1. (邵阳中考)如图①所示,在$\triangle ABC$中,点$O$是$AC$上一点,过点$O$的直线与$AB$、$BC$的延长线分别相交于点$M$、$N$.
【问题引入】
(1)若点$O$是$AC$的中点,$\frac {AM}{BM}= \frac {1}{3}$,求$\frac {CN}{BN}$的值;
(温馨提示:过点$A$作$MN$的平行线交$BN$的延长线于点$G$)
【探索研究】
(2)若点$O$是$AC$上任意一点(不与点$A$、$C$重合),求证:$\frac {AM}{MB}\cdot \frac {BN}{NC}\cdot \frac {CO}{OA}= 1$;
【拓展应用】
(3)如图②所示,点$P$是$\triangle ABC$内任意一点,射线$AP$、$BP$、$CP$分别交$BC$、$AC$、$AB$于点$D$、$E$、$F$,若$\frac {AF}{BF}= \frac {1}{3},\frac {BD}{CD}= \frac {1}{2}$,求$\frac {AE}{CE}$的值.
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【问题引入】
(1)若点$O$是$AC$的中点,$\frac {AM}{BM}= \frac {1}{3}$,求$\frac {CN}{BN}$的值;
(温馨提示:过点$A$作$MN$的平行线交$BN$的延长线于点$G$)
【探索研究】
(2)若点$O$是$AC$上任意一点(不与点$A$、$C$重合),求证:$\frac {AM}{MB}\cdot \frac {BN}{NC}\cdot \frac {CO}{OA}= 1$;
【拓展应用】
(3)如图②所示,点$P$是$\triangle ABC$内任意一点,射线$AP$、$BP$、$CP$分别交$BC$、$AC$、$AB$于点$D$、$E$、$F$,若$\frac {AF}{BF}= \frac {1}{3},\frac {BD}{CD}= \frac {1}{2}$,求$\frac {AE}{CE}$的值.
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答案
2. (东营中考)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目:
(1)如图①,在$\triangle ABC$中,点$O$在线段$BC$上,$∠BAO= 30^{\circ },∠OAC= 75^{\circ },AO= 3\sqrt {3},BO:CO= 1:3$,求$AB$的长.
经过社团成员讨论发现,过点$B$作$BD// AC$,交$AO$的延长线于点$D$,通过构造$\triangle ABD$就可以解决问题(如图②).
请回答:$∠ADB= $______$^{\circ },AB= $______.
(2)请参考以上解题思路,解决问题:
如图③,在四边形$ABCD$中,对角线$AC$与$BD$相交于点$O,AC⊥AD,AO= 3\sqrt {3},∠ABC= ∠ACB= 75^{\circ },BO:OD= 1:3$,求$DC$的长.
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(1)如图①,在$\triangle ABC$中,点$O$在线段$BC$上,$∠BAO= 30^{\circ },∠OAC= 75^{\circ },AO= 3\sqrt {3},BO:CO= 1:3$,求$AB$的长.
经过社团成员讨论发现,过点$B$作$BD// AC$,交$AO$的延长线于点$D$,通过构造$\triangle ABD$就可以解决问题(如图②).
请回答:$∠ADB= $______$^{\circ },AB= $______.
(2)请参考以上解题思路,解决问题:
如图③,在四边形$ABCD$中,对角线$AC$与$BD$相交于点$O,AC⊥AD,AO= 3\sqrt {3},∠ABC= ∠ACB= 75^{\circ },BO:OD= 1:3$,求$DC$的长.
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答案
