12. 如图，在△ABC中，已知AB＞AC，AD⊥BC. 求证：BD＞DC. (第12题)

因为$AB＞AC$，所以$∠B＜∠C$. 因为$∠B+∠BAD=∠C+∠CAD=90°$，所以$∠BAD＞∠CAD$，所以可作$∠DAE=∠CAD$，其中点$E$落在线段$BD$上. 根据$AD$是$△AEC$的角平分线、高，可知$AD$也是中线，所以$ED=DC$. 而$BD=BE+ED$，所以$BD＞DC$

13. 如图，在$△ ABC$中，$D$为边$BC$的中点，$DE ⊥ BC$，垂足为$D$，交$∠ BAC$的平分线于点$E$，$EF ⊥ AB$，垂足为$F$，$EG ⊥ AC$，交$AC$的延长线于点$G$，线段$BF$与线段$CG$的长有怎样的大小关系？证明你的结论.

$BF=CG$，证明：连接$EB,EC$，因为$AE$是$∠BAC$的平分线，且$EF⊥AB$，垂足为$F$，$EG⊥AC$，垂足为$G$，所以$EF=EG$. 又因为$ED⊥BC$，垂足为$D$，$D$是$BC$的中点，所以$EB=EC$. 所以$Rt△EFB≌Rt△EGC(HL)$，故$BF=CG$

【分析】
要判断BF和CG的大小关系，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。首先观察已知条件：AE是∠BAC的平分线，且有EF⊥AB、EG⊥AC，可联想到角平分线的性质得到EF=EG；再结合D是BC中点且DE⊥BC，可知DE是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得EB=EC；此时BF、CG分别在两个直角三角形中，可通过HL判定直角三角形全等，从而得到两条线段的等量关系。
【解析】
结论：$BF=CG$，证明如下：
1. 连接$EB$、$EC$。
2. 因为$AE$是$∠BAC$的平分线，$EF⊥AB$，$EG⊥AC$，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$EF=EG$。
3. 因为$D$为$BC$的中点，且$DE⊥BC$，所以$DE$是线段$BC$的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得$EB=EC$。
4. 在$Rt△EFB$和$Rt△EGC$中：
$\begin{cases}EF=EG \\EB=EC\end{cases}$
所以$Rt△EFB≌Rt△EGC(\mathrm{HL})$。
5. 根据全等三角形对应边相等，可得$BF=CG$。
【答案】
$BF=CG$
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；直角三角形全等判定
【点评】
本题的核心是通过添加辅助线构造全等三角形，需要学生能根据已知条件对应联想到相关几何性质，将分散的条件整合到两个三角形中，通过全等证明线段相等，是几何证明的典型考法。
【难度系数】
0.7