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9.已知点$A(2m+1,m-3)$关于$y$轴的对称点在第四象限，则$m$的取值范围是（
A.$m＜-\dfrac{1}{2}$
B.$-\dfrac{1}{2}＜m＜3$
C.$m＞3$
D.$m＜3$
A
）A.$m＜-\dfrac{1}{2}$
B.$-\dfrac{1}{2}＜m＜3$
C.$m＞3$
D.$m＜3$
答案
9.A
解析
【分析】
解题需先明确两个核心知识点：一是关于y轴对称的点的坐标变化规律，二是第四象限内点的坐标符号特征。我们可以先求出点A关于y轴的对称点坐标，再根据第四象限点横正、纵负的特征列出不等式组，最后解不等式组取公共解集即可得到m的取值范围；也可反向推导：对称点在第四象限，说明原点点A在第三象限，直接按第三象限点横负、纵负的特征列不等式求解。
【解析】
解：
∵ 平面直角坐标系中，点关于y轴对称时，纵坐标不变，横坐标变为相反数
∴ 点$A(2m+1,m-3)$关于y轴的对称点坐标为$(-(2m+1), m-3)$，即$(-2m-1, m-3)$
又
∵ 该对称点在第四象限，第四象限内点满足横坐标＞0，纵坐标＜0
∴ 可列不等式组：
$\begin{cases}-2m -1 ＞ 0 ①\\m - 3 ＜ 0 ②\end{cases}$
解不等式①：移项得$-2m ＞ 1$，两边同时除以负数-2，不等号方向改变，得$m ＜ -\dfrac{1}{2}$
解不等式②：移项得$m ＜ 3$
根据“同小取小”的解集原则，不等式组的解集为$m ＜ -\dfrac{1}{2}$
故选A选项。
【答案】
A
【知识点】
1. 关于y轴对称的点的坐标特征
2. 象限内点的符号规律
3. 一元一次不等式组的解法
【点评】
本题是平面直角坐标系与不等式结合的基础题型，解题的关键是熟练掌握点的对称规律和各象限内点的坐标符号特征，通过列不等式组求解参数范围，是坐标系部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题需先明确两个核心知识点：一是关于y轴对称的点的坐标变化规律，二是第四象限内点的坐标符号特征。我们可以先求出点A关于y轴的对称点坐标，再根据第四象限点横正、纵负的特征列出不等式组，最后解不等式组取公共解集即可得到m的取值范围；也可反向推导：对称点在第四象限，说明原点点A在第三象限，直接按第三象限点横负、纵负的特征列不等式求解。
【解析】
解：
∵ 平面直角坐标系中，点关于y轴对称时，纵坐标不变，横坐标变为相反数
∴ 点$A(2m+1,m-3)$关于y轴的对称点坐标为$(-(2m+1), m-3)$，即$(-2m-1, m-3)$
又
∵ 该对称点在第四象限，第四象限内点满足横坐标＞0，纵坐标＜0
∴ 可列不等式组：
$\begin{cases}-2m -1 ＞ 0 ①\\m - 3 ＜ 0 ②\end{cases}$
解不等式①：移项得$-2m ＞ 1$，两边同时除以负数-2，不等号方向改变，得$m ＜ -\dfrac{1}{2}$
解不等式②：移项得$m ＜ 3$
根据“同小取小”的解集原则，不等式组的解集为$m ＜ -\dfrac{1}{2}$
故选A选项。
【答案】
A
【知识点】
1. 关于y轴对称的点的坐标特征
2. 象限内点的符号规律
3. 一元一次不等式组的解法
【点评】
本题是平面直角坐标系与不等式结合的基础题型，解题的关键是熟练掌握点的对称规律和各象限内点的坐标符号特征，通过列不等式组求解参数范围，是坐标系部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
10.如图，已知直线$l$经过点$(0,-1)$并且垂直于$y$轴，若点$P(-3,2)$与点$Q(a,b)$关于直线$l$对称，则$a+b=$
-7
。答案
10.-7
解析
【分析】
首先确定对称轴直线l的解析式：已知直线l垂直于y轴且过点(0,-1)，可知直线l是平行于x轴的直线，解析式为$y=-1$。根据关于平行于x轴的直线对称的点的性质：对称两点的横坐标相等，纵坐标的中点在对称轴上，据此先求出点Q的横、纵坐标，再计算$a+b$的值即可。
【解析】
解：
∵直线l垂直于y轴，且经过点$(0,-1)$，
∴直线l的解析式为$y=-1$。
∵点$P(-3,2)$与点$Q(a,b)$关于直线$y=-1$对称，
∴两点横坐标相等，即$a=-3$；
且两点纵坐标的平均值等于对称轴的纵坐标，即$\frac{2+b}{2}=-1$，
解得$b=-4$。
∴$a+b=-3+(-4)=-7$。
【答案】
$-7$
【知识点】
1. 轴对称的坐标特征
2. 平面直角坐标系
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的对称规律，解题核心是先确定对称轴的解析式，再利用对称的性质推导对应点的坐标，掌握关于平行于坐标轴的直线对称的点的坐标变化规律是解题的关键。
【难度系数】
0.8
首先确定对称轴直线l的解析式：已知直线l垂直于y轴且过点(0,-1)，可知直线l是平行于x轴的直线，解析式为$y=-1$。根据关于平行于x轴的直线对称的点的性质：对称两点的横坐标相等，纵坐标的中点在对称轴上，据此先求出点Q的横、纵坐标，再计算$a+b$的值即可。
【解析】
解：
∵直线l垂直于y轴，且经过点$(0,-1)$，
∴直线l的解析式为$y=-1$。
∵点$P(-3,2)$与点$Q(a,b)$关于直线$y=-1$对称，
∴两点横坐标相等，即$a=-3$；
且两点纵坐标的平均值等于对称轴的纵坐标，即$\frac{2+b}{2}=-1$，
解得$b=-4$。
∴$a+b=-3+(-4)=-7$。
【答案】
$-7$
【知识点】
1. 轴对称的坐标特征
2. 平面直角坐标系
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的对称规律，解题核心是先确定对称轴的解析式，再利用对称的性质推导对应点的坐标，掌握关于平行于坐标轴的直线对称的点的坐标变化规律是解题的关键。
【难度系数】
0.8
11.[规律总结]已知点$M(3,3)$，规定一次变换是:先作点$M$关于$x$轴对称，再将对称点向左平移1个单位长度，则连续经过2025次变换后，点$M$的坐标变为
$(-2022,-3)$
。答案
11.$(-2022,-3)$
解析
【分析】
首先明确单次变换的两步操作：第一步作点关于x轴对称，此时横坐标不变，纵坐标变为相反数；第二步将对称点向左平移1个单位，此时横坐标减1，纵坐标不变。我们可以先计算前几次变换后的坐标，总结出横、纵坐标的变化规律：横坐标每次变换固定减1，纵坐标随变换次数的奇偶性发生变化，再将变换次数2025代入规律计算即可得到结果。
【解析】
已知初始点M的坐标为$(3,3)$：
第1次变换后：先关于x轴对称得$(3,-3)$，再向左平移1个单位，坐标为$(3-1,-3)=(2,-3)$；
第2次变换后：先关于x轴对称得$(2,3)$，再向左平移1个单位，坐标为$(2-1,3)=(1,3)$；
第3次变换后：先关于x轴对称得$(1,-3)$，再向左平移1个单位，坐标为$(1-1,-3)=(0,-3)$；
……
总结规律：设变换次数为$n$，
①横坐标：每次变换都减少1，经过$n$次变换后横坐标为$3-n$；
②纵坐标：当$n$为奇数时，纵坐标为$-3$；当$n$为偶数时，纵坐标为$3$。
当$n=2025$时，2025是奇数，因此纵坐标为$-3$，横坐标为$3-2025=-2022$。
【答案】
$(-2022,-3)$
【知识点】
关于x轴对称的坐标特征、点的平移规律、规律探究
【点评】
本题将坐标的对称、平移变换与规律探究结合，核心是通过少量的变换示例总结出通用的变化规律，尤其是纵坐标的奇偶次变化特点，无需逐次计算2025次变换，大大降低计算量，考查了学生的归纳总结能力。
【难度系数】
0.7
首先明确单次变换的两步操作：第一步作点关于x轴对称，此时横坐标不变，纵坐标变为相反数；第二步将对称点向左平移1个单位，此时横坐标减1，纵坐标不变。我们可以先计算前几次变换后的坐标，总结出横、纵坐标的变化规律：横坐标每次变换固定减1，纵坐标随变换次数的奇偶性发生变化，再将变换次数2025代入规律计算即可得到结果。
【解析】
已知初始点M的坐标为$(3,3)$：
第1次变换后：先关于x轴对称得$(3,-3)$，再向左平移1个单位，坐标为$(3-1,-3)=(2,-3)$；
第2次变换后：先关于x轴对称得$(2,3)$，再向左平移1个单位，坐标为$(2-1,3)=(1,3)$；
第3次变换后：先关于x轴对称得$(1,-3)$，再向左平移1个单位，坐标为$(1-1,-3)=(0,-3)$；
……
总结规律：设变换次数为$n$，
①横坐标：每次变换都减少1，经过$n$次变换后横坐标为$3-n$；
②纵坐标：当$n$为奇数时，纵坐标为$-3$；当$n$为偶数时，纵坐标为$3$。
当$n=2025$时，2025是奇数，因此纵坐标为$-3$，横坐标为$3-2025=-2022$。
【答案】
$(-2022,-3)$
【知识点】
关于x轴对称的坐标特征、点的平移规律、规律探究
【点评】
本题将坐标的对称、平移变换与规律探究结合，核心是通过少量的变换示例总结出通用的变化规律，尤其是纵坐标的奇偶次变化特点，无需逐次计算2025次变换，大大降低计算量，考查了学生的归纳总结能力。
【难度系数】
0.7
12. △ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.
(1)画出△ABC关于y轴对称的△AB₁C₁；
(2)将△ABC向右平移6个单位长度,作出平移后的△A₂B₂C₂,并写出△A₂B₂C₂各顶点的坐标；
(3)观察△AB₁C₁和△A₂B₂C₂,它们是否关于某条直线对称?若是,请在图上画出这条对称轴.
(1)画出△ABC关于y轴对称的△AB₁C₁；
(2)将△ABC向右平移6个单位长度,作出平移后的△A₂B₂C₂,并写出△A₂B₂C₂各顶点的坐标；
(3)观察△AB₁C₁和△A₂B₂C₂,它们是否关于某条直线对称?若是,请在图上画出这条对称轴.
答案
(1)$△ AB_1C_1$如图所示。
(2)$△ A_2B_2C_2$如图所示，$A_2(6,4)$，$B_2(4,2)$，$C_2(5,1)$。
(3)$△ AB_1C_1$和$△ A_2B_2C_2$成轴对称，对称轴为图中直线$l$。
解析
【分析】
解题可按3小问逐步推进：1. 画关于y轴对称的图形，先回忆y轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标取相反数，先确定原三角形各顶点坐标，再求出对称点坐标，描点连线即可。2. 画向右平移6个单位的图形，平移规律是横坐标加6、纵坐标不变，求出平移后的各顶点坐标，描点连线后直接写出坐标即可。3. 判断两个图形是否轴对称，可找对应顶点连线的中点，若所有中点都在同一条直线上，这条直线就是对称轴，观察对应点的横坐标可发现中点横坐标都为3，因此对称轴是直线x=3。
【解析】
首先确定△ABC三个顶点的坐标：A(0,4)，B(-2,2)，C(-1,1)。
(1) 关于y轴对称的点纵坐标不变、横坐标互为相反数，因此B的对称点B₁为(2,2)，C的对称点C₁为(1,1)，A在y轴上，对称后坐标仍为(0,4)，顺次连接A、B₁、C₁，即得到△AB₁C₁。
(2) 图形向右平移6个单位，各点横坐标加6、纵坐标不变：
A₂坐标：0+6=6，纵坐标为4，即(6,4)；
B₂坐标：-2+6=4，纵坐标为2，即(4,2)；
C₂坐标：-1+6=5，纵坐标为1，即(5,1)；
顺次连接A₂、B₂、C₂，即得到△A₂B₂C₂。
(3) 观察两个三角形的对应顶点：A(0,4)与A₂(6,4)的中点横坐标为$\frac{0+6}{2}=3$，B₁(2,2)与B₂(4,2)的中点横坐标为$\frac{2+4}{2}=3$，C₁(1,1)与C₂(5,1)的中点横坐标为$\frac{1+5}{2}=3$，所有对应点连线的中点都在直线x=3上，因此△AB₁C₁和△A₂B₂C₂关于直线x=3（即图中直线l）对称。
【答案】
(1)$△ AB_1C_1$如图所示。
(2)$△ A_2B_2C_2$如图所示，$A_2(6,4)$，$B_2(4,2)$，$C_2(5,1)$。
(3)$△ AB_1C_1$和$△ A_2B_2C_2$成轴对称，对称轴为图中直线$l$。
【知识点】
轴对称作图，坐标平移变换，轴对称判定
【点评】
本题是平面直角坐标系中图形变换的基础题，核心是掌握轴对称、平移对应的坐标变化规律，作图时需细心描点，避免坐标计算错误。
【难度系数】
0.8
解题可按3小问逐步推进：1. 画关于y轴对称的图形，先回忆y轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标取相反数，先确定原三角形各顶点坐标，再求出对称点坐标，描点连线即可。2. 画向右平移6个单位的图形，平移规律是横坐标加6、纵坐标不变，求出平移后的各顶点坐标，描点连线后直接写出坐标即可。3. 判断两个图形是否轴对称，可找对应顶点连线的中点，若所有中点都在同一条直线上，这条直线就是对称轴，观察对应点的横坐标可发现中点横坐标都为3，因此对称轴是直线x=3。
【解析】
首先确定△ABC三个顶点的坐标：A(0,4)，B(-2,2)，C(-1,1)。
(1) 关于y轴对称的点纵坐标不变、横坐标互为相反数，因此B的对称点B₁为(2,2)，C的对称点C₁为(1,1)，A在y轴上，对称后坐标仍为(0,4)，顺次连接A、B₁、C₁，即得到△AB₁C₁。
(2) 图形向右平移6个单位，各点横坐标加6、纵坐标不变：
A₂坐标：0+6=6，纵坐标为4，即(6,4)；
B₂坐标：-2+6=4，纵坐标为2，即(4,2)；
C₂坐标：-1+6=5，纵坐标为1，即(5,1)；
顺次连接A₂、B₂、C₂，即得到△A₂B₂C₂。
(3) 观察两个三角形的对应顶点：A(0,4)与A₂(6,4)的中点横坐标为$\frac{0+6}{2}=3$，B₁(2,2)与B₂(4,2)的中点横坐标为$\frac{2+4}{2}=3$，C₁(1,1)与C₂(5,1)的中点横坐标为$\frac{1+5}{2}=3$，所有对应点连线的中点都在直线x=3上，因此△AB₁C₁和△A₂B₂C₂关于直线x=3（即图中直线l）对称。
【答案】
(1)$△ AB_1C_1$如图所示。
(2)$△ A_2B_2C_2$如图所示，$A_2(6,4)$，$B_2(4,2)$，$C_2(5,1)$。
(3)$△ AB_1C_1$和$△ A_2B_2C_2$成轴对称，对称轴为图中直线$l$。
【知识点】
轴对称作图，坐标平移变换，轴对称判定
【点评】
本题是平面直角坐标系中图形变换的基础题，核心是掌握轴对称、平移对应的坐标变化规律，作图时需细心描点，避免坐标计算错误。
【难度系数】
0.8
13.如图,在平面直角坐标系中,直线l过点M(3,0),且平行于y轴.
(1)如果△ABC三个顶点的坐标分别是A(-2,0),B(-1,0),C(-1,2),△ABC关于y轴的对称图形是△A₁B₁C₁,△A₁B₁C₁关于直线l的对称图形是△A₂B₂C₂,写出△A₂B₂C₂的三个顶点的坐标;
(2)如果点P的坐标是(-a,0),其中0＜a＜3,点P关于y轴的对称点是P₁,点P₁关于直线l的对称点是P₂,求PP₂的长.
(1)如果△ABC三个顶点的坐标分别是A(-2,0),B(-1,0),C(-1,2),△ABC关于y轴的对称图形是△A₁B₁C₁,△A₁B₁C₁关于直线l的对称图形是△A₂B₂C₂,写出△A₂B₂C₂的三个顶点的坐标;
(2)如果点P的坐标是(-a,0),其中0＜a＜3,点P关于y轴的对称点是P₁,点P₁关于直线l的对称点是P₂,求PP₂的长.
答案
(1)$△ A_2B_2C_2$的三个顶点的坐标分别是$A_2(4,0)$，$B_2(5,0)$，$C_2(5,2)$。
(2)如图，$\because P$与$P_1$关于$y$轴对称，$P(-a,0)$，
$\therefore P_1(a,0).$
又$P_1$与$P_2$关于直线$l:x=3$对称，
设$P_2(x,0),\therefore \dfrac{x+a}{2}=3,$即$x=6-a.$
$\therefore P_2(6-a,0).$
则$PP_2=6-a-(-a)=6-a+a=6.$
解析
【分析】
(1) 解题时先利用关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标互为相反数，先求出△A₁B₁C₁各顶点的坐标；再利用关于直线l（x=3）对称的点的坐标规律：纵坐标不变，两点横坐标的平均值等于3，即可求出△A₂B₂C₂各顶点的坐标。
(2) 先根据y轴对称的坐标规律得到P₁的坐标，再根据关于直线x=3对称的坐标规律求出P₂的坐标，最后根据x轴上两点的距离等于横坐标差的绝对值，即可求出PP₂的长度。
【解析】
(1) 已知△ABC三个顶点坐标A(-2,0)，B(-1,0)，C(-1,2)，关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标取相反数，因此△A₁B₁C₁的顶点坐标为：A₁(2,0)，B₁(1,0)，C₁(1,2)。
直线l的解析式为x=3，关于x=3对称的点纵坐标不变，设对称点横坐标为x'，原横坐标为x，则$\frac{x+x'}{2}=3$，即$x'=6-x$：
A₁(2,0)的对称点A₂的横坐标为$6-2=4$，故A₂(4,0)；
B₁(1,0)的对称点B₂的横坐标为$6-1=5$，故B₂(5,0)；
C₁(1,2)的对称点C₂的横坐标为$6-1=5$，纵坐标不变为2，故C₂(5,2)。
(2)
∵点P(-a,0)与P₁关于y轴对称，关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变，
∴P₁的坐标为(a,0)。
∵P₁与P₂关于直线$l:x=3$对称，设P₂的坐标为(x,0)，
根据对称点到对称轴的距离相等，可得$\frac{x+a}{2}=3$，解得$x=6-a$，
∴P₂的坐标为$(6-a,0)$。
x轴上两点的距离为横坐标差的绝对值，因此：
$PP_2=|6-a - (-a)|=|6-a+a|=6$。
【答案】
(1)$△ A_2B_2C_2$的三个顶点的坐标分别是$A_2(4,0)$，$B_2(5,0)$，$C_2(5,2)$。
(2)PP₂的长为6。
【知识点】
关于y轴对称的坐标规律；轴对称的性质；坐标轴上两点距离计算
【点评】
本题考查平面直角坐标系中的轴对称变换，解题的核心是熟练掌握不同对称方式下的坐标变化规律，第二问通过代数推导坐标，渗透了数形结合的思想，属于基础类的常考题型。
【难度系数】
0.7
(1) 解题时先利用关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标互为相反数，先求出△A₁B₁C₁各顶点的坐标；再利用关于直线l（x=3）对称的点的坐标规律：纵坐标不变，两点横坐标的平均值等于3，即可求出△A₂B₂C₂各顶点的坐标。
(2) 先根据y轴对称的坐标规律得到P₁的坐标，再根据关于直线x=3对称的坐标规律求出P₂的坐标，最后根据x轴上两点的距离等于横坐标差的绝对值，即可求出PP₂的长度。
【解析】
(1) 已知△ABC三个顶点坐标A(-2,0)，B(-1,0)，C(-1,2)，关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标取相反数，因此△A₁B₁C₁的顶点坐标为：A₁(2,0)，B₁(1,0)，C₁(1,2)。
直线l的解析式为x=3，关于x=3对称的点纵坐标不变，设对称点横坐标为x'，原横坐标为x，则$\frac{x+x'}{2}=3$，即$x'=6-x$：
A₁(2,0)的对称点A₂的横坐标为$6-2=4$，故A₂(4,0)；
B₁(1,0)的对称点B₂的横坐标为$6-1=5$，故B₂(5,0)；
C₁(1,2)的对称点C₂的横坐标为$6-1=5$，纵坐标不变为2，故C₂(5,2)。
(2)
∵点P(-a,0)与P₁关于y轴对称，关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变，
∴P₁的坐标为(a,0)。
∵P₁与P₂关于直线$l:x=3$对称，设P₂的坐标为(x,0)，
根据对称点到对称轴的距离相等，可得$\frac{x+a}{2}=3$，解得$x=6-a$，
∴P₂的坐标为$(6-a,0)$。
x轴上两点的距离为横坐标差的绝对值，因此：
$PP_2=|6-a - (-a)|=|6-a+a|=6$。
【答案】
(1)$△ A_2B_2C_2$的三个顶点的坐标分别是$A_2(4,0)$，$B_2(5,0)$，$C_2(5,2)$。
(2)PP₂的长为6。
【知识点】
关于y轴对称的坐标规律；轴对称的性质；坐标轴上两点距离计算
【点评】
本题考查平面直角坐标系中的轴对称变换，解题的核心是熟练掌握不同对称方式下的坐标变化规律，第二问通过代数推导坐标，渗透了数形结合的思想，属于基础类的常考题型。
【难度系数】
0.7
