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1. [2024 济宁中考] 下列运算正确的是 （
A.$\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$
B.$\sqrt{2} × \sqrt{5} = \sqrt{10}$
C.$2 ÷ \sqrt{2} = 1$
D.$\sqrt{(-5)^2} = -5$
B
）A.$\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$
B.$\sqrt{2} × \sqrt{5} = \sqrt{10}$
C.$2 ÷ \sqrt{2} = 1$
D.$\sqrt{(-5)^2} = -5$
答案
1 B $\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不能合并，故A选项错误；$2 ÷ \sqrt{2} = \sqrt{4 ÷ 2} = \sqrt{2}$，故C选项错误；$\sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5$，故D选项错误。
解析
【分析】
本题考查二次根式的相关运算，解题时需逐个验证每个选项的正误，核心思路是运用二次根式的各类运算规则逐一排查：首先回忆二次根式的加减、乘除运算法则，以及二次根式化简的非负性要求，再对应判断每个选项是否符合规则即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$的被开方数不同，不属于同类二次根式，不能直接合并，因此该运算错误；
B选项：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab} \ (a≥0,b≥0)$，可得$\sqrt{2} × \sqrt{5} = \sqrt{2×5} = \sqrt{10}$，该运算正确；
C选项：根据二次根式除法法则$\sqrt{a} ÷ \sqrt{b} = \sqrt{a÷ b} \ (a≥0,b＞0)$，将2改写为$\sqrt{4}$，则$2 ÷ \sqrt{2} = \sqrt{4} ÷ \sqrt{2} = \sqrt{4÷2} = \sqrt{2} ≠ 1$，该运算错误；
D选项：根据二次根式的性质$\sqrt{a^2} = |a|$，可得$\sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5 ≠ -5$，该运算错误。
综上，运算正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的加减、二次根式的乘除、二次根式的性质
【点评】
本题是基础题型，主要考查二次根式的基本运算规则，是中考中二次根式模块的常规考法，熟练掌握相关运算性质和法则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的相关运算，解题时需逐个验证每个选项的正误，核心思路是运用二次根式的各类运算规则逐一排查：首先回忆二次根式的加减、乘除运算法则，以及二次根式化简的非负性要求，再对应判断每个选项是否符合规则即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$的被开方数不同，不属于同类二次根式，不能直接合并，因此该运算错误；
B选项：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab} \ (a≥0,b≥0)$，可得$\sqrt{2} × \sqrt{5} = \sqrt{2×5} = \sqrt{10}$，该运算正确；
C选项：根据二次根式除法法则$\sqrt{a} ÷ \sqrt{b} = \sqrt{a÷ b} \ (a≥0,b＞0)$，将2改写为$\sqrt{4}$，则$2 ÷ \sqrt{2} = \sqrt{4} ÷ \sqrt{2} = \sqrt{4÷2} = \sqrt{2} ≠ 1$，该运算错误；
D选项：根据二次根式的性质$\sqrt{a^2} = |a|$，可得$\sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5 ≠ -5$，该运算错误。
综上，运算正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的加减、二次根式的乘除、二次根式的性质
【点评】
本题是基础题型，主要考查二次根式的基本运算规则，是中考中二次根式模块的常规考法，熟练掌握相关运算性质和法则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. [2025天津中考]估计$1+\sqrt{6}$的值在 （
A.1和2之间
B.2和3之间
C.3和4之间
D.4和5之间
C
）A.1和2之间
B.2和3之间
C.3和4之间
D.4和5之间
答案
2 C $\because \sqrt{4} ＜ \sqrt{6} ＜ \sqrt{9},\therefore 2 ＜ \sqrt{6} ＜ 3,\therefore 3 ＜ 1 + \sqrt{6} ＜ 4,\therefore 1 + \sqrt{6}$的值在3和4之间。
解析
【分析】
要估算含算术平方根的式子的取值范围，首先需确定无理数$\sqrt{6}$的范围：先找到和6相邻的两个正完全平方数，根据算术平方根的大小规律得到$\sqrt{6}$的取值区间，再给区间各端同时加1，即可得到$1+\sqrt{6}$的取值范围，最后对应选项判断即可。
【解析】
$\because$ 和6相邻的两个完全平方数为4和9，即$4＜6＜9$
$\therefore$ 根据算术平方根的性质，可得$\sqrt{4}＜\sqrt{6}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{6}＜3$
给不等式三边同时加1，不等号方向不变，可得$2+1＜1+\sqrt{6}＜3+1$
化简得$3＜1+\sqrt{6}＜4$，因此$1+\sqrt{6}$的值在3和4之间。
【答案】C
【知识点】
无理数的估算；不等式的基本性质
【点评】
本题是无理数估算的基础常考题，解题关键是先锁定被开方数相邻的两个完全平方数，确定算术平方根的范围，再通过简单运算得到所求式子的范围即可。
【难度系数】
0.9
要估算含算术平方根的式子的取值范围，首先需确定无理数$\sqrt{6}$的范围：先找到和6相邻的两个正完全平方数，根据算术平方根的大小规律得到$\sqrt{6}$的取值区间，再给区间各端同时加1，即可得到$1+\sqrt{6}$的取值范围，最后对应选项判断即可。
【解析】
$\because$ 和6相邻的两个完全平方数为4和9，即$4＜6＜9$
$\therefore$ 根据算术平方根的性质，可得$\sqrt{4}＜\sqrt{6}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{6}＜3$
给不等式三边同时加1，不等号方向不变，可得$2+1＜1+\sqrt{6}＜3+1$
化简得$3＜1+\sqrt{6}＜4$，因此$1+\sqrt{6}$的值在3和4之间。
【答案】C
【知识点】
无理数的估算；不等式的基本性质
【点评】
本题是无理数估算的基础常考题，解题关键是先锁定被开方数相邻的两个完全平方数，确定算术平方根的范围，再通过简单运算得到所求式子的范围即可。
【难度系数】
0.9
变式 [2025重庆中考] 若n为正整数，且满足 $ n ＜ \sqrt{26} ＜ n+1 $，则n=
5
。答案
变式 5 $\because 25 ＜ 26 ＜ 36,\therefore \sqrt{25} ＜ \sqrt{26} ＜ \sqrt{36},\therefore 5 ＜ \sqrt{26} ＜ 6,\therefore n=5$。
解析
【分析】
要确定满足$ n ＜ \sqrt{26} ＜ n+1 $的正整数n，本质是估算$\sqrt{26}$的整数部分。解题的关键是找到与26相邻的两个正整数的完全平方数，通过比较算术平方根的大小得到$\sqrt{26}$的取值范围，即可求出n的值。
【解析】
$\because 25 ＜ 26 ＜ 36$，$\therefore \sqrt{25} ＜ \sqrt{26} ＜ \sqrt{36}$，即$5 ＜ \sqrt{26} ＜ 6$。
又$\because n$为正整数，且满足$ n ＜ \sqrt{26} ＜ n+1 $，$\therefore n=5$。
【答案】
5
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 算术平方根大小比较
【点评】
本题属于基础题型，主要考查无理数的估算方法，熟练掌握“利用相邻完全平方数确定无理数范围”的技巧即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要确定满足$ n ＜ \sqrt{26} ＜ n+1 $的正整数n，本质是估算$\sqrt{26}$的整数部分。解题的关键是找到与26相邻的两个正整数的完全平方数，通过比较算术平方根的大小得到$\sqrt{26}$的取值范围，即可求出n的值。
【解析】
$\because 25 ＜ 26 ＜ 36$，$\therefore \sqrt{25} ＜ \sqrt{26} ＜ \sqrt{36}$，即$5 ＜ \sqrt{26} ＜ 6$。
又$\because n$为正整数，且满足$ n ＜ \sqrt{26} ＜ n+1 $，$\therefore n=5$。
【答案】
5
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 算术平方根大小比较
【点评】
本题属于基础题型，主要考查无理数的估算方法，熟练掌握“利用相邻完全平方数确定无理数范围”的技巧即可快速解题。
【难度系数】
0.9
3. 教材复习题变式 [2024 呼伦贝尔中考] 实数$a,b$在数轴上的对应位置如图所示，则$\sqrt{(a - b)^2} - (b - a - 2)$的化简结果是（
A.$2$
B.$2a - 2$
C.$2 - 2a$
D.$-2$
A
）A.$2$
B.$2a - 2$
C.$2 - 2a$
D.$-2$
答案
3 A 由题中数轴可知，$a＜0＜b,\therefore a-b＜0,\therefore \sqrt{(a-b)^2} - (b - a - 2) = |a-b| - (b - a - 2) = -(a - b) - (b - a - 2) = -a + b - b + a + 2 = 2$。
解析
【分析】
解题时首先观察数轴确定实数a、b的大小关系，判断出a-b的正负性；再根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$将根号去掉，接着依据绝对值的性质化简绝对值，最后去括号、合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
由数轴可知：$-3 ＜ a ＜ -2 ＜ 0 ＜ b ＜ 1$，因此$a - b ＜ 0$。
根据二次根式的性质可得$\sqrt{(a-b)^2}=|a-b|$，再结合绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，所以$|a-b|=-(a-b)=b-a$。
将其代入原式计算：
$\begin{aligned}\sqrt{(a - b)^2} - (b - a - 2)&=b - a - (b - a - 2)\\&=b - a - b + a + 2\\&=2\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
数轴的应用；二次根式的性质；绝对值化简
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是先通过数轴判断代数式的正负，再正确运用相关性质去根号、去绝对值，最后完成整式的化简计算，是代数部分的高频考查题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察数轴确定实数a、b的大小关系，判断出a-b的正负性；再根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$将根号去掉，接着依据绝对值的性质化简绝对值，最后去括号、合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
由数轴可知：$-3 ＜ a ＜ -2 ＜ 0 ＜ b ＜ 1$，因此$a - b ＜ 0$。
根据二次根式的性质可得$\sqrt{(a-b)^2}=|a-b|$，再结合绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，所以$|a-b|=-(a-b)=b-a$。
将其代入原式计算：
$\begin{aligned}\sqrt{(a - b)^2} - (b - a - 2)&=b - a - (b - a - 2)\\&=b - a - b + a + 2\\&=2\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
数轴的应用；二次根式的性质；绝对值化简
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是先通过数轴判断代数式的正负，再正确运用相关性质去根号、去绝对值，最后完成整式的化简计算，是代数部分的高频考查题型。
【难度系数】
0.7
4. [2025齐齐哈尔中考]若代数式$\frac{x}{\sqrt{x-3}} + (x - 2025)^0$有意义，则实数$x$的取值范围是
$x＞3且x≠2025$
。答案
4 $x＞3且x≠2025$ 根据题意，得$x-3＞0$且$x-2025≠0$，解得$x＞3$且$x≠2025$。
解析
【分析】要确定代数式有意义时x的取值范围，需分别分析各组成部分的限制条件，再取所有条件的公共解集：①分式$\frac{x}{\sqrt{x-3}}$的分母是二次根式，需同时满足二次根式被开方数非负、分母不为0，因此可得$x-3＞0$；②零指数幂$(x-2025)^0$有意义的前提是底数不为0，因此可得$x-2025≠0$，联立两个不等式求解即可。
【解析】根据代数式有意义的要求，列不等式组：
$\begin{cases}x-3＞0 \\x-2025≠0\end{cases}$
解不等式$x-3＞0$，得$x＞3$；
解不等式$x-2025≠0$，得$x≠2025$。
因此实数x的取值范围为$x＞3且x≠2025$。
【答案】$x＞3且x≠2025$
【知识点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；零指数幂的性质
【点评】本题是代数式有意义类的常规考题，解题时需逐一梳理代数式各部分的限制条件，尤其注意不要遗漏零指数幂底数不为0的要求，避免出现漏解。
【难度系数】0.7
【解析】根据代数式有意义的要求，列不等式组：
$\begin{cases}x-3＞0 \\x-2025≠0\end{cases}$
解不等式$x-3＞0$，得$x＞3$；
解不等式$x-2025≠0$，得$x≠2025$。
因此实数x的取值范围为$x＞3且x≠2025$。
【答案】$x＞3且x≠2025$
【知识点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；零指数幂的性质
【点评】本题是代数式有意义类的常规考题，解题时需逐一梳理代数式各部分的限制条件，尤其注意不要遗漏零指数幂底数不为0的要求，避免出现漏解。
【难度系数】0.7
5. [2022 内蒙古中考] 已知$x,y$是实数，且满足$y = \sqrt{x - 2} + \sqrt{2 - x} + \frac{1}{8}$，则$\sqrt{x} · \sqrt{y}$的值是
$\dfrac{1}{2}$
。答案
5 $\dfrac{1}{2}$ $\because y = \sqrt{x - 2} + \sqrt{2 - x} + \dfrac{1}{8},\therefore x-2≥0,2-x≥0$，
$\therefore x=2,\therefore y=\dfrac{1}{8},\therefore \sqrt{x} · \sqrt{y} = \sqrt{2} × \sqrt{\dfrac{1}{8}} = \sqrt{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2}$。
$\therefore x=2,\therefore y=\dfrac{1}{8},\therefore \sqrt{x} · \sqrt{y} = \sqrt{2} × \sqrt{\dfrac{1}{8}} = \sqrt{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2}$。
解析
【分析】
求解本题首先要明确二次根式有意义的条件：被开方数为非负数。观察题干中y的表达式，同时存在$\sqrt{x-2}$和$\sqrt{2-x}$，两个被开方数互为相反数，因此只有当两个被开方数同时为0时，两个二次根式才有意义，由此可先求出x的取值，再代入表达式求出y的值，最后利用二次根式的乘法运算法则计算$\sqrt{x}·\sqrt{y}$的结果即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，可得：
$\begin{cases}x - 2 ≥ 0 \\2 - x ≥ 0\end{cases}$
解得$x = 2$。
将$x=2$代入$y = \sqrt{x - 2} + \sqrt{2 - x} + \frac{1}{8}$，得：
$y = 0 + 0 + \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$
再计算$\sqrt{x} · \sqrt{y}$，根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$可得：
$\sqrt{x} · \sqrt{y} = \sqrt{2} × \sqrt{\frac{1}{8}} = \sqrt{2 × \frac{1}{8}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的乘法运算
【点评】
本题属于二次根式相关的基础常考题，解题核心是利用二次根式被开方数的非负性确定x的取值，再代入计算即可，整体运算量小，思路明确。
【难度系数】
0.8
求解本题首先要明确二次根式有意义的条件：被开方数为非负数。观察题干中y的表达式，同时存在$\sqrt{x-2}$和$\sqrt{2-x}$，两个被开方数互为相反数，因此只有当两个被开方数同时为0时，两个二次根式才有意义，由此可先求出x的取值，再代入表达式求出y的值，最后利用二次根式的乘法运算法则计算$\sqrt{x}·\sqrt{y}$的结果即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，可得：
$\begin{cases}x - 2 ≥ 0 \\2 - x ≥ 0\end{cases}$
解得$x = 2$。
将$x=2$代入$y = \sqrt{x - 2} + \sqrt{2 - x} + \frac{1}{8}$，得：
$y = 0 + 0 + \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$
再计算$\sqrt{x} · \sqrt{y}$，根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$可得：
$\sqrt{x} · \sqrt{y} = \sqrt{2} × \sqrt{\frac{1}{8}} = \sqrt{2 × \frac{1}{8}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的乘法运算
【点评】
本题属于二次根式相关的基础常考题，解题核心是利用二次根式被开方数的非负性确定x的取值，再代入计算即可，整体运算量小，思路明确。
【难度系数】
0.8
6. ▶教材复习题变式 [2022荆州中考]若$3-\sqrt{2}$的整数部分为$a$,小数部分为$b$,则代数式$b(2+\sqrt{2}a)$的值是
$2$
.答案
6 $2$ $\because 1 ＜ \sqrt{2} ＜ 2,\therefore 1 ＜ 3 - \sqrt{2} ＜ 2,\therefore a=1,b=3 - \sqrt{2} - 1 = 2 - \sqrt{2},\therefore b(2 + \sqrt{2}a) = (2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2}) = 2$。
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要估算出$\sqrt{2}$的取值范围，进而得到$3-\sqrt{2}$的范围，确定其整数部分$a$；再根据“小数部分=原数-整数部分”求出$b$，最后将$a$、$b$代入代数式，利用乘法公式计算即可得到结果。
【解析】
$\because 1＜\sqrt{2}＜2$，
$\therefore$ 给不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$-2＜-\sqrt{2}＜-1$，
不等式两边同时加3，得$3-2＜3-\sqrt{2}＜3-1$，即$1＜3-\sqrt{2}＜2$，
$\therefore 3-\sqrt{2}$的整数部分$a=1$，
小数部分$b=3-\sqrt{2}-a=3-\sqrt{2}-1=2-\sqrt{2}$，
将$a=1$，$b=2-\sqrt{2}$代入$b(2+\sqrt{2}a)$，得：
$\begin{aligned}原式&=(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2}×1)\\&=2^2-(\sqrt{2})^2\\&=4-2\\&=2\end{aligned}$
【答案】
$2$
【知识点】
无理数的估算；代数式求值；平方差公式
【点评】
本题核心是掌握无理数整数部分、小数部分的确定方法，解题关键是准确估算出$\sqrt{2}$的取值范围，代入计算时运用平方差公式可简化运算，降低计算出错率。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要估算出$\sqrt{2}$的取值范围，进而得到$3-\sqrt{2}$的范围，确定其整数部分$a$；再根据“小数部分=原数-整数部分”求出$b$，最后将$a$、$b$代入代数式，利用乘法公式计算即可得到结果。
【解析】
$\because 1＜\sqrt{2}＜2$，
$\therefore$ 给不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$-2＜-\sqrt{2}＜-1$，
不等式两边同时加3，得$3-2＜3-\sqrt{2}＜3-1$，即$1＜3-\sqrt{2}＜2$，
$\therefore 3-\sqrt{2}$的整数部分$a=1$，
小数部分$b=3-\sqrt{2}-a=3-\sqrt{2}-1=2-\sqrt{2}$，
将$a=1$，$b=2-\sqrt{2}$代入$b(2+\sqrt{2}a)$，得：
$\begin{aligned}原式&=(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2}×1)\\&=2^2-(\sqrt{2})^2\\&=4-2\\&=2\end{aligned}$
【答案】
$2$
【知识点】
无理数的估算；代数式求值；平方差公式
【点评】
本题核心是掌握无理数整数部分、小数部分的确定方法，解题关键是准确估算出$\sqrt{2}$的取值范围，代入计算时运用平方差公式可简化运算，降低计算出错率。
【难度系数】
0.7
7. 计算：
(1) [2024 山西中考] $(-2) × 3 + \sqrt{8} ÷ \sqrt{2} - (-\dfrac{1}{3})^0$；
(2) [2023 武威中考] $\sqrt{27} ÷ \dfrac{\sqrt{3}}{2} × 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2}$；
(3) [2025 上海中考] $\dfrac{4}{\sqrt{5} + 1} - 20^{\frac{1}{2}} + |2 - \sqrt{5}| + (\dfrac{1}{2})^{-3}$。
(1) [2024 山西中考] $(-2) × 3 + \sqrt{8} ÷ \sqrt{2} - (-\dfrac{1}{3})^0$；
(2) [2023 武威中考] $\sqrt{27} ÷ \dfrac{\sqrt{3}}{2} × 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2}$；
(3) [2025 上海中考] $\dfrac{4}{\sqrt{5} + 1} - 20^{\frac{1}{2}} + |2 - \sqrt{5}| + (\dfrac{1}{2})^{-3}$。
答案
7 解：
(1) $(-2) × 3 + \sqrt{8} ÷ \sqrt{2} - (-\dfrac{1}{3})^0 = -6 + 2 - 1 = -5$。
(2) $\sqrt{27} ÷ \dfrac{\sqrt{3}}{2} × 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} = 3\sqrt{3} × \dfrac{2}{\sqrt{3}} × 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} = 12\sqrt{2} - 6\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$。
(3) $\dfrac{4}{\sqrt{5} + 1} - 20^{\frac{1}{2}} + |2 - \sqrt{5}| + (\dfrac{1}{2})^{-3} = \dfrac{4 × (\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)} - \sqrt{20} + \sqrt{5} - 2 + (2^{-1})^{-3} = (\sqrt{5} - 1) - 2\sqrt{5} + \sqrt{5} - 2 + 2^3 = \sqrt{5} - 1 - 2\sqrt{5} + \sqrt{5} - 2 + 8 = 5$。
(1) $(-2) × 3 + \sqrt{8} ÷ \sqrt{2} - (-\dfrac{1}{3})^0 = -6 + 2 - 1 = -5$。
(2) $\sqrt{27} ÷ \dfrac{\sqrt{3}}{2} × 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} = 3\sqrt{3} × \dfrac{2}{\sqrt{3}} × 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} = 12\sqrt{2} - 6\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$。
(3) $\dfrac{4}{\sqrt{5} + 1} - 20^{\frac{1}{2}} + |2 - \sqrt{5}| + (\dfrac{1}{2})^{-3} = \dfrac{4 × (\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)} - \sqrt{20} + \sqrt{5} - 2 + (2^{-1})^{-3} = (\sqrt{5} - 1) - 2\sqrt{5} + \sqrt{5} - 2 + 2^3 = \sqrt{5} - 1 - 2\sqrt{5} + \sqrt{5} - 2 + 8 = 5$。
解析
【分析】
本题考查实数的混合运算，解题遵循“先高级运算、后低级运算”的顺序：①先计算乘方（含零指数幂、负整数指数幂）、开方、去绝对值、分母有理化；②再计算乘除运算；③最后计算加减运算，同级运算从左到右依次计算。
各小题思考方向：
(1) 先分别计算有理数乘法、二次根式除法、零指数幂，再合并结果；其中二次根式除法可利用$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}（a≥0,b＞0）$计算，非零数的零次幂等于1。
(2) 先将$\sqrt{27}$化为最简二次根式，再把除法转化为乘法计算二次根式的乘除运算，最后合并同类二次根式。
(3) 先对第一个分式分母有理化（利用平方差公式），将分数指数幂$20^{\frac{1}{2}}$化为$\sqrt{20}$再化简，判断$2-\sqrt{5}$的正负去绝对值，计算负整数指数幂，最后合并同类项即可。
【解析】
(1) $(-2) × 3 + \sqrt{8} ÷ \sqrt{2} - (-\dfrac{1}{3})^0$
$= -6 + \sqrt{8÷2} - 1$
$= -6 + 2 - 1$
$=-5$
(2) $\sqrt{27} ÷ \dfrac{\sqrt{3}}{2} × 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2}$
$= 3\sqrt{3} × \dfrac{2}{\sqrt{3}} × 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2}$
$= 12\sqrt{2} - 6\sqrt{2}$
$=6\sqrt{2}$
(3) $\dfrac{4}{\sqrt{5} + 1} - 20^{\frac{1}{2}} + |2 - \sqrt{5}| + (\dfrac{1}{2})^{-3}$
$= \dfrac{4 × (\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)} - \sqrt{20} + \sqrt{5} - 2 + (2^{-1})^{-3}$
$= (\sqrt{5} - 1) - 2\sqrt{5} + \sqrt{5} - 2 + 2^3$
$= \sqrt{5} - 1 - 2\sqrt{5} + \sqrt{5} - 2 + 8$
$=5$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-5}$；(2) $\boldsymbol{6\sqrt{2}}$；(3) $\boldsymbol{5}$
【知识点】
实数混合运算，二次根式的运算，指数幂的运算
【点评】
本题是中考常见的基础计算题型，核心考查各类运算法则的掌握程度，易错点在于零指数幂的取值、去绝对值时的符号判断、分母有理化的运算以及二次根式化简是否正确，计算时按顺序分步计算可有效降低出错率。
【难度系数】
0.75
本题考查实数的混合运算，解题遵循“先高级运算、后低级运算”的顺序：①先计算乘方（含零指数幂、负整数指数幂）、开方、去绝对值、分母有理化；②再计算乘除运算；③最后计算加减运算，同级运算从左到右依次计算。
各小题思考方向：
(1) 先分别计算有理数乘法、二次根式除法、零指数幂，再合并结果；其中二次根式除法可利用$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}（a≥0,b＞0）$计算，非零数的零次幂等于1。
(2) 先将$\sqrt{27}$化为最简二次根式，再把除法转化为乘法计算二次根式的乘除运算，最后合并同类二次根式。
(3) 先对第一个分式分母有理化（利用平方差公式），将分数指数幂$20^{\frac{1}{2}}$化为$\sqrt{20}$再化简，判断$2-\sqrt{5}$的正负去绝对值，计算负整数指数幂，最后合并同类项即可。
【解析】
(1) $(-2) × 3 + \sqrt{8} ÷ \sqrt{2} - (-\dfrac{1}{3})^0$
$= -6 + \sqrt{8÷2} - 1$
$= -6 + 2 - 1$
$=-5$
(2) $\sqrt{27} ÷ \dfrac{\sqrt{3}}{2} × 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2}$
$= 3\sqrt{3} × \dfrac{2}{\sqrt{3}} × 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2}$
$= 12\sqrt{2} - 6\sqrt{2}$
$=6\sqrt{2}$
(3) $\dfrac{4}{\sqrt{5} + 1} - 20^{\frac{1}{2}} + |2 - \sqrt{5}| + (\dfrac{1}{2})^{-3}$
$= \dfrac{4 × (\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)} - \sqrt{20} + \sqrt{5} - 2 + (2^{-1})^{-3}$
$= (\sqrt{5} - 1) - 2\sqrt{5} + \sqrt{5} - 2 + 2^3$
$= \sqrt{5} - 1 - 2\sqrt{5} + \sqrt{5} - 2 + 8$
$=5$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-5}$；(2) $\boldsymbol{6\sqrt{2}}$；(3) $\boldsymbol{5}$
【知识点】
实数混合运算，二次根式的运算，指数幂的运算
【点评】
本题是中考常见的基础计算题型，核心考查各类运算法则的掌握程度，易错点在于零指数幂的取值、去绝对值时的符号判断、分母有理化的运算以及二次根式化简是否正确，计算时按顺序分步计算可有效降低出错率。
【难度系数】
0.75
8. 先化简,再求值:
(1) [2025 广州中考] 求代数式 $\frac{2m^2 + 4m}{m - 2} · \frac{m^2 - 4m + 4}{m}$ 的值,其中 $m = \sqrt{3} - 1$.
(2) [2023 广元中考] $( \frac{3x + y}{x^2 - y^2} + \frac{2x}{y^2 - x^2} ) ÷ \frac{2}{x^2y - xy^2}$,其中 $x = \sqrt{3} + 1,y = \sqrt{3}$.
(1) [2025 广州中考] 求代数式 $\frac{2m^2 + 4m}{m - 2} · \frac{m^2 - 4m + 4}{m}$ 的值,其中 $m = \sqrt{3} - 1$.
(2) [2023 广元中考] $( \frac{3x + y}{x^2 - y^2} + \frac{2x}{y^2 - x^2} ) ÷ \frac{2}{x^2y - xy^2}$,其中 $x = \sqrt{3} + 1,y = \sqrt{3}$.
答案
8 解：
(1) $\dfrac{2m^2 + 4m}{m - 2} · \dfrac{m^2 - 4m + 4}{m} = \dfrac{2m(m + 2)}{m - 2} · \dfrac{(m - 2)^2}{m} = 2(m + 2)(m - 2) = 2m^2 - 8$。
当$m = \sqrt{3} - 1$时，原式$= 2 × (\sqrt{3} - 1)^2 - 8 = 2 × (4 - 2\sqrt{3}) - 8 = 8 - 4\sqrt{3} - 8 = -4\sqrt{3}$。
(2) $( \dfrac{3x + y}{x^2 - y^2} + \dfrac{2x}{y^2 - x^2} ) ÷ \dfrac{2}{x^2y - xy^2} = \dfrac{3x + y - 2x}{x^2 - y^2} · \dfrac{xy(x - y)}{2} = \dfrac{x + y}{(x + y)(x - y)} · \dfrac{xy(x - y)}{2} = \dfrac{xy}{2}$。
当$x = \sqrt{3} + 1,y = \sqrt{3}$时，原式$= \dfrac{(\sqrt{3} + 1) × \sqrt{3}}{2} = \dfrac{3 + \sqrt{3}}{2}$。
(1) $\dfrac{2m^2 + 4m}{m - 2} · \dfrac{m^2 - 4m + 4}{m} = \dfrac{2m(m + 2)}{m - 2} · \dfrac{(m - 2)^2}{m} = 2(m + 2)(m - 2) = 2m^2 - 8$。
当$m = \sqrt{3} - 1$时，原式$= 2 × (\sqrt{3} - 1)^2 - 8 = 2 × (4 - 2\sqrt{3}) - 8 = 8 - 4\sqrt{3} - 8 = -4\sqrt{3}$。
(2) $( \dfrac{3x + y}{x^2 - y^2} + \dfrac{2x}{y^2 - x^2} ) ÷ \dfrac{2}{x^2y - xy^2} = \dfrac{3x + y - 2x}{x^2 - y^2} · \dfrac{xy(x - y)}{2} = \dfrac{x + y}{(x + y)(x - y)} · \dfrac{xy(x - y)}{2} = \dfrac{xy}{2}$。
当$x = \sqrt{3} + 1,y = \sqrt{3}$时，原式$= \dfrac{(\sqrt{3} + 1) × \sqrt{3}}{2} = \dfrac{3 + \sqrt{3}}{2}$。
解析
【分析】
这两道题属于分式化简求值类题型，解题遵循“先化简，再求值”的原则，避免直接代入数值计算增大运算量。
(1) 对于分式乘法运算，首先对两个分式的分子、分母分别因式分解，再约分化为最简整式，最后代入m的值计算即可。
(2) 对于分式混合运算，先处理括号内的部分：注意到两个分母互为相反数，先统一分母后合并分子；再将除法运算转化为乘法运算，对剩余的分子分母因式分解后约分得到最简结果，最后代入x、y的值计算。
【解析】
(1) 先对分式因式分解再约分：
$\frac{2m^2 + 4m}{m - 2} · \frac{m^2 - 4m + 4}{m} = \frac{2m(m + 2)}{m - 2} · \frac{(m - 2)^2}{m}$
约去公因式$m$和$(m-2)$，得：
$2(m + 2)(m - 2) = 2m^2 - 8$
将$m = \sqrt{3} - 1$代入上式：
原式$= 2 × (\sqrt{3} - 1)^2 - 8 = 2 × (3 - 2\sqrt{3} + 1) - 8 = 2 × (4 - 2\sqrt{3}) - 8 = 8 - 4\sqrt{3} - 8 = -4\sqrt{3}$
(2) 先处理括号内运算，再统一为乘法运算约分：
$(\frac{3x + y}{x^2 - y^2} + \frac{2x}{y^2 - x^2}) ÷ \frac{2}{x^2y - xy^2}$
将第二个分式的分母变形为$-(x^2-y^2)$，统一括号内分母，同时将除法转化为乘法：
$= \frac{3x + y - 2x}{x^2 - y^2} · \frac{xy(x - y)}{2} = \frac{x + y}{(x + y)(x - y)} · \frac{xy(x - y)}{2}$
约去公因式$(x+y)$和$(x-y)$，得：
$\frac{xy}{2}$
将$x = \sqrt{3} + 1,y = \sqrt{3}$代入上式：
原式$= \frac{(\sqrt{3} + 1) × \sqrt{3}}{2} = \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-4\sqrt{3}}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{3 + \sqrt{3}}{2}}$
【知识点】
分式化简求值，因式分解，二次根式运算
【点评】
此类题型是中考常考题型，解题关键是熟练掌握因式分解的方法、分式的通分约分规则，先化简再求值的思路能有效提升运算效率和正确率，运算时要注意符号变换和约分的正确性。
【难度系数】
0.6
这两道题属于分式化简求值类题型，解题遵循“先化简，再求值”的原则，避免直接代入数值计算增大运算量。
(1) 对于分式乘法运算，首先对两个分式的分子、分母分别因式分解，再约分化为最简整式，最后代入m的值计算即可。
(2) 对于分式混合运算，先处理括号内的部分：注意到两个分母互为相反数，先统一分母后合并分子；再将除法运算转化为乘法运算，对剩余的分子分母因式分解后约分得到最简结果，最后代入x、y的值计算。
【解析】
(1) 先对分式因式分解再约分：
$\frac{2m^2 + 4m}{m - 2} · \frac{m^2 - 4m + 4}{m} = \frac{2m(m + 2)}{m - 2} · \frac{(m - 2)^2}{m}$
约去公因式$m$和$(m-2)$，得：
$2(m + 2)(m - 2) = 2m^2 - 8$
将$m = \sqrt{3} - 1$代入上式：
原式$= 2 × (\sqrt{3} - 1)^2 - 8 = 2 × (3 - 2\sqrt{3} + 1) - 8 = 2 × (4 - 2\sqrt{3}) - 8 = 8 - 4\sqrt{3} - 8 = -4\sqrt{3}$
(2) 先处理括号内运算，再统一为乘法运算约分：
$(\frac{3x + y}{x^2 - y^2} + \frac{2x}{y^2 - x^2}) ÷ \frac{2}{x^2y - xy^2}$
将第二个分式的分母变形为$-(x^2-y^2)$，统一括号内分母，同时将除法转化为乘法：
$= \frac{3x + y - 2x}{x^2 - y^2} · \frac{xy(x - y)}{2} = \frac{x + y}{(x + y)(x - y)} · \frac{xy(x - y)}{2}$
约去公因式$(x+y)$和$(x-y)$，得：
$\frac{xy}{2}$
将$x = \sqrt{3} + 1,y = \sqrt{3}$代入上式：
原式$= \frac{(\sqrt{3} + 1) × \sqrt{3}}{2} = \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-4\sqrt{3}}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{3 + \sqrt{3}}{2}}$
【知识点】
分式化简求值，因式分解，二次根式运算
【点评】
此类题型是中考常考题型，解题关键是熟练掌握因式分解的方法、分式的通分约分规则，先化简再求值的思路能有效提升运算效率和正确率，运算时要注意符号变换和约分的正确性。
【难度系数】
0.6
