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8.已知AD是△ABC的高，∠BAD=60°，∠CAD=20°，则∠BAC的度数为（
A.80°
B.80°或40°
C.40°
D.40°或60°
B
）A.80°
B.80°或40°
C.40°
D.40°或60°
答案
8.B
解析
【分析】
解题时需注意三角形的高可能位于三角形内部，也可能位于三角形外部，因此要分两种情况讨论计算∠BAC的度数：①当高AD在△ABC内部时，∠BAC为∠BAD与∠CAD的和；②当高AD在△ABC外部时，∠BAC为∠BAD与∠CAD的差，最后汇总两种情况的结果即可。
【解析】
本题分两种情况讨论：
1. 当高AD在△ABC的内部时：
∠BAC = ∠BAD + ∠CAD
代入∠BAD=60°，∠CAD=20°，得∠BAC=60°+20°=80°；
2. 当高AD在△ABC的外部时（此时△ABC为钝角三角形）：
∠BAC = ∠BAD - ∠CAD
代入角度数计算得∠BAC=60°-20°=40°；
综上，∠BAC的度数为80°或40°，故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形的高，角度计算，分类讨论
【点评】
本题易错点是默认高在三角形内部，忽略高在外部的情况从而漏解，解题时要全面考虑三角形高的位置的多种可能性，避免思维定式。
【难度系数】
0.7
解题时需注意三角形的高可能位于三角形内部，也可能位于三角形外部，因此要分两种情况讨论计算∠BAC的度数：①当高AD在△ABC内部时，∠BAC为∠BAD与∠CAD的和；②当高AD在△ABC外部时，∠BAC为∠BAD与∠CAD的差，最后汇总两种情况的结果即可。
【解析】
本题分两种情况讨论：
1. 当高AD在△ABC的内部时：
∠BAC = ∠BAD + ∠CAD
代入∠BAD=60°，∠CAD=20°，得∠BAC=60°+20°=80°；
2. 当高AD在△ABC的外部时（此时△ABC为钝角三角形）：
∠BAC = ∠BAD - ∠CAD
代入角度数计算得∠BAC=60°-20°=40°；
综上，∠BAC的度数为80°或40°，故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形的高，角度计算，分类讨论
【点评】
本题易错点是默认高在三角形内部，忽略高在外部的情况从而漏解，解题时要全面考虑三角形高的位置的多种可能性，避免思维定式。
【难度系数】
0.7
9.如图,在$△ ABC$中,$AC=8$,$BC=6$,$AD$,$BE$分别是边$BC$,$AC$上的高,且$AD=6$,则$BE$的长为
4.5
.答案
9.4.5
解析
【分析】
解题的核心是利用同一个三角形面积不变的性质。我们可以选择两组不同的底和对应的高来计算△ABC的面积，两次计算的面积相等，据此建立关于BE的等式，代入已知数值即可求出BE的长度。首先确定两组底和对应高：以BC为底时，对应高是AD；以AC为底时，对应高是BE，结合面积公式列等式求解即可。
【解析】
三角形的面积公式为$ S = \frac{1}{2} × 底 × 对应高 $。
因为$ △ ABC $的面积是固定的，因此分别以BC、AC为底计算面积时结果相等：
$ S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × AC × BE $
两边同时约去$ \frac{1}{2} $，可得：$ BC × AD = AC × BE $
将$ AC=8 $，$ BC=6 $，$ AD=6 $代入上式：
$ 6 × 6 = 8 × BE $
解得：$ BE = \frac{36}{8} = 4.5 $
【答案】
4.5
【知识点】
三角形的高；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，考查等积法在求三角形高线长度中的应用，解题的关键是抓住同一个三角形面积不变，选取合适的底和对应高建立等式求解，计算量小，掌握三角形面积公式即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
解题的核心是利用同一个三角形面积不变的性质。我们可以选择两组不同的底和对应的高来计算△ABC的面积，两次计算的面积相等，据此建立关于BE的等式，代入已知数值即可求出BE的长度。首先确定两组底和对应高：以BC为底时，对应高是AD；以AC为底时，对应高是BE，结合面积公式列等式求解即可。
【解析】
三角形的面积公式为$ S = \frac{1}{2} × 底 × 对应高 $。
因为$ △ ABC $的面积是固定的，因此分别以BC、AC为底计算面积时结果相等：
$ S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × AC × BE $
两边同时约去$ \frac{1}{2} $，可得：$ BC × AD = AC × BE $
将$ AC=8 $，$ BC=6 $，$ AD=6 $代入上式：
$ 6 × 6 = 8 × BE $
解得：$ BE = \frac{36}{8} = 4.5 $
【答案】
4.5
【知识点】
三角形的高；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，考查等积法在求三角形高线长度中的应用，解题的关键是抓住同一个三角形面积不变，选取合适的底和对应高建立等式求解，计算量小，掌握三角形面积公式即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
10.如图，在$△ ABC$中，点$D$，$E$，$F$分别为$BC$，$AD$，$CE$的中点，且$S_{△ ABC}=4\ \mathrm{cm}^2$，则阴影部分的面积为
1
$\mathrm{cm}^2$。答案
10.1
解析
【分析】
解题核心是利用三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个等底同高、面积相等的小三角形。我们可以逐层推导面积：首先由D是BC中点，推出△ABD、△ACD的面积均为△ABC的一半；再由E是AD中点，推出△BED、△CED分别是△ABD、△ACD的一半，相加得到△BCE的面积；最后由F是CE中点，推出阴影部分面积是△BCE的一半，即可得到结果。
【解析】
解：
∵点D是BC的中点，三角形中线将三角形分为面积相等的两部分，
∴$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}^2$。
∵点E是AD的中点，
∴$S_{△ BED}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=1\ \mathrm{cm}^2$，$S_{△ CED}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}=1\ \mathrm{cm}^2$，
∴$S_{△ BCE}=S_{△ BED}+S_{△ CED}=1+1=2\ \mathrm{cm}^2$。
∵点F是CE的中点，
∴$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ BEF}=\frac{1}{2}S_{△ BCE}=\frac{1}{2}×2=1\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
1
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是三角形中线性质的典型应用，解题时只需按照中线的等分面积规律，从大到小逐层推导各部分面积即可，解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
解题核心是利用三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个等底同高、面积相等的小三角形。我们可以逐层推导面积：首先由D是BC中点，推出△ABD、△ACD的面积均为△ABC的一半；再由E是AD中点，推出△BED、△CED分别是△ABD、△ACD的一半，相加得到△BCE的面积；最后由F是CE中点，推出阴影部分面积是△BCE的一半，即可得到结果。
【解析】
解：
∵点D是BC的中点，三角形中线将三角形分为面积相等的两部分，
∴$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}^2$。
∵点E是AD的中点，
∴$S_{△ BED}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=1\ \mathrm{cm}^2$，$S_{△ CED}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}=1\ \mathrm{cm}^2$，
∴$S_{△ BCE}=S_{△ BED}+S_{△ CED}=1+1=2\ \mathrm{cm}^2$。
∵点F是CE的中点，
∴$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ BEF}=\frac{1}{2}S_{△ BCE}=\frac{1}{2}×2=1\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
1
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是三角形中线性质的典型应用，解题时只需按照中线的等分面积规律，从大到小逐层推导各部分面积即可，解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
11.如图，在$△ ABC$中，AD为边BC上的高，点E为边BC的中点，连接AE.若$AD=4$，$△ ABC$的面积为20，求BE的长. 
答案
11.5
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步，先利用三角形的面积公式，已知高AD和△ABC的面积，反向求解底边BC的长度；第二步，根据三角形中线的性质，点E是BC中点，可知BE的长度是BC的一半，代入BC的长度即可求出BE的长。
【解析】
解：
∵AD是BC边上的高，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD$，
将$S_{△ ABC}=20$，$AD=4$代入得：
$20=\frac{1}{2} × BC × 4$，
化简得$2BC=20$，解得$BC=10$。
又
∵点E是BC的中点，
∴$BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2} × 10=5$。
【答案】
5
【知识点】
三角形面积计算，三角形中线的性质，三角形的高
【点评】
本题属于基础题，主要考查三角形面积公式和中线性质的综合运用，解题的关键是先通过已知的面积和高求出底边BC的长度，再结合中线的性质即可得到结果，只要熟练掌握相关基础概念就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
解题思路分为两步：第一步，先利用三角形的面积公式，已知高AD和△ABC的面积，反向求解底边BC的长度；第二步，根据三角形中线的性质，点E是BC中点，可知BE的长度是BC的一半，代入BC的长度即可求出BE的长。
【解析】
解：
∵AD是BC边上的高，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD$，
将$S_{△ ABC}=20$，$AD=4$代入得：
$20=\frac{1}{2} × BC × 4$，
化简得$2BC=20$，解得$BC=10$。
又
∵点E是BC的中点，
∴$BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2} × 10=5$。
【答案】
5
【知识点】
三角形面积计算，三角形中线的性质，三角形的高
【点评】
本题属于基础题，主要考查三角形面积公式和中线性质的综合运用，解题的关键是先通过已知的面积和高求出底边BC的长度，再结合中线的性质即可得到结果，只要熟练掌握相关基础概念就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
12.如图，$△ ABC$的边$BC$上的高为$AF$，中线为$AD$，边$AC$上的高为$BG$，已知$AF=6$，$BD=10$，$BG=5$.
(1)求$△ ABC$的面积；
(2)求$AC$的长.
(1)求$△ ABC$的面积；
(2)求$AC$的长.
答案
12.(1)60 (2)24
解析
【分析】
(1) 求△ABC的面积需要知道底边长度和对应高，已知BC边上的高AF，所以先求BC的长。根据AD是三角形中线的性质，中线平分对边，可得BC=2BD，代入已知BD的长度就能得到BC，再用三角形面积公式计算即可。
(2) 同一个三角形的面积可以用不同的底和对应高计算，已知AC边上的高BG，且第一问已经求出△ABC的面积，代入面积公式反推即可求出AC的长度。
【解析】
(1)
∵AD是△ABC的中线，BD=10
∴BC=2BD=2×10=20
又
∵BC边上的高AF=6
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AF = \frac{1}{2} × 20 × 6 = 60$
(2)
∵AC边上的高BG=5，三角形面积也可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BG$
将$S_{△ ABC}=60$，BG=5代入得：
$60 = \frac{1}{2} × AC × 5$
解得$AC = \frac{60 × 2}{5} = 24$
【答案】
(1)60；(2)24
【知识点】
三角形中线性质；三角形面积公式；三角形的高的定义
【点评】
本题考查三角形基础概念和面积公式的应用，解题关键是掌握三角形中线等分对边的性质，以及同一三角形面积的不同表示方法，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
(1) 求△ABC的面积需要知道底边长度和对应高，已知BC边上的高AF，所以先求BC的长。根据AD是三角形中线的性质，中线平分对边，可得BC=2BD，代入已知BD的长度就能得到BC，再用三角形面积公式计算即可。
(2) 同一个三角形的面积可以用不同的底和对应高计算，已知AC边上的高BG，且第一问已经求出△ABC的面积，代入面积公式反推即可求出AC的长度。
【解析】
(1)
∵AD是△ABC的中线，BD=10
∴BC=2BD=2×10=20
又
∵BC边上的高AF=6
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AF = \frac{1}{2} × 20 × 6 = 60$
(2)
∵AC边上的高BG=5，三角形面积也可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BG$
将$S_{△ ABC}=60$，BG=5代入得：
$60 = \frac{1}{2} × AC × 5$
解得$AC = \frac{60 × 2}{5} = 24$
【答案】
(1)60；(2)24
【知识点】
三角形中线性质；三角形面积公式；三角形的高的定义
【点评】
本题考查三角形基础概念和面积公式的应用，解题关键是掌握三角形中线等分对边的性质，以及同一三角形面积的不同表示方法，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
