10. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AB'C'的相似比为1:2，点A是位似中心，已知点A(2,0)，C(a,b)，∠C=90°，则点C'的坐标为（结果用含a,b的式子表示）。

10.(6−2a,−2b) 【点拨】如图,过点C作CM⊥AB于点M,过点C'作C'N⊥AB'于点N,则∠ANC'=∠AMC=90°.
∵A(2,0),C(a,b),
∴OA=2,OM=a,CM=b.
∴AM=a−2.
∵△ABC与△AB'C'的相似比为1 : 2,
∴$\frac{AC}{AC'}=\frac{1}{2}$.
∵∠NAC' = ∠MAC, ∠ANC' = ∠AMC,
∴△ACM∽△AC'N.
∴$\frac{AM}{AN}=\frac{CM}{C'N}=\frac{AC}{AC'}$.
∴$\frac{a−2}{AN}=\frac{b}{C'N}=\frac{1}{2}$.
∴AN=2a−4,C'N=2b.
∴ON=AN−OA=2a−6.
∴点C'的坐标为(6−2a,−2b).

11. ★★ 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,点$M(-5,2)$,$N(-1,2)$,已知点$M$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象上,以点$O$为位似中心,在$MN$的上方将线段$MN$放大为原来的$n$倍得到线段$M'N'(n＞1)$.
(1)$k$的值为;
(2)若在线段$M'N'$上总有在反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上的点,则$n$的最大值为.

（第11题）（第12题）

11.(1)−10 (2)$\sqrt{5}$ 【点拨】(1)把M(−5,2)的坐标代入y=$\frac{k}{x}$,得k=−5×2=−10.(2)如图,
∵以点O为位似中心,在MN的上方将线段MN放大为原来的n倍得到线段M'N'(n＞1),
∴N'(−n,2n).当点N'落在反比例函数y=$-\frac{10}{x}$(x＜0)的图象上时,n的值最大,
∴−n·2n=−10,解得n₁=$\sqrt{5}$,$n_2=-\sqrt{5}$(舍去).
∴n的最大值为$\sqrt{5}$.

12. 新考法分类讨论法 如图,在平面直角坐标系中,A,C两点分别在x轴、y轴上,点A的坐标为(8,0),点C的坐标为(0,6),点P为线段OA上一动点,点O关于直线PC的对称点为点B,当△ABP为直角三角形时,OP的长为.

12.3或6 【点拨】由题意可得OC=6,OA=8.设P(m,0),则OP=m.
∵点O关于直线PC的对称点为点B,
∴△CBP≅△COP.
∴CB=CO=6,∠CBP=∠COP=90°,∠CPB=∠CPO,PB=PO=m.
∴AP=8−m.分情况讨论:当△ABP为直角三角形时,∠ABP=90°或∠APB=90°或∠PAB=90°.①若∠ABP=90°,如图①,
∵∠ABP+∠CBP=180°,
∴A,B,C三点共线.
∴AC=$\sqrt{OA^2+OC^2}=\sqrt{8^2+6^2}$=10.
∴AB=AC−CB=10−6=4.
∵AB²+PB²=AP²,即4²+m²=(8−m)²,解得m=3,
∴OP=3;②若∠APB=90°,如图②,
∵∠OPB=180°−∠APB=180°−90°=90°,
∴∠CPB=∠CPO=45°.
∴△CPB,△CPO为等腰直角三角形.
∴OP=OC=6;③若∠PAB=90°,则CB≥OA=8,与CB=OC=6矛盾,故不存在.综上,OP的长为3或6.

13. 如图,方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度,在方格纸中建立平面直角坐标系,△ABC的顶点都在格点上.
(1)将△ABC向下平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度得到△A₁B₁C₁,请画出△A₁B₁C₁;

(2)以O为位似中心,画出△A₁B₁C₁的位似图形△A₂B₂C₂,使放大后的位似比为1:2;
(3)点P是y轴上一动点,则PB+PC的最小值是.

13.【解】(1)如图,△A₁B₁C₁即为所求.
(2)如图,△A₂B₂C₂即为所求(答案不唯一).
(3)$\sqrt{26}$ 【点拨】作点B关于y轴的对称点B',连结CB'交y轴于点P,则点P是使得PB+PC最小的点.由题图知,B(−4,1),C(−1,2),则B'(4,1).
∴CB'=$\sqrt{26}$.
∴PB+PC的最小值为CB'=$\sqrt{26}$.

14. 新视角新定义题 在平面直角坐标系中,经过点$M(0,m)$且平行于$x$轴的直线记作直线$y=m$.给出如下定义:将点$P(x,y)$关于$y$轴的对称点记作点$P_1$,再将点$P_1$关于直线$y=m$的对称点记作点$P_2$,则称点$P_2$为点$P(x,y)$关于$y$轴和直线$y=m$的“青一对称点”.例如:点$P(3,1)$关于$y$轴和直线$y=3$的“青一对称点”为点$P_2(-3,5)$.
(1)点$A(3,4)$关于$y$轴和直线$y=1$的“青一对称点”$A_2$的坐标是________;
(2)点$B(3m+n,m-n)$关于$y$轴和直线$y=m$的“青一对称点”$B_2$的坐标是$(-9,5)$,求$m$和$n$的值;
(3)若点$C(6x-5,2x+1)$关于$y$轴和直线$y=m$的“青一对称点”$C_2$在第二象限,且满足条件的$x$的整数解有且只有一个,求$m$的取值范围.

14.【解】(1)(−3,−2)
(2)
∵点B(3m+n,m−n)关于y轴的对称点的坐标为(−3m−n,m−n),点(−3m−n,m−n)关于直线y=m的对称点的坐标为(−3m−n,2m−(m−n)),
∴点B₂的坐标为(−3m−n,m+n).
∴$\begin{cases} −3m−n=−9, \\ m+n=5, \end{cases}$解得$\begin{cases} m=2, \\ n=3. \end{cases}$
(3)
∵点C(6x−5,2x+1)关于y轴的对称点的坐标为(−6x+5,2x+1),点(−6x+5,2x+1)关于直线y=m的对称点的坐标为(−6x+5,2m−(2x+1)),
∴点C₂的坐标为(−6x+5,2m−2x−1).
∵点C₂在第二象限，
∴$\begin{cases} 5−6x＜0, \\ 2m−2x−1＞0, \end{cases}$
∴$\begin{cases} x＞\frac{5}{6}, \\ x＜m−\frac{1}{2}. \end{cases}$
∵满足条件的x的整数解有且只有一个，
∴$1＜m−\frac{1}{2}≤2$,解得$\frac{3}{2}＜m≤\frac{5}{2}$.