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1. 比较下列各组数的大小：
(1) $\sqrt{35}$和6；
(2) $\sqrt{3}+\sqrt{5}$与$\sqrt{2}+\sqrt{6}$。
(1) $\sqrt{35}$和6；
(2) $\sqrt{3}+\sqrt{5}$与$\sqrt{2}+\sqrt{6}$。
答案
(1) 解:$\because (\sqrt{35})^2=35,6^2=36,35＜36,\therefore \sqrt{35}＜6.$
(2) 解:$\because (\sqrt{3}+\sqrt{5})^2=3+2 \sqrt{15}+5=8+2 \sqrt{15},$
$(\sqrt{2}+\sqrt{6})^2=2+2 \sqrt{12}+6=8+2 \sqrt{12},8+2 \sqrt{15}＞8+2 \sqrt{12},\therefore \sqrt{3}+\sqrt{5}＞\sqrt{2}+\sqrt{6}.$
(2) 解:$\because (\sqrt{3}+\sqrt{5})^2=3+2 \sqrt{15}+5=8+2 \sqrt{15},$
$(\sqrt{2}+\sqrt{6})^2=2+2 \sqrt{12}+6=8+2 \sqrt{12},8+2 \sqrt{15}＞8+2 \sqrt{12},\therefore \sqrt{3}+\sqrt{5}＞\sqrt{2}+\sqrt{6}.$
解析
【分析】
比较带二次根式的正数的大小时，常用平方法：因为正数的平方越大，对应原数就越大，平方运算可以去掉根号，将无理数的大小比较转化为有理数或更简单的无理数的大小比较。(1)是单个二次根式和整数比较，分别平方后可直接转化为两个整数的大小比较；(2)是两个二次根式的和比较，两个式子均为正数，分别平方后用完全平方公式展开，消去相同的整数部分后，只需比较剩余含根号项的大小即可。
【解析】
(1) 已知$\sqrt{35}$和6均为正数，分别计算两者的平方：
$(\sqrt{35})^2=35$，$6^2=36$，
因为$35＜36$，所以$\sqrt{35}＜6$。
(2) 已知$\sqrt{3}+\sqrt{5}＞0$，$\sqrt{2}+\sqrt{6}＞0$，分别计算两者的平方：
$(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2=(\sqrt{3})^2+2×\sqrt{3}×\sqrt{5}+(\sqrt{5})^2=3+2\sqrt{15}+5=8+2\sqrt{15}$，
$(\sqrt{2}+\sqrt{6})^2=(\sqrt{2})^2+2×\sqrt{2}×\sqrt{6}+(\sqrt{6})^2=2+2\sqrt{12}+6=8+2\sqrt{12}$，
因为$\sqrt{15}＞\sqrt{12}$，所以$8+2\sqrt{15}＞8+2\sqrt{12}$，
所以$\sqrt{3}+\sqrt{5}＞\sqrt{2}+\sqrt{6}$。
【答案】
(1) $\sqrt{35}＜6$；(2) $\sqrt{3}+\sqrt{5}＞\sqrt{2}+\sqrt{6}$
【知识点】
二次根式的性质，实数大小比较，完全平方公式
【点评】
本题是二次根式大小比较的典型题目，用到的平方法是二次根式大小比较的常用技巧，核心是利用正数平方与原数的大小一致性，将带根号的数转化为易比较的形式，熟练掌握该方法可快速解决同类大小比较问题。
【难度系数】
0.75
比较带二次根式的正数的大小时，常用平方法：因为正数的平方越大，对应原数就越大，平方运算可以去掉根号，将无理数的大小比较转化为有理数或更简单的无理数的大小比较。(1)是单个二次根式和整数比较，分别平方后可直接转化为两个整数的大小比较；(2)是两个二次根式的和比较，两个式子均为正数，分别平方后用完全平方公式展开，消去相同的整数部分后，只需比较剩余含根号项的大小即可。
【解析】
(1) 已知$\sqrt{35}$和6均为正数，分别计算两者的平方：
$(\sqrt{35})^2=35$，$6^2=36$，
因为$35＜36$，所以$\sqrt{35}＜6$。
(2) 已知$\sqrt{3}+\sqrt{5}＞0$，$\sqrt{2}+\sqrt{6}＞0$，分别计算两者的平方：
$(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2=(\sqrt{3})^2+2×\sqrt{3}×\sqrt{5}+(\sqrt{5})^2=3+2\sqrt{15}+5=8+2\sqrt{15}$，
$(\sqrt{2}+\sqrt{6})^2=(\sqrt{2})^2+2×\sqrt{2}×\sqrt{6}+(\sqrt{6})^2=2+2\sqrt{12}+6=8+2\sqrt{12}$，
因为$\sqrt{15}＞\sqrt{12}$，所以$8+2\sqrt{15}＞8+2\sqrt{12}$，
所以$\sqrt{3}+\sqrt{5}＞\sqrt{2}+\sqrt{6}$。
【答案】
(1) $\sqrt{35}＜6$；(2) $\sqrt{3}+\sqrt{5}＞\sqrt{2}+\sqrt{6}$
【知识点】
二次根式的性质，实数大小比较，完全平方公式
【点评】
本题是二次根式大小比较的典型题目，用到的平方法是二次根式大小比较的常用技巧，核心是利用正数平方与原数的大小一致性，将带根号的数转化为易比较的形式，熟练掌握该方法可快速解决同类大小比较问题。
【难度系数】
0.75
2. 比较$\frac{\sqrt{23}-3}{4}$与$\frac{1}{2}$的大小.
答案
解:$\because \frac{\sqrt{23}-3}{4}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{23}-5}{4}=\frac{\sqrt{23}-\sqrt{25}}{4}＜0,\therefore \frac{\sqrt{23}-3}{4}＜\frac{1}{2}.$
解析
【分析】
比较两个实数的大小可优先采用作差法：若两数的差大于0，则被减数更大；若差小于0，则减数更大；若差等于0，则两数相等。本题先将两个分数作差，通分化简后，把整数转化为带根号的形式，再根据“被开方数越大，对应的算术平方根越大”判断差的正负，即可得出两数的大小关系。
【解析】
利用作差法比较大小：
$\frac{\sqrt{23}-3}{4}-\frac{1}{2}$
$=\frac{\sqrt{23}-3}{4}-\frac{2}{4}$
$=\frac{\sqrt{23}-3-2}{4}$
$=\frac{\sqrt{23}-5}{4}$
因为$5=\sqrt{25}$，且$23＜25$，所以$\sqrt{23}＜\sqrt{25}$，即$\sqrt{23}-5＜0$，
因此$\frac{\sqrt{23}-5}{4}＜0$，
所以$\frac{\sqrt{23}-3}{4}＜\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{23}-3}{4}＜\frac{1}{2}$
【知识点】
作差法比较实数大小；二次根式大小比较
【点评】
本题是二次根式大小比较的基础题型，重点考查作差法的应用，解题的关键是将作差后的结果转化为可直接判断正负的形式，结合二次根式的大小判断规则即可快速解题，熟练掌握该方法可解决多数二次根式相关的大小比较问题。
【难度系数】
0.8
比较两个实数的大小可优先采用作差法：若两数的差大于0，则被减数更大；若差小于0，则减数更大；若差等于0，则两数相等。本题先将两个分数作差，通分化简后，把整数转化为带根号的形式，再根据“被开方数越大，对应的算术平方根越大”判断差的正负，即可得出两数的大小关系。
【解析】
利用作差法比较大小：
$\frac{\sqrt{23}-3}{4}-\frac{1}{2}$
$=\frac{\sqrt{23}-3}{4}-\frac{2}{4}$
$=\frac{\sqrt{23}-3-2}{4}$
$=\frac{\sqrt{23}-5}{4}$
因为$5=\sqrt{25}$，且$23＜25$，所以$\sqrt{23}＜\sqrt{25}$，即$\sqrt{23}-5＜0$，
因此$\frac{\sqrt{23}-5}{4}＜0$，
所以$\frac{\sqrt{23}-3}{4}＜\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{23}-3}{4}＜\frac{1}{2}$
【知识点】
作差法比较实数大小；二次根式大小比较
【点评】
本题是二次根式大小比较的基础题型，重点考查作差法的应用，解题的关键是将作差后的结果转化为可直接判断正负的形式，结合二次根式的大小判断规则即可快速解题，熟练掌握该方法可解决多数二次根式相关的大小比较问题。
【难度系数】
0.8
3. 比较$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}$与$\frac{\sqrt{5}}{2}$的大小.
答案
解:$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}÷\frac{\sqrt{5}}{2}=\sqrt{\frac{7}{5}}×\sqrt{\frac{4}{5}}=\sqrt{\frac{28}{25}}.$
$\because \frac{28}{25}＞1,\therefore \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}＞\frac{\sqrt{5}}{2}.$
$\because \frac{28}{25}＞1,\therefore \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}＞\frac{\sqrt{5}}{2}.$
解析
【分析】
要比较两个正实数的大小，可采用作商法：对于正数a和b，若$a÷ b＞1$，则$a＞b$；若$a÷ b＜1$，则$a＜b$。本题中两个要比较的数都是含二次根式的正分式，作商后可利用二次根式的乘除法则化简，再将化简结果与1比较，就能快速得出大小关系。
【解析】
∵ 要比较的$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}$和$\frac{\sqrt{5}}{2}$均为正数，可采用作商法比较大小：
$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}÷\frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}×\frac{2}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{7}{5}}×\sqrt{\frac{4}{5}}=\sqrt{\frac{28}{25}}$
∵ $\frac{28}{25}＞1$，
∴ $\sqrt{\frac{28}{25}}＞1$，即$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}÷\frac{\sqrt{5}}{2}＞1$
∴ $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}＞\frac{\sqrt{5}}{2}$
【答案】
$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}＞\frac{\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
1.二次根式乘除运算 2.实数大小比较
【点评】
本题考查二次根式大小比较的常用技巧，作商法是处理两个正数大小比较的简便方法，解题时需正确运用二次根式乘除法则化简，再将结果和1对比即可得出结论，是二次根式模块的基础方法类题型。
【难度系数】
0.8
要比较两个正实数的大小，可采用作商法：对于正数a和b，若$a÷ b＞1$，则$a＞b$；若$a÷ b＜1$，则$a＜b$。本题中两个要比较的数都是含二次根式的正分式，作商后可利用二次根式的乘除法则化简，再将化简结果与1比较，就能快速得出大小关系。
【解析】
∵ 要比较的$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}$和$\frac{\sqrt{5}}{2}$均为正数，可采用作商法比较大小：
$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}÷\frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}×\frac{2}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{7}{5}}×\sqrt{\frac{4}{5}}=\sqrt{\frac{28}{25}}$
∵ $\frac{28}{25}＞1$，
∴ $\sqrt{\frac{28}{25}}＞1$，即$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}÷\frac{\sqrt{5}}{2}＞1$
∴ $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}＞\frac{\sqrt{5}}{2}$
【答案】
$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}＞\frac{\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
1.二次根式乘除运算 2.实数大小比较
【点评】
本题考查二次根式大小比较的常用技巧，作商法是处理两个正数大小比较的简便方法，解题时需正确运用二次根式乘除法则化简，再将结果和1对比即可得出结论，是二次根式模块的基础方法类题型。
【难度系数】
0.8
4. 已知$a=\sqrt{12}-\sqrt{11},b=\sqrt{11}-\sqrt{10}$，比较$a$，$b$的大小。
答案
解:$\frac{1}{a}=\frac{1}{\sqrt{12}-\sqrt{11}}=\sqrt{12}+\sqrt{11}$；
$\frac{1}{b}=\frac{1}{\sqrt{11}-\sqrt{10}}=\sqrt{11}+\sqrt{10}.\because \sqrt{12}+\sqrt{11}＞\sqrt{11}+\sqrt{10},\therefore \frac{1}{a}＞\frac{1}{b}.$ 又$\because a＞0,b＞0,\therefore a＜b.$
$\frac{1}{b}=\frac{1}{\sqrt{11}-\sqrt{10}}=\sqrt{11}+\sqrt{10}.\because \sqrt{12}+\sqrt{11}＞\sqrt{11}+\sqrt{10},\therefore \frac{1}{a}＞\frac{1}{b}.$ 又$\because a＞0,b＞0,\therefore a＜b.$
解析
【分析】
观察a、b的结构，均为两个相邻二次根式的差，直接作差或计算近似值不够简便且不严谨。由于a、b均为正数，可尝试用倒数法比较大小：先分别求出a、b的倒数，通过分母有理化将倒数转化为两个二次根式的和的形式，再比较倒数的大小，最后根据“正数中，倒数越大，原数越小”的性质即可得出a、b的大小关系。
【解析】
首先对a、b分别求倒数并进行分母有理化：
$\frac{1}{a}=\frac{1}{\sqrt{12}-\sqrt{11}}=\frac{\sqrt{12}+\sqrt{11}}{(\sqrt{12}-\sqrt{11})(\sqrt{12}+\sqrt{11})}=\sqrt{12}+\sqrt{11}$
$\frac{1}{b}=\frac{1}{\sqrt{11}-\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{11}+\sqrt{10}}{(\sqrt{11}-\sqrt{10})(\sqrt{11}+\sqrt{10})}=\sqrt{11}+\sqrt{10}$
比较两个倒数的大小：$\because \sqrt{12}+\sqrt{11}＞\sqrt{11}+\sqrt{10}$，$\therefore \frac{1}{a}＞\frac{1}{b}$
又$\because a=\sqrt{12}-\sqrt{11}＞0$，$b=\sqrt{11}-\sqrt{10}＞0$，正数的倒数越大，原数越小，$\therefore a＜b$。
【答案】
$a＜b$
【知识点】
分母有理化、二次根式大小比较、倒数比较法
【点评】
本题是二次根式大小比较的典型技巧类题型，当遇到形如$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$的式子比较大小时，采用倒数法结合分母有理化可快速简化运算，避免直接计算近似值的误差，是二次根式大小比较的常用技巧。
【难度系数】
0.6
观察a、b的结构，均为两个相邻二次根式的差，直接作差或计算近似值不够简便且不严谨。由于a、b均为正数，可尝试用倒数法比较大小：先分别求出a、b的倒数，通过分母有理化将倒数转化为两个二次根式的和的形式，再比较倒数的大小，最后根据“正数中，倒数越大，原数越小”的性质即可得出a、b的大小关系。
【解析】
首先对a、b分别求倒数并进行分母有理化：
$\frac{1}{a}=\frac{1}{\sqrt{12}-\sqrt{11}}=\frac{\sqrt{12}+\sqrt{11}}{(\sqrt{12}-\sqrt{11})(\sqrt{12}+\sqrt{11})}=\sqrt{12}+\sqrt{11}$
$\frac{1}{b}=\frac{1}{\sqrt{11}-\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{11}+\sqrt{10}}{(\sqrt{11}-\sqrt{10})(\sqrt{11}+\sqrt{10})}=\sqrt{11}+\sqrt{10}$
比较两个倒数的大小：$\because \sqrt{12}+\sqrt{11}＞\sqrt{11}+\sqrt{10}$，$\therefore \frac{1}{a}＞\frac{1}{b}$
又$\because a=\sqrt{12}-\sqrt{11}＞0$，$b=\sqrt{11}-\sqrt{10}＞0$，正数的倒数越大，原数越小，$\therefore a＜b$。
【答案】
$a＜b$
【知识点】
分母有理化、二次根式大小比较、倒数比较法
【点评】
本题是二次根式大小比较的典型技巧类题型，当遇到形如$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$的式子比较大小时，采用倒数法结合分母有理化可快速简化运算，避免直接计算近似值的误差，是二次根式大小比较的常用技巧。
【难度系数】
0.6
5.(分母有理化)比较大小：$\frac{1}{\sqrt{5}-2}$与$\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}$.
答案
解:$\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=\sqrt{5}+2$；$\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{(\sqrt{6}-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{5})}=\sqrt{6}+\sqrt{5}.\because 2＜\sqrt{6}＜3,\therefore \sqrt{5}+2＜\sqrt{5}+\sqrt{6}.\therefore \frac{1}{\sqrt{5}-2}＜\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}.$
解析
【分析】
要比较两个分母含有二次根式的分式的大小，直接通分或直接比较分子、分母的难度较大，因此优先选择分母有理化的方法：利用平方差公式将两个分式的分母化为整数，得到化简后的整式形式，再比较化简结果的大小，即可推导得到原式的大小关系。
【解析】
首先对两个分式分别进行分母有理化：
1. 化简$＜inline_LaTeX_Formula＞\frac{1}{\sqrt{5}-2}＜\inline_LaTeX_Formula＞$：
给分子、分母同乘分母的有理化因式$＜inline_LaTeX_Formula＞\sqrt{5}+2＜\inline_LaTeX_Formula＞$，得
$＜display_LaTeX_Formula＞\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=\frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5})^2-2^2}=\frac{\sqrt{5}+2}{5-4}=\sqrt{5}+2＜\display_LaTeX_Formula＞$
2. 化简$＜inline_LaTeX_Formula＞\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}＜\inline_LaTeX_Formula＞$：
给分子、分母同乘分母的有理化因式$＜inline_LaTeX_Formula＞\sqrt{6}+\sqrt{5}＜\inline_LaTeX_Formula＞$，得
$＜display_LaTeX_Formula＞\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{(\sqrt{6}-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{5})}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{(\sqrt{6})^2-(\sqrt{5})^2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{6-5}=\sqrt{6}+\sqrt{5}＜\display_LaTeX_Formula＞$
再比较化简后的结果：
∵$＜inline_LaTeX_Formula＞\sqrt{4}=2＜\sqrt{6}＜\inline_LaTeX_Formula＞$，两边同时加$＜inline_LaTeX_Formula＞\sqrt{5}＜\inline_LaTeX_Formula＞$可得$＜inline_LaTeX_Formula＞\sqrt{5}+2＜\sqrt{5}+\sqrt{6}＜\inline_LaTeX_Formula＞$
∴$＜inline_LaTeX_Formula＞\frac{1}{\sqrt{5}-2}＜\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}＜\inline_LaTeX_Formula＞$
【答案】
$＜display_LaTeX_Formula＞\frac{1}{\sqrt{5}-2} ＜ \frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}＜\display_LaTeX_Formula＞$
【知识点】
分母有理化，平方差公式，二次根式大小比较
【点评】
本题是二次根式大小比较的典型方法类题型，解题核心是通过分母有理化将复杂的分式转化为易比较的整式形式，熟练掌握有理化因式的确定方法是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
要比较两个分母含有二次根式的分式的大小，直接通分或直接比较分子、分母的难度较大，因此优先选择分母有理化的方法：利用平方差公式将两个分式的分母化为整数，得到化简后的整式形式，再比较化简结果的大小，即可推导得到原式的大小关系。
【解析】
首先对两个分式分别进行分母有理化：
1. 化简$＜inline_LaTeX_Formula＞\frac{1}{\sqrt{5}-2}＜\inline_LaTeX_Formula＞$：
给分子、分母同乘分母的有理化因式$＜inline_LaTeX_Formula＞\sqrt{5}+2＜\inline_LaTeX_Formula＞$，得
$＜display_LaTeX_Formula＞\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=\frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5})^2-2^2}=\frac{\sqrt{5}+2}{5-4}=\sqrt{5}+2＜\display_LaTeX_Formula＞$
2. 化简$＜inline_LaTeX_Formula＞\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}＜\inline_LaTeX_Formula＞$：
给分子、分母同乘分母的有理化因式$＜inline_LaTeX_Formula＞\sqrt{6}+\sqrt{5}＜\inline_LaTeX_Formula＞$，得
$＜display_LaTeX_Formula＞\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{(\sqrt{6}-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{5})}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{(\sqrt{6})^2-(\sqrt{5})^2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{6-5}=\sqrt{6}+\sqrt{5}＜\display_LaTeX_Formula＞$
再比较化简后的结果：
∵$＜inline_LaTeX_Formula＞\sqrt{4}=2＜\sqrt{6}＜\inline_LaTeX_Formula＞$，两边同时加$＜inline_LaTeX_Formula＞\sqrt{5}＜\inline_LaTeX_Formula＞$可得$＜inline_LaTeX_Formula＞\sqrt{5}+2＜\sqrt{5}+\sqrt{6}＜\inline_LaTeX_Formula＞$
∴$＜inline_LaTeX_Formula＞\frac{1}{\sqrt{5}-2}＜\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}＜\inline_LaTeX_Formula＞$
【答案】
$＜display_LaTeX_Formula＞\frac{1}{\sqrt{5}-2} ＜ \frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}＜\display_LaTeX_Formula＞$
【知识点】
分母有理化，平方差公式，二次根式大小比较
【点评】
本题是二次根式大小比较的典型方法类题型，解题核心是通过分母有理化将复杂的分式转化为易比较的整式形式，熟练掌握有理化因式的确定方法是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
6. 用“＜”连结 $a,\dfrac{1}{a},a^2,\sqrt{a}(0＜a＜1).$
答案
解:$a^2＜a＜\sqrt{a}＜\frac{1}{a}.$(提示:取$a=\frac{1}{4}$,则$\frac{1}{a}=4,a^2=\frac{1}{16},\sqrt{a}=\frac{1}{2}$)
解析
【分析】
要比较0＜a＜1时$a、\frac{1}{a}、a^2、\sqrt{a}$的大小，有两种常用解题思路：一是特殊值法，由于a的取值范围明确，可在范围内取一个便于计算的特殊值，分别算出四个式子的数值后直接排序，这种方法简单直观，适合填空题、选择题快速作答；二是性质推导法，结合不等式性质、作差法，根据0到1之间正数的乘方、开方、倒数的变化规律推导大小关系。
【解析】
方法一：特殊值法
∵0＜a＜1，取符合范围的特殊值$a=\frac{1}{4}$，
分别计算四个式子的值：
$a^2=(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}$，
$a=\frac{1}{4}$，
$\sqrt{a}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$，
$\frac{1}{a}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4$，
∵$\frac{1}{16}＜\frac{1}{4}＜\frac{1}{2}＜4$，
∴$a^2＜a＜\sqrt{a}＜\frac{1}{a}$。
方法二：性质推导法
∵0＜a＜1，
1. 比较$a^2$和a：$a^2 - a = a(a-1)$，
∵0＜a＜1，
∴a-1＜0，
∴$a(a-1)＜0$，即$a^2 ＜ a$；
2. 比较a和$\sqrt{a}$：$\sqrt{a} - a = \sqrt{a}(1-\sqrt{a})$，
∵0＜a＜1，
∴$0＜\sqrt{a}＜1$，$1-\sqrt{a}＞0$，
∴$\sqrt{a}(1-\sqrt{a})＞0$，即$a ＜ \sqrt{a}$；
3. 比较$\sqrt{a}$和$\frac{1}{a}$：
∵0＜a＜1，
∴$\sqrt{a}＜1$，$\frac{1}{a}＞1$，
∴$\sqrt{a} ＜ \frac{1}{a}$；
综上可得$a^2＜a＜\sqrt{a}＜\frac{1}{a}$。
【答案】
$a^2＜a＜\sqrt{a}＜\frac{1}{a}$
【知识点】
实数大小比较、二次根式的性质、倒数的性质
【点评】
本题考查实数大小比较的常用技巧，特殊值法是解决取值范围确定的大小比较问题的便捷方法，计算量小、准确率高；也可通过作差法结合不等式性质推导，两种方法都要熟练掌握，灵活选用。
【难度系数】
0.7
要比较0＜a＜1时$a、\frac{1}{a}、a^2、\sqrt{a}$的大小，有两种常用解题思路：一是特殊值法，由于a的取值范围明确，可在范围内取一个便于计算的特殊值，分别算出四个式子的数值后直接排序，这种方法简单直观，适合填空题、选择题快速作答；二是性质推导法，结合不等式性质、作差法，根据0到1之间正数的乘方、开方、倒数的变化规律推导大小关系。
【解析】
方法一：特殊值法
∵0＜a＜1，取符合范围的特殊值$a=\frac{1}{4}$，
分别计算四个式子的值：
$a^2=(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}$，
$a=\frac{1}{4}$，
$\sqrt{a}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$，
$\frac{1}{a}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4$，
∵$\frac{1}{16}＜\frac{1}{4}＜\frac{1}{2}＜4$，
∴$a^2＜a＜\sqrt{a}＜\frac{1}{a}$。
方法二：性质推导法
∵0＜a＜1，
1. 比较$a^2$和a：$a^2 - a = a(a-1)$，
∵0＜a＜1，
∴a-1＜0，
∴$a(a-1)＜0$，即$a^2 ＜ a$；
2. 比较a和$\sqrt{a}$：$\sqrt{a} - a = \sqrt{a}(1-\sqrt{a})$，
∵0＜a＜1，
∴$0＜\sqrt{a}＜1$，$1-\sqrt{a}＞0$，
∴$\sqrt{a}(1-\sqrt{a})＞0$，即$a ＜ \sqrt{a}$；
3. 比较$\sqrt{a}$和$\frac{1}{a}$：
∵0＜a＜1，
∴$\sqrt{a}＜1$，$\frac{1}{a}＞1$，
∴$\sqrt{a} ＜ \frac{1}{a}$；
综上可得$a^2＜a＜\sqrt{a}＜\frac{1}{a}$。
【答案】
$a^2＜a＜\sqrt{a}＜\frac{1}{a}$
【知识点】
实数大小比较、二次根式的性质、倒数的性质
【点评】
本题考查实数大小比较的常用技巧，特殊值法是解决取值范围确定的大小比较问题的便捷方法，计算量小、准确率高；也可通过作差法结合不等式性质推导，两种方法都要熟练掌握，灵活选用。
【难度系数】
0.7
