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1. （2024·武汉中考）小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（
A.随机事件
B.不可能事件
C.必然事件
D.确定性事件
A
）A.随机事件
B.不可能事件
C.必然事件
D.确定性事件
答案
A 解析:两人同时出相同的手势,这个事件是随机事件,故选A.
解析
【分析】
解题思路：首先明确不同类型事件的核心定义，再结合游戏的实际结果可能性判断事件类型。第一步：先回忆各类事件的特征：必然事件是一定发生，不可能事件是一定不发生，二者统称为确定性事件；随机事件是可能发生也可能不发生的事件。第二步：分析题目中的事件：两人玩“石头、剪刀、布”时，出的手势可能相同，也可能不同，因此“同时出相同手势”这件事不是必然发生，也不是一定不发生，符合随机事件的特征。
【解析】
首先明确各类事件的定义：
1. 必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件；
2. 不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件；
3. 确定性事件：必然事件和不可能事件统称为确定性事件；
4. 随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。
两人做“石头、剪刀、布”游戏时，出手势的结果可能相同，也可能不同，因此“两人同时出相同的手势”这一事件可能发生也可能不发生，属于随机事件，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 随机事件的判定
2. 事件的分类
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对不同类型事件定义的理解与区分，掌握各类事件的本质特征（发生的确定性与不确定性）即可快速解题，是概率板块的常见基础考查题型。
【难度系数】
0.9
解题思路：首先明确不同类型事件的核心定义，再结合游戏的实际结果可能性判断事件类型。第一步：先回忆各类事件的特征：必然事件是一定发生，不可能事件是一定不发生，二者统称为确定性事件；随机事件是可能发生也可能不发生的事件。第二步：分析题目中的事件：两人玩“石头、剪刀、布”时，出的手势可能相同，也可能不同，因此“同时出相同手势”这件事不是必然发生，也不是一定不发生，符合随机事件的特征。
【解析】
首先明确各类事件的定义：
1. 必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件；
2. 不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件；
3. 确定性事件：必然事件和不可能事件统称为确定性事件；
4. 随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。
两人做“石头、剪刀、布”游戏时，出手势的结果可能相同，也可能不同，因此“两人同时出相同的手势”这一事件可能发生也可能不发生，属于随机事件，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 随机事件的判定
2. 事件的分类
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对不同类型事件定义的理解与区分，掌握各类事件的本质特征（发生的确定性与不确定性）即可快速解题，是概率板块的常见基础考查题型。
【难度系数】
0.9
2. 抛掷一枚质地均匀的硬币，若抛掷6次都是正面朝上，则抛掷第7次时（
A.正面朝上的可能性大
B.反面朝上的可能性大
C.正面朝上与反面朝上的可能性一样大
D.无法确定正面朝上与反面朝上的可能性哪个大
C
）A.正面朝上的可能性大
B.反面朝上的可能性大
C.正面朝上与反面朝上的可能性一样大
D.无法确定正面朝上与反面朝上的可能性哪个大
答案
C 解析:虽然连续抛掷一枚质地均匀的硬币6次都是正面朝上,但抛掷第7次正面朝上与反面朝上的可能性一样大.故选C.
解析
【分析】
解题时首先要明确两个核心点：一是质地均匀的硬币属于等可能试验，每次抛掷时正面朝上和反面朝上的概率本身是相等的；二是各次抛掷硬币的结果是相互独立的，前面抛掷的结果不会对后续抛掷的概率产生影响。因此不用被前6次都是正面朝上的条件干扰，直接判断第7次抛掷两种结果的可能性大小即可。
【解析】
已知抛掷的是质地均匀的硬币，单次抛掷时，正面朝上和反面朝上是等可能事件，二者发生的概率均为$\frac{1}{2}$；同时每次抛掷的结果相互独立，前6次的抛掷结果不会影响第7次的结果。因此抛掷第7次时，正面朝上与反面朝上的可能性一样大。故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 等可能事件概率
2. 独立事件特性
【点评】
本题是概率基础题，易错点是容易受前几次连续结果的误导，陷入“之前都是正面，这次反面概率更大”的错误认知，解题时要牢记独立等可能试验的概率不受往期结果影响，始终保持固定值。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确两个核心点：一是质地均匀的硬币属于等可能试验，每次抛掷时正面朝上和反面朝上的概率本身是相等的；二是各次抛掷硬币的结果是相互独立的，前面抛掷的结果不会对后续抛掷的概率产生影响。因此不用被前6次都是正面朝上的条件干扰，直接判断第7次抛掷两种结果的可能性大小即可。
【解析】
已知抛掷的是质地均匀的硬币，单次抛掷时，正面朝上和反面朝上是等可能事件，二者发生的概率均为$\frac{1}{2}$；同时每次抛掷的结果相互独立，前6次的抛掷结果不会影响第7次的结果。因此抛掷第7次时，正面朝上与反面朝上的可能性一样大。故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 等可能事件概率
2. 独立事件特性
【点评】
本题是概率基础题，易错点是容易受前几次连续结果的误导，陷入“之前都是正面，这次反面概率更大”的错误认知，解题时要牢记独立等可能试验的概率不受往期结果影响，始终保持固定值。
【难度系数】
0.7
3. ★★(泰州中考)事件A:打开电视,它正在播广告;事件B:抛掷一枚均匀的骰子,朝上的点数小于7;事件C:在标准大气压下,温度低于0 ℃时冰融化.3个事件的概率分别记为$P(A)$,$P(B)$,$P(C)$,则$P(A)$,$P(B)$,$P(C)$的大小关系正确的是 (
A.$P(C)＜P(A)=P(B)$
B.$P(C)＜P(A)＜P(B)$
C.$P(C)＜P(B)＜P(A)$
D.$P(A)＜P(B)＜P(C)$
B
)A.$P(C)＜P(A)=P(B)$
B.$P(C)＜P(A)＜P(B)$
C.$P(C)＜P(B)＜P(A)$
D.$P(A)＜P(B)＜P(C)$
答案
B 解析:事件A:打开电视,它正在播广告是随机事件,0＜P(A)＜1;
事件B:抛掷一枚均匀的骰子,朝上的点数小于7是必然事件,P(B)=1;
事件C:在标准大气压下,温度低于0 ℃时冰融化是不可能事件,P(C)=0.
∴ P(C)＜P(A)＜P(B).故选B.
事件B:抛掷一枚均匀的骰子,朝上的点数小于7是必然事件,P(B)=1;
事件C:在标准大气压下,温度低于0 ℃时冰融化是不可能事件,P(C)=0.
∴ P(C)＜P(A)＜P(B).故选B.
解析
【分析】
解题时首先要明确不同类型事件对应的概率取值范围：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率介于0和1之间。接下来分三步思考：第一步，分别判断三个事件所属的类型；第二步，对应写出每个事件概率的取值或取值范围；第三步，比较三个概率的大小即可得到结果。
【解析】
首先判断各事件的类型，对应得到概率：
1. 事件A：打开电视它正在播广告，属于随机事件，因此$0 ＜ P(A) ＜ 1$；
2. 事件B：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的点数只能是1~6，均小于7，属于必然事件，因此$P(B) = 1$；
3. 事件C：在标准大气压下，温度低于0℃时冰不会融化，属于不可能事件，因此$P(C) = 0$。
比较大小可得：$P(C) ＜ P(A) ＜ P(B)$，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
事件的分类、概率的意义、有理数大小比较
【点评】
本题属于基础题，主要考查不同类型事件对应的概率特征，解题的核心是准确区分必然事件、不可能事件和随机事件，掌握三类事件的概率取值范围即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确不同类型事件对应的概率取值范围：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率介于0和1之间。接下来分三步思考：第一步，分别判断三个事件所属的类型；第二步，对应写出每个事件概率的取值或取值范围；第三步，比较三个概率的大小即可得到结果。
【解析】
首先判断各事件的类型，对应得到概率：
1. 事件A：打开电视它正在播广告，属于随机事件，因此$0 ＜ P(A) ＜ 1$；
2. 事件B：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的点数只能是1~6，均小于7，属于必然事件，因此$P(B) = 1$；
3. 事件C：在标准大气压下，温度低于0℃时冰不会融化，属于不可能事件，因此$P(C) = 0$。
比较大小可得：$P(C) ＜ P(A) ＜ P(B)$，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
事件的分类、概率的意义、有理数大小比较
【点评】
本题属于基础题，主要考查不同类型事件对应的概率特征，解题的核心是准确区分必然事件、不可能事件和随机事件，掌握三类事件的概率取值范围即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 某班共有42名同学，其中有2名同学习惯用左手写字，其余同学都习惯用右手写字，老师随机请1名同学解答问题，习惯用左手写字的同学被选中的概率是（
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{21}$
C.$\frac{1}{42}$
D.1
B
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{21}$
C.$\frac{1}{42}$
D.1
答案
B 解析:
∵ 某班共有42名同学,其中有2名同学习惯用左手写字,其余同学都习惯用右手写字,
∴ 老师随机请1名同学解答问题,习惯用左手写字的同学被选中的概率是$\frac{2}{42}$=$\frac{1}{21}$.故选B.
∵ 某班共有42名同学,其中有2名同学习惯用左手写字,其余同学都习惯用右手写字,
∴ 老师随机请1名同学解答问题,习惯用左手写字的同学被选中的概率是$\frac{2}{42}$=$\frac{1}{21}$.故选B.
解析
【分析】
解决本题首先回忆等可能事件的概率计算思路：概率等于所求事件包含的情况数除以所有等可能的总情况数。第一步先确定总情况数：全班共42名同学，随机抽1人，总共有42种等可能的结果；第二步确定符合条件的情况数：习惯用左手写字的同学共2名，即符合要求的情况数为2；第三步代入公式计算，将结果约分为最简分数后对应选项即可。
【解析】
解：
∵ 全班共有42名同学，随机抽取1名同学时每名同学被选中的可能性相等，其中有2名同学习惯用左手写字，
∴ 习惯用左手写字的同学被选中的概率为：$\frac{2}{42}=\frac{1}{21}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 概率的计算
2. 分数化简
【点评】
本题是概率基础题，主要考查等可能事件的概率计算，只要牢记“概率=所求情况数÷总情况数”的公式，计算时注意将结果化为最简分数，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解决本题首先回忆等可能事件的概率计算思路：概率等于所求事件包含的情况数除以所有等可能的总情况数。第一步先确定总情况数：全班共42名同学，随机抽1人，总共有42种等可能的结果；第二步确定符合条件的情况数：习惯用左手写字的同学共2名，即符合要求的情况数为2；第三步代入公式计算，将结果约分为最简分数后对应选项即可。
【解析】
解：
∵ 全班共有42名同学，随机抽取1名同学时每名同学被选中的可能性相等，其中有2名同学习惯用左手写字，
∴ 习惯用左手写字的同学被选中的概率为：$\frac{2}{42}=\frac{1}{21}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 概率的计算
2. 分数化简
【点评】
本题是概率基础题，主要考查等可能事件的概率计算，只要牢记“概率=所求情况数÷总情况数”的公式，计算时注意将结果化为最简分数，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
5. (泸州中考)从1,2,3,4,5,5六个数中随机选取一个数,这个数恰为该组数据的众数的概率为 (
A.$\dfrac{1}{6}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{2}{3}$
B
)A.$\dfrac{1}{6}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{2}{3}$
答案
B 解析:1,2,3,4,5,5六个数中,数字5出现了2次,出现的次数最多,故这组数据的众数为5,所以从六个数中随机选取一个数,这个数恰为该组数据的众数的概率为$P=\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$.故选B.
解析
【分析】
要解决这道题需分两步思考：第一步先依据众数的定义找出这组数据的众数；第二步利用等可能事件的概率计算公式，求出选到众数的概率。首先回忆众数的概念：一组数据中出现次数最多的数即为众数，先统计每个数的出现次数确定众数，再统计总抽取结果数、抽中众数的结果数，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
首先确定该组数据的众数：在1、2、3、4、5、5这六个数中，1、2、3、4各出现1次，5出现2次，5的出现次数最多，因此该组数据的众数是5。
从6个数中随机选取1个数，共有6种等可能的结果，其中选到众数（即5）的结果有2种，根据概率公式可得：
$P=\frac{\mathrm{选到众数的结果数}}{\mathrm{总的等可能结果数}}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
众数的概念，简单概率计算
【点评】
本题属于基础题型，结合了统计中众数的定义和简单概率计算两个知识点，都是学科核心基础考点，掌握相关定义和公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题需分两步思考：第一步先依据众数的定义找出这组数据的众数；第二步利用等可能事件的概率计算公式，求出选到众数的概率。首先回忆众数的概念：一组数据中出现次数最多的数即为众数，先统计每个数的出现次数确定众数，再统计总抽取结果数、抽中众数的结果数，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
首先确定该组数据的众数：在1、2、3、4、5、5这六个数中，1、2、3、4各出现1次，5出现2次，5的出现次数最多，因此该组数据的众数是5。
从6个数中随机选取1个数，共有6种等可能的结果，其中选到众数（即5）的结果有2种，根据概率公式可得：
$P=\frac{\mathrm{选到众数的结果数}}{\mathrm{总的等可能结果数}}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
众数的概念，简单概率计算
【点评】
本题属于基础题型，结合了统计中众数的定义和简单概率计算两个知识点，都是学科核心基础考点，掌握相关定义和公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
6. ★★ 小颖有两件上衣，分别为红色和白色，有两条裤子，分别为黑色和白色，她随机拿出一件上衣和一条裤子穿上，恰好是白色上衣和白色裤子的概率是 (
A.$\dfrac{1}{6}$
B.$\dfrac{1}{4}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{2}{3}$
B
)A.$\dfrac{1}{6}$
B.$\dfrac{1}{4}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{2}{3}$
答案
B 解析:由题意,画出树状图如下:
由图可知,小颖随机拿出一件上衣和一条裤子穿上的所有等可能的结果共有4种,其中,恰好是白色上衣和白色裤子的结果有1种,则恰好是白色上衣和白色裤子的概率为$\frac{1}{4}$,故选B.
解析
【分析】
这是一道求两步随机事件概率的题目，解题思路如下：首先明确试验分两步完成，第一步选上衣，有2种等可能的选择，第二步选裤子，对应每件上衣都有2种等可能的选择；接下来用树状图法列举出所有等可能的搭配结果，保证结果不重不漏；再找出“恰好是白色上衣和白色裤子”的结果数，最后代入概率公式（概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数）计算即可。
【解析】
解：根据题意画树状图如下：
由树状图可知，小颖随机拿出一件上衣和一条裤子穿上的所有等可能结果共有4种，分别为：红色上衣配黑色裤子、红色上衣配白色裤子、白色上衣配黑色裤子、白色上衣配白色裤子。
其中恰好是白色上衣和白色裤子的结果有1种。
根据概率公式可得，所求概率为$\frac{1}{4}$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 树状图法求概率 2. 概率公式
【点评】
本题属于概率基础题型，解题的核心是通过树状图准确列举出所有等可能的事件结果，再对应找出符合要求的结果计算概率，掌握树状图的绘制方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
这是一道求两步随机事件概率的题目，解题思路如下：首先明确试验分两步完成，第一步选上衣，有2种等可能的选择，第二步选裤子，对应每件上衣都有2种等可能的选择；接下来用树状图法列举出所有等可能的搭配结果，保证结果不重不漏；再找出“恰好是白色上衣和白色裤子”的结果数，最后代入概率公式（概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数）计算即可。
【解析】
解：根据题意画树状图如下：
由树状图可知，小颖随机拿出一件上衣和一条裤子穿上的所有等可能结果共有4种，分别为：红色上衣配黑色裤子、红色上衣配白色裤子、白色上衣配黑色裤子、白色上衣配白色裤子。
其中恰好是白色上衣和白色裤子的结果有1种。
根据概率公式可得，所求概率为$\frac{1}{4}$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 树状图法求概率 2. 概率公式
【点评】
本题属于概率基础题型，解题的核心是通过树状图准确列举出所有等可能的事件结果，再对应找出符合要求的结果计算概率，掌握树状图的绘制方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
7. （赤峰中考）某校在劳动课上，设置了植树、种花、除草三个劳动项目.九年级一班和九年级二班都通过抽签的方式从这三个项目中随机抽取一个项目,则这两个班级恰好都抽到种花的概率是 (
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{1}{9}$
D
)A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{1}{9}$
答案
D 解析:设A,B,C分别表示植树、种花、除草三个劳动项目,列表如下,
| | A | B | C |
|----|----|----|----|
| A | AA | AB | AC |
| B | BA | BB | BC |
| C | CA | CB | CC |
共有9种等可能的结果,两个班级恰好都抽到种花的结果有1种,
∴ 这两个班级恰好都抽到种花的概率是$\frac{1}{9}$.故选D.
| | A | B | C |
|----|----|----|----|
| A | AA | AB | AC |
| B | BA | BB | BC |
| C | CA | CB | CC |
共有9种等可能的结果,两个班级恰好都抽到种花的结果有1种,
∴ 这两个班级恰好都抽到种花的概率是$\frac{1}{9}$.故选D.
解析
【分析】
本题属于等可能事件的概率计算问题，解题思路如下：首先明确两个班级抽取项目是相互独立的，每个班级抽到任意一个项目的可能性都相等。我们可以通过列表法枚举两个班级抽取项目的所有等可能结果，再统计出两个班级都抽到种花的结果数，最后根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算出所求概率即可。
【解析】
设A、B、C分别表示植树、种花、除草三个劳动项目，列表统计所有可能的抽取结果如下：
| | A | B | C |
|----|----|----|----|
| A | AA | AB | AC |
| B | BA | BB | BC |
| C | CA | CB | CC |
由表格可知，共有9种等可能的结果，其中两个班级恰好都抽到种花的结果只有BB这1种，
∴ 这两个班级恰好都抽到种花的概率是$\frac{1}{9}$。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
1. 列表法求概率
2. 古典概型计算
【点评】
本题是概率计算的基础题型，解题的核心是准确枚举所有等可能的结果，避免出现漏算、重复计算的情况，熟练掌握列表法或树状图法枚举结果是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
本题属于等可能事件的概率计算问题，解题思路如下：首先明确两个班级抽取项目是相互独立的，每个班级抽到任意一个项目的可能性都相等。我们可以通过列表法枚举两个班级抽取项目的所有等可能结果，再统计出两个班级都抽到种花的结果数，最后根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算出所求概率即可。
【解析】
设A、B、C分别表示植树、种花、除草三个劳动项目，列表统计所有可能的抽取结果如下：
| | A | B | C |
|----|----|----|----|
| A | AA | AB | AC |
| B | BA | BB | BC |
| C | CA | CB | CC |
由表格可知，共有9种等可能的结果，其中两个班级恰好都抽到种花的结果只有BB这1种，
∴ 这两个班级恰好都抽到种花的概率是$\frac{1}{9}$。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
1. 列表法求概率
2. 古典概型计算
【点评】
本题是概率计算的基础题型，解题的核心是准确枚举所有等可能的结果，避免出现漏算、重复计算的情况，熟练掌握列表法或树状图法枚举结果是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
8. ★★★ 在一个桌子上放着若干张背面向上的扑克牌，这些扑克牌背面图案相同，正面为3张方块、2张红桃和a张梅花。若从这些打乱的扑克牌中任意摸出1张扑克牌，这张扑克牌是梅花的概率为$\frac{1}{2}$，则a的值为（
A.4
B.5
C.6
D.7
B
）A.4
B.5
C.6
D.7
答案
B 解析:根据题意得$\frac{a}{a+3+2}$=$\frac{1}{2}$,解得a=5,经检验,a=5是原方程的根.故选B.
解析
【分析】
解决本题的核心是掌握简单概率的计算逻辑，概率等于所求事件对应的情况数除以所有等可能的总情况数。第一步先计算扑克牌总张数，即方块、红桃、梅花的张数之和；第二步根据摸出梅花的概率为$\frac{1}{2}$，结合概率公式列出关于a的分式方程；第三步解方程并检验根是否符合要求，即可得到a的值。
【解析】
解：由题意得，扑克牌总张数为$3+2+a=a+5$张。
根据概率公式，摸出梅花的概率=梅花张数÷总张数，可列方程：
$\frac{a}{3+2+a}=\frac{1}{2}$
整理得$\frac{a}{a+5}=\frac{1}{2}$
去分母得：$2a=a+5$
解得：$a=5$
检验：当$a=5$时，分母$a+5=10≠0$，因此$a=5$是原方程的解，且符合实际意义。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 简单概率计算
2. 分式方程求解
【点评】
本题是概率与方程结合的基础应用题，重点考查对概率公式的应用能力，解题时要注意分式方程求解后需检验根的合理性，计算总牌数时不要漏加梅花的张数a。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是掌握简单概率的计算逻辑，概率等于所求事件对应的情况数除以所有等可能的总情况数。第一步先计算扑克牌总张数，即方块、红桃、梅花的张数之和；第二步根据摸出梅花的概率为$\frac{1}{2}$，结合概率公式列出关于a的分式方程；第三步解方程并检验根是否符合要求，即可得到a的值。
【解析】
解：由题意得，扑克牌总张数为$3+2+a=a+5$张。
根据概率公式，摸出梅花的概率=梅花张数÷总张数，可列方程：
$\frac{a}{3+2+a}=\frac{1}{2}$
整理得$\frac{a}{a+5}=\frac{1}{2}$
去分母得：$2a=a+5$
解得：$a=5$
检验：当$a=5$时，分母$a+5=10≠0$，因此$a=5$是原方程的解，且符合实际意义。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 简单概率计算
2. 分式方程求解
【点评】
本题是概率与方程结合的基础应用题，重点考查对概率公式的应用能力，解题时要注意分式方程求解后需检验根的合理性，计算总牌数时不要漏加梅花的张数a。
【难度系数】
0.7
9. ★★★ 在质地和颜色都相同的三张卡片的正面分别写有-2,-1,1,将三张卡片背面朝上洗匀,从中抽出一张,并记为x,然后从余下的两张中再抽出一张,记为y,则点$(x,y)$在直线$y=-\frac{1}{2}x -1$上方的概率为 (
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.1
A
)A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.1
答案
A 解析:画树状图如下:
∵ 共有6种等可能的结果,点(x,y)在直线$y=-\frac{1}{2}x-1$上方的有(-2,1),(-1,1),(1,-1),共3种,
∴ 点(x,y)在直线$y=-\frac{1}{2}x-1$上方的概率为$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$.故选A.
解析
【分析】
要解决这道题，可按照以下思路逐步推导：第一步，本题是不放回抽取卡片的概率问题，可通过画树状图列举出所有等可能的(x,y)组合；第二步，明确点在直线上方的判定规则：对于相同的x值，若点的纵坐标y大于直线$y=-\frac{1}{2}x -1$对应的函数值，该点就在直线上方；第三步，逐一验证所有(x,y)组合是否符合要求，统计符合条件的结果数；第四步，根据概率公式计算最终概率即可。
【解析】
根据题意画树状图如下：
由树状图可得，共有6种等可能的结果，分别为$(-2,-1)、(-2,1)、(-1,-2)、(-1,1)、(1,-2)、(1,-1)$。
点在直线$y=-\frac{1}{2}x -1$上方的判定条件为：点的纵坐标$y ＞ -\frac{1}{2}x -1$，逐一验证：
1. 当$x=-2$时，直线对应的函数值为$-\frac{1}{2}×(-2)-1=0$，$(-2,-1)$中$y=-1＜0$，不符合要求；$(-2,1)$中$y=1＞0$，符合要求；
2. 当$x=-1$时，直线对应的函数值为$-\frac{1}{2}×(-1)-1=-0.5$，$(-1,-2)$中$y=-2＜-0.5$，不符合要求；$(-1,1)$中$y=1＞-0.5$，符合要求；
3. 当$x=1$时，直线对应的函数值为$-\frac{1}{2}×1 -1=-1.5$，$(1,-2)$中$y=-2＜-1.5$，不符合要求；$(1,-1)$中$y=-1＞-1.5$，符合要求。
综上，符合条件的结果共有3种，因此点$(x,y)$在直线$y=-\frac{1}{2}x -1$上方的概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
【答案】A
【知识点】
树状图法求概率，一次函数图象性质，概率公式
【点评】
本题是概率与一次函数的综合题，既考查了用树状图列举所有等可能结果的方法，也考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的核心是正确理解点在直线上方对应的坐标大小关系，需要学生熟练掌握两类知识点并灵活结合运用。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，可按照以下思路逐步推导：第一步，本题是不放回抽取卡片的概率问题，可通过画树状图列举出所有等可能的(x,y)组合；第二步，明确点在直线上方的判定规则：对于相同的x值，若点的纵坐标y大于直线$y=-\frac{1}{2}x -1$对应的函数值，该点就在直线上方；第三步，逐一验证所有(x,y)组合是否符合要求，统计符合条件的结果数；第四步，根据概率公式计算最终概率即可。
【解析】
根据题意画树状图如下：
由树状图可得，共有6种等可能的结果，分别为$(-2,-1)、(-2,1)、(-1,-2)、(-1,1)、(1,-2)、(1,-1)$。
点在直线$y=-\frac{1}{2}x -1$上方的判定条件为：点的纵坐标$y ＞ -\frac{1}{2}x -1$，逐一验证：
1. 当$x=-2$时，直线对应的函数值为$-\frac{1}{2}×(-2)-1=0$，$(-2,-1)$中$y=-1＜0$，不符合要求；$(-2,1)$中$y=1＞0$，符合要求；
2. 当$x=-1$时，直线对应的函数值为$-\frac{1}{2}×(-1)-1=-0.5$，$(-1,-2)$中$y=-2＜-0.5$，不符合要求；$(-1,1)$中$y=1＞-0.5$，符合要求；
3. 当$x=1$时，直线对应的函数值为$-\frac{1}{2}×1 -1=-1.5$，$(1,-2)$中$y=-2＜-1.5$，不符合要求；$(1,-1)$中$y=-1＞-1.5$，符合要求。
综上，符合条件的结果共有3种，因此点$(x,y)$在直线$y=-\frac{1}{2}x -1$上方的概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
【答案】A
【知识点】
树状图法求概率，一次函数图象性质，概率公式
【点评】
本题是概率与一次函数的综合题，既考查了用树状图列举所有等可能结果的方法，也考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的核心是正确理解点在直线上方对应的坐标大小关系，需要学生熟练掌握两类知识点并灵活结合运用。
【难度系数】
0.6
10. ★★★ 如图，一个圆内接于一个正六边形，若随机向正六边形内部投掷一粒大米，则大米落在阴影部分的概率是（
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{6}$
B
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{6}$
答案
B 解析:如图,
∵ 圆内接于一个正六边形,
∴ AB = BC = CD = DE = EF = FA,
∴ ∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOE = ∠EOF = ∠FOA = 360°÷6 = 60°,OG ⊥ AB.
∵ OA = OB = OC = OD = OE = OF,
∴ △AOB为等边三角形,且$S_{△ AOB}$ = $\frac{1}{6}S_{正六边形ABCDEF}$,
∴ ∠AOG = ∠BOG = 30°.
∵ OG ⊥ AB,
∴ ∠OGB=∠OGA=90°,
∴ △BOG≌△AOG,
∴ $S_{△ BOG}=S_{△ AOG}$ = $\frac{1}{2}S_{△ AOB}$ = $\frac{1}{12}S_{正六边形ABCDEF}$,
∴ $S_{阴影}:S_{正六边形ABCDEF}$ = 4 : 12,
∴ 大米落在阴影部分的概率是$\frac{4}{12}$=$\frac{1}{3}$.故选B.
解析
【分析】
这是一道几何概率求解问题，解题核心是求出阴影部分面积与正六边形总面积的比值。首先可利用正六边形的性质，将正六边形分割为若干个面积相等的小三角形，再判断阴影部分包含多少个这样的小三角形，进而求出面积比得到概率。具体思考路径：第一步回忆正六边形的性质，正六边形的中心与各顶点连线可将正六边形分为6个全等的等边三角形；第二步每个等边三角形的高就是内切圆的半径，它会将等边三角形分为两个面积相等的小直角三角形，由此可求出每个小直角三角形占正六边形总面积的比例；第三步数出阴影部分包含的小直角三角形个数，计算面积比即得概率。
【解析】
∵ 圆内接于正六边形ABCDEF，
∴ 正六边形各边相等，中心O与各顶点的连线将正六边形分为6个全等的等边三角形，即$∠ AOB=∠ BOC=∠ COD=∠ DOE=∠ EOF=∠ FOA=360°÷6=60°$，$OA=OB=OC=OD=OE=OF$，
∴ $S_{△ AOB}=S_{△ BOC}=S_{△ COD}=S_{△ DOE}=S_{△ EOF}=S_{△ FOA}=\frac{1}{6}S_{正六边形ABCDEF}$。
又
∵ OG是内切圆的半径，即$OG⊥ AB$，
∴ OG是等边$△ AOB$的高，$△ BOG≌△ AOG$，
∴ $S_{△ BOG}=S_{△ AOG}=\frac{1}{2}S_{△ AOB}=\frac{1}{12}S_{正六边形ABCDEF}$。
观察图形可知阴影部分共包含4个这样的小三角形，
∴ $S_{阴影}=\frac{4}{12}S_{正六边形ABCDEF}=\frac{1}{3}S_{正六边形ABCDEF}$，
因此大米落在阴影部分的概率$P=\frac{S_{阴影}}{S_{正六边形ABCDEF}}=\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
1. 几何概率计算
2. 正六边形的性质
3. 等边三角形的性质
【点评】
本题将正多边形性质与几何概率相结合，解题的关键是利用正六边形的对称性对图形进行合理分割，求出阴影部分与总面积的比值，侧重考察学生的图形观察能力和分割转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
这是一道几何概率求解问题，解题核心是求出阴影部分面积与正六边形总面积的比值。首先可利用正六边形的性质，将正六边形分割为若干个面积相等的小三角形，再判断阴影部分包含多少个这样的小三角形，进而求出面积比得到概率。具体思考路径：第一步回忆正六边形的性质，正六边形的中心与各顶点连线可将正六边形分为6个全等的等边三角形；第二步每个等边三角形的高就是内切圆的半径，它会将等边三角形分为两个面积相等的小直角三角形，由此可求出每个小直角三角形占正六边形总面积的比例；第三步数出阴影部分包含的小直角三角形个数，计算面积比即得概率。
【解析】
∵ 圆内接于正六边形ABCDEF，
∴ 正六边形各边相等，中心O与各顶点的连线将正六边形分为6个全等的等边三角形，即$∠ AOB=∠ BOC=∠ COD=∠ DOE=∠ EOF=∠ FOA=360°÷6=60°$，$OA=OB=OC=OD=OE=OF$，
∴ $S_{△ AOB}=S_{△ BOC}=S_{△ COD}=S_{△ DOE}=S_{△ EOF}=S_{△ FOA}=\frac{1}{6}S_{正六边形ABCDEF}$。
又
∵ OG是内切圆的半径，即$OG⊥ AB$，
∴ OG是等边$△ AOB$的高，$△ BOG≌△ AOG$，
∴ $S_{△ BOG}=S_{△ AOG}=\frac{1}{2}S_{△ AOB}=\frac{1}{12}S_{正六边形ABCDEF}$。
观察图形可知阴影部分共包含4个这样的小三角形，
∴ $S_{阴影}=\frac{4}{12}S_{正六边形ABCDEF}=\frac{1}{3}S_{正六边形ABCDEF}$，
因此大米落在阴影部分的概率$P=\frac{S_{阴影}}{S_{正六边形ABCDEF}}=\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
1. 几何概率计算
2. 正六边形的性质
3. 等边三角形的性质
【点评】
本题将正多边形性质与几何概率相结合，解题的关键是利用正六边形的对称性对图形进行合理分割，求出阴影部分与总面积的比值，侧重考察学生的图形观察能力和分割转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
