4. 我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲。如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形。已知直角三角形的斜边长为 $ 13 $，一条直角边长为 $ 12 $，则小正方形 $ ABCD $ 的面积为
49
。答案
49
解析
解：在直角三角形中，斜边长为13，一条直角边长为12，根据勾股定理，另一条直角边长为：
$\sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$
小正方形的边长为两条直角边的差：$12 - 5 = 7$
小正方形的面积为：$7^2 = 49$
$\sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$
小正方形的边长为两条直角边的差：$12 - 5 = 7$
小正方形的面积为：$7^2 = 49$
三、等腰直角三角形
答案
32：直角
33：相等
34：$AC$
35：$45$
36：$\angle B$
37：$45$
38：高
39：$1$
40：直角
41：相等
42：$45$
43：$45$
44：直角
45：$BC^{2}$
46：$AC· BC$
47：$AB^{2}$
48：$\sqrt{2}$
49：$\sqrt{2}$
50：$\sqrt{2}$
33：相等
34：$AC$
35：$45$
36：$\angle B$
37：$45$
38：高
39：$1$
40：直角
41：相等
42：$45$
43：$45$
44：直角
45：$BC^{2}$
46：$AC· BC$
47：$AB^{2}$
48：$\sqrt{2}$
49：$\sqrt{2}$
50：$\sqrt{2}$
解析
5. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle B = 90° $，$ \angle A = 45° $。
(1) $ \triangle ABC $ 是
(2) 若 $ AC = 3\sqrt{2} $，则 $ AB = $
(1) $ \triangle ABC $ 是
等腰直角
三角形；(2) 若 $ AC = 3\sqrt{2} $，则 $ AB = $
3
，$ \triangle ABC $ 的面积为$\frac{9}{2}$
。答案
(1) 等腰直角
(2) 3；$\frac{9}{2}$
解析：
(1) 在$\triangle ABC$中，$\angle B = 90°$，$\angle A = 45°$，则$\angle C = 180° - 90° - 45° = 45°$，所以$\angle A = \angle C$，故$\triangle ABC$是等腰直角三角形。
(2) 设$AB = BC = x$，因为$\angle B = 90°$，根据勾股定理可得$AB^2 + BC^2 = AC^2$，即$x^2 + x^2 = (3\sqrt{2})^2$，$2x^2 = 18$，$x^2 = 9$，解得$x = 3$（$x ＞ 0$），所以$AB = 3$。$\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 3 × 3 = \frac{9}{2}$。
(2) 3；$\frac{9}{2}$
解析：
(1) 在$\triangle ABC$中，$\angle B = 90°$，$\angle A = 45°$，则$\angle C = 180° - 90° - 45° = 45°$，所以$\angle A = \angle C$，故$\triangle ABC$是等腰直角三角形。
(2) 设$AB = BC = x$，因为$\angle B = 90°$，根据勾股定理可得$AB^2 + BC^2 = AC^2$，即$x^2 + x^2 = (3\sqrt{2})^2$，$2x^2 = 18$，$x^2 = 9$，解得$x = 3$（$x ＞ 0$），所以$AB = 3$。$\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 3 × 3 = \frac{9}{2}$。
