11. 如图4，△ABD和△BCD都是等边三角形，E，F分别是边AD，CD上的点，且DE=CF，连接BE，EF，FB.
求证：(1) △ABE≌△DBF；
(2) △BEF是等边三角形.

11. 提示:(1) 由$DE=CF$可得$AE=DF$,又$∠ A=∠ BDF=60°$,$AB=DB$,可得$△ ABE≌△ DBF(\mathrm{SAS})$.
(2) 由(1)知$BE=BF$,$∠ ABE=∠ DBF$,从而$∠ FBD+∠ EBD=∠ ABE+∠ EBD=60°$,得证.

12. 如图5，$△ ABC$为等边三角形，$BD$平分$∠ ABC$交$AC$于点$D$，$DE// BC$交$AB$于点$E$。求证：(1) $△ ADE$是等边三角形；(2) $AE=\dfrac{1}{2}AB$。

12. 提示:(1) 由$△ ABC$为等边三角形可得$∠ ABC=∠ C=∠ A=60°$;因为$DE// BC$,则$∠ AED=∠ ADE=60°$,从而$△ AED$是等边三角形.
(2) 由$△ ABC$是等边三角形,$BD$平分$∠ ABC$可得$AD=DC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}AB$.
由(1)知$△ ADE$是等边三角形,得$AE=AD=\frac{1}{2}AB$,从而得证.

13. 如图6，$△ ABC$中，$∠ A=60°$，$P$为$AB$上一点，$Q$为$BC$延长线上一点，且$PA=CQ$，$PM⊥ AC$于点$M$，$QN⊥ AC$交$AC$的延长线于点$N$，且$PM=QN$，$PQ$交$AC$边于点$D$。求证：(1) $△ ABC$为等边三角形；(2) $DM=\frac{1}{2}AC$。

13. 提示:(1) 由$PA=QC$,$PM=QN$可知$\mathrm{Rt}△ APM≌\mathrm{Rt}△ CQN$. 从而$∠ QCN=∠ A=60°$,进而$∠ ACB=∠ A=60°$,可得证.
(2) 由(1)可知$AM=CN$,从而$MD+DN=AC$.
又$△ PMD≌△ QND(\mathrm{AAS})$,可得$MD=ND$. 从而$MD=\frac{1}{2}AC$.