4. 如图，$AC$，$BD$ 是四边形 $ABCD$ 的对角线，$E$，$F$，$G$，$H$ 分别是 $AB$，$BC$，$CD$，$AD$ 的中点。
(1) 求证：四边形 $EFGH$ 是平行四边形；
(2) 当 $AC$，$BD$ 满足条件：
(3) 当 $AC$，$BD$ 满足条件：
(4) 如果要使 $□ EFGH$ 是正方形，那么对角线 $AC$，$BD$ 需要满足条件：
(1) 求证：四边形 $EFGH$ 是平行四边形；
(2) 当 $AC$，$BD$ 满足条件：
AC⊥BD
时，$□ EFGH$ 是矩形，证明依据是有一个角是直角的平行四边形是矩形
；(3) 当 $AC$，$BD$ 满足条件：
AC=BD
时，$□ EFGH$ 是菱形，证明依据是一组邻边相等的平行四边形是菱形
；(4) 如果要使 $□ EFGH$ 是正方形，那么对角线 $AC$，$BD$ 需要满足条件：
AC=BD且AC⊥BD
。答案
(1)
在$\triangle ABC$中，
因为$E,F$分别是$AB,BC$中点，
根据三角形中位线定理得：
$EF// AC$，$EF = \frac{1}{2}AC$，
在$\triangle ADC$中，
因为$H,G$分别是$AD,CD$中点，
根据三角形中位线定理得：
$HG// AC$，$HG=\frac{1}{2}AC$，
所以$EF// HG$，$EF = HG$。
根据平行四边形判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
所以四边形$EFGH$是平行四边形。
(2)
当$AC⊥ BD$时，$□ EFGH$是矩形。
证明：
由(1)知$EF// AC$，$EH// BD$，
因为$AC⊥ BD$，
所以$EF⊥ EH$，
即$\angle HEF = 90^{\circ}$。
根据矩形判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，
所以$□ EFGH$是矩形。
(3)
当$AC = BD$时，$□ EFGH$是菱形。
证明：
在$\triangle ABD$中，
因为$E,H$分别是$AB,AD$中点，
根据三角形中位线定理得：
$EH=\frac{1}{2}BD$，
由(1)知$EF=\frac{1}{2}AC$，$HG = \frac{1}{2}AC$，
又因为$AC = BD$，
所以$EH=HG$。
根据菱形判定定理：一组邻边相等的平行四边形是菱形，
所以$□ EFGH$是菱形。
(4)
当$AC = BD$且$AC⊥ BD$时，$□ EFGH$是正方形。
在$\triangle ABC$中，
因为$E,F$分别是$AB,BC$中点，
根据三角形中位线定理得：
$EF// AC$，$EF = \frac{1}{2}AC$，
在$\triangle ADC$中，
因为$H,G$分别是$AD,CD$中点，
根据三角形中位线定理得：
$HG// AC$，$HG=\frac{1}{2}AC$，
所以$EF// HG$，$EF = HG$。
根据平行四边形判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
所以四边形$EFGH$是平行四边形。
(2)
当$AC⊥ BD$时，$□ EFGH$是矩形。
证明：
由(1)知$EF// AC$，$EH// BD$，
因为$AC⊥ BD$，
所以$EF⊥ EH$，
即$\angle HEF = 90^{\circ}$。
根据矩形判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，
所以$□ EFGH$是矩形。
(3)
当$AC = BD$时，$□ EFGH$是菱形。
证明：
在$\triangle ABD$中，
因为$E,H$分别是$AB,AD$中点，
根据三角形中位线定理得：
$EH=\frac{1}{2}BD$，
由(1)知$EF=\frac{1}{2}AC$，$HG = \frac{1}{2}AC$，
又因为$AC = BD$，
所以$EH=HG$。
根据菱形判定定理：一组邻边相等的平行四边形是菱形，
所以$□ EFGH$是菱形。
(4)
当$AC = BD$且$AC⊥ BD$时，$□ EFGH$是正方形。
1. (2025 郑州三模) 如图，在正方形 $ABCD$ 中，点 $G$ 在 $BC$ 边上，连接 $AG$，$DE ⊥ AG$ 于点 $E$，$BF ⊥ AG$ 于点 $F$，若 $BF = 4$，$DE = 9$，则 $EF$ 的长为(
A.5
B.8
C.12
D.2
A
)A.5
B.8
C.12
D.2
答案
A
解析
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°．
∵DE⊥AG，BF⊥AG，∴∠AED=∠BFA=90°．
∵∠BAF+∠DAE=90°，∠BAF+∠ABF=90°，∴∠ABF=∠DAE．
在△ABF和△DAE中，$\left\{\begin{array}{l} ∠ABF=∠DAE\\ ∠AFB=∠DEA\\ AB=DA\end{array}\right.$，∴△ABF≌△DAE（AAS）．
∴BF=AE=4，AF=DE=9．
∵点E，F在AG上，∴EF=AF-AE=9-4=5．
∵DE⊥AG，BF⊥AG，∴∠AED=∠BFA=90°．
∵∠BAF+∠DAE=90°，∠BAF+∠ABF=90°，∴∠ABF=∠DAE．
在△ABF和△DAE中，$\left\{\begin{array}{l} ∠ABF=∠DAE\\ ∠AFB=∠DEA\\ AB=DA\end{array}\right.$，∴△ABF≌△DAE（AAS）．
∴BF=AE=4，AF=DE=9．
∵点E，F在AG上，∴EF=AF-AE=9-4=5．
2. (人教八下 P62) 如图，$E$，$F$，$M$，$N$ 分别是正方形 $ABCD$ 四条边上的点，且 $AE = BF = CM = DN$。试判断四边形 $EFMN$ 是什么图形，并证明你的结论。
答案
正方形
解析
四边形EFMN是正方形，证明如下：
设正方形ABCD边长为a，AE=BF=CM=DN=k，则EB=FC=MD=NA=a-k。
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中：
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AE=BF=CM=DN=k，AN=BE=CF=DM=a-k，
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM（SAS），
∴EN=EF=FM=MN，故四边形EFMN是菱形。
设∠AEN=α，由全等知∠BFE=α，在Rt△BFE中，∠BEF=90°-α，
∴∠NEF=180°-∠AEN-∠BEF=180°-α-(90°-α)=90°，
∴菱形EFMN有一个角为直角，故四边形EFMN是正方形。
设正方形ABCD边长为a，AE=BF=CM=DN=k，则EB=FC=MD=NA=a-k。
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中：
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AE=BF=CM=DN=k，AN=BE=CF=DM=a-k，
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM（SAS），
∴EN=EF=FM=MN，故四边形EFMN是菱形。
设∠AEN=α，由全等知∠BFE=α，在Rt△BFE中，∠BEF=90°-α，
∴∠NEF=180°-∠AEN-∠BEF=180°-α-(90°-α)=90°，
∴菱形EFMN有一个角为直角，故四边形EFMN是正方形。
3. 如图，$E$ 是正方形 $ABCD$ 的对角线 $BD$ 上一点，过点 $E$ 作 $EF ⊥ AE$，交 $CD$ 于点 $F$，$AE$ 的延长线交 $BC$ 于点 $G$，$AF$ 交 $BD$ 于点 $H$。
(1) 求证：$AE = EF$；
(2) 若 $AD = DE$，$AB = 2$，求 $CF$ 的长。
(1) 求证：$AE = EF$；
(2) 若 $AD = DE$，$AB = 2$，求 $CF$ 的长。
答案
(1)见解析；(2)4-2√2
解析
(1)过点E作EM⊥AD于M，EN⊥CD于N。
∵四边形ABCD是正方形，BD为对角线，∴∠ADB=∠CDB=45°，∴EM=EN（角平分线性质），且∠EMD=∠END=∠MDN=90°，∴四边形EMDN为正方形，∠MEN=90°。
∵EF⊥AE，∴∠AEF=90°，∴∠AEM+∠MEF=∠FEN+∠MEF=90°，即∠AEM=∠FEN。
在△AEM和△FEN中，∠AEM=∠FEN，EM=EN，∠AME=∠FNE=90°，∴△AEM≌△FEN（ASA），∴AE=EF。
(2)以D为原点，DC为x轴，DA为y轴建立坐标系。则D(0,0)，C(2,0)，A(0,2)，BD：y=x。
∵AD=DE=2，设E(t,t)，则DE=√(t²+t²)=√2 t=2，解得t=√2，∴E(√2,√2)。
直线AE斜率kAE=(√2-2)/√2=1-√2，故AE方程：y=(1-√2)x+2。
EF⊥AE，斜率kEF=1+√2，EF方程：y-√2=(1+√2)(x-√2)。
令y=0，得0-√2=(1+√2)(x-√2)，解得x=2/(1+√2)=2(√2-1)，即F(2√2-2,0)。
∴CF=2-(2√2-2)=4-2√2。
∵四边形ABCD是正方形，BD为对角线，∴∠ADB=∠CDB=45°，∴EM=EN（角平分线性质），且∠EMD=∠END=∠MDN=90°，∴四边形EMDN为正方形，∠MEN=90°。
∵EF⊥AE，∴∠AEF=90°，∴∠AEM+∠MEF=∠FEN+∠MEF=90°，即∠AEM=∠FEN。
在△AEM和△FEN中，∠AEM=∠FEN，EM=EN，∠AME=∠FNE=90°，∴△AEM≌△FEN（ASA），∴AE=EF。
(2)以D为原点，DC为x轴，DA为y轴建立坐标系。则D(0,0)，C(2,0)，A(0,2)，BD：y=x。
∵AD=DE=2，设E(t,t)，则DE=√(t²+t²)=√2 t=2，解得t=√2，∴E(√2,√2)。
直线AE斜率kAE=(√2-2)/√2=1-√2，故AE方程：y=(1-√2)x+2。
EF⊥AE，斜率kEF=1+√2，EF方程：y-√2=(1+√2)(x-√2)。
令y=0，得0-√2=(1+√2)(x-√2)，解得x=2/(1+√2)=2(√2-1)，即F(2√2-2,0)。
∴CF=2-(2√2-2)=4-2√2。
