 时，一元二次方程有两个不相等的实数根。
根据判别式 $\Delta=b^{2}-4ac$，可得 $\Delta=(-2)^{2}-4×1×0 = 4＞0$。
当 $\Delta＞0$ 时，一元二次方程有两个不相等的实数根。
2. (2023 河南,7) 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+mx - 8 = 0$ 的根的情况是 (
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
A
)A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
答案
A
解析
对于一元二次方程 $x^{2}+mx - 8 = 0$，其中 $a = 1$，$b = m$，$c = -8$，根据判别式 $\Delta=b^{2}-4ac$，可得 $\Delta = m^{2}-4×1×(-8)=m^{2}+32$。因为任何数的平方都为非负数，所以 $m^{2}\geqslant0$，则 $m^{2}+32\gt0$，即 $\Delta\gt0$，所以方程有两个不相等的实数根。
3. (2025 北京) 若关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}+2x + 1 = 0$ 有两个相等的实数根, 则实数 $a$ 的值为 (
A.$-4$
B.$-1$
C.$1$
D.$4$
C
)A.$-4$
B.$-1$
C.$1$
D.$4$
答案
C
解析
关于$x$的一元二次方程$ax^{2} + 2x+1 = 0$有两个相等的实数根，所以该方程为一元二次方程则$a\neq0$且其判别式$\Delta = 0$。
对于一元二次方程$mx^{2}+nx + p = 0(m\neq0)$，其判别式$\Delta = n^{2}-4mp$，在方程$ax^{2} + 2x + 1 = 0$中，$m = a$，$n = 2$，$p = 1$，则$\Delta = 2^{2}-4a×1$。
由$\Delta = 0$可得$2^{2}-4a = 0$，即$4 - 4a = 0$，移项可得$4a = 4$，解得$a = 1$。
对于一元二次方程$mx^{2}+nx + p = 0(m\neq0)$，其判别式$\Delta = n^{2}-4mp$，在方程$ax^{2} + 2x + 1 = 0$中，$m = a$，$n = 2$，$p = 1$，则$\Delta = 2^{2}-4a×1$。
由$\Delta = 0$可得$2^{2}-4a = 0$，即$4 - 4a = 0$，移项可得$4a = 4$，解得$a = 1$。
4. (2025 黑龙江改编) 某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的 8 000 辆增加到三月份的 12 000 辆, 设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为 $x$, 则可列方程为 (
A.$8 000(1 + 2x)=1 200$
B.$8 000(1 + x)^{2}=12 000$
C.$8 000 + 8 000(1 + x)+8 000(1 + x)^{2}=12 000$
D.$8 000 × 2(1 + x)=12 000$
B
)A.$8 000(1 + 2x)=1 200$
B.$8 000(1 + x)^{2}=12 000$
C.$8 000 + 8 000(1 + x)+8 000(1 + x)^{2}=12 000$
D.$8 000 × 2(1 + x)=12 000$
答案
B
解析
一月份销售量为8000辆，平均每月增长率为x，则二月份销售量为8000(1+x)辆，三月份销售量为8000(1+x)(1+x)=8000(1+x)²辆。已知三月份销售量为12000辆，所以方程为8000(1+x)²=12000。
