登录
9. 使分式$\frac{|x - 2|}{x^{2}-4x + 4}=\frac{1}{2 - x}$自左向右变形成立的条件是（ ）
A. $x ＞ -2$
B. $x ＜ 2$
C. $x\geq2$
D. $x\leq2$
A. $x ＞ -2$
B. $x ＜ 2$
C. $x\geq2$
D. $x\leq2$
答案
B 解析：$\because\frac{|x - 2|}{x^{2}-4x + 4}=\frac{|x - 2|}{(x - 2)^{2}}=\frac{1}{2 - x}$，$\therefore x - 2\lt0$，$\therefore x\lt2$. 故选B.
10. 已知分式$\frac{2x}{3x^{2}+5y^{2}}$的值为9.
（1）若把分式中的$x$、$y$同时扩大为原来的3倍，则分式的值为________；
（2）若把分式中的$x$、$y$同时缩小为原来的$\frac{1}{n}$后，分式的值是27，则$n =$________.
（1）若把分式中的$x$、$y$同时扩大为原来的3倍，则分式的值为________；
（2）若把分式中的$x$、$y$同时缩小为原来的$\frac{1}{n}$后，分式的值是27，则$n =$________.
答案
(1)3
(2)3 解析：$\because\frac{2x}{3x^{2}+5y^{2}} = 9$，$\therefore\frac{\frac{2x}{n}}{3(\frac{x}{n})^{2}+5(\frac{y}{n})^{2}}=\frac{2nx}{3x^{2}+5y^{2}}$
$n\cdot\frac{2x}{3x^{2}+5y^{2}} = 9n = 27$，$\therefore n = 3$.
(2)3 解析：$\because\frac{2x}{3x^{2}+5y^{2}} = 9$，$\therefore\frac{\frac{2x}{n}}{3(\frac{x}{n})^{2}+5(\frac{y}{n})^{2}}=\frac{2nx}{3x^{2}+5y^{2}}$
$n\cdot\frac{2x}{3x^{2}+5y^{2}} = 9n = 27$，$\therefore n = 3$.
11. 已知$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=3$，求分式$\frac{2x - 3xy + 2y}{x + 2xy + y}$的值.
答案
分式的分子、分母都除以$xy$，则$\frac{2x - 3xy + 2y}{x + 2xy + y}=\frac{(2x - 3xy + 2y)\div xy}{(x + 2xy + y)\div xy}=\frac{\frac{2}{y}-3+\frac{2}{x}}{\frac{1}{y}+2+\frac{1}{x}}$. $\because\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=3$，$\therefore$原式$=\frac{2\times3 - 3}{3 + 2}=\frac{3}{5}$.
12. 若$x^{2}-3x - 1 = 0$，求下列各式的值.
（1）$\frac{x^{2}-1}{x}$；
（2）$\frac{x^{4}+1}{x^{2}}$；
（3）$\frac{2x^{2}}{x^{4}-3x^{2}+1}$.
（1）$\frac{x^{2}-1}{x}$；
（2）$\frac{x^{4}+1}{x^{2}}$；
（3）$\frac{2x^{2}}{x^{4}-3x^{2}+1}$.
答案
(1)解法一：$\frac{x^{2}-1}{x}=x-\frac{1}{x}$，$\because x^{2}-3x - 1 = 0$，等式两边同除以$x$，即$x - 3-\frac{1}{x}=0$，$\therefore x-\frac{1}{x}=3$，即$\frac{x^{2}-1}{x}=3$.
解法二：$\because x^{2}-3x - 1 = 0$，$\therefore x^{2}-1 = 3x$，$\therefore$原式$=\frac{3x}{x}=3$.
(2)$\frac{x^{4}+1}{x^{2}}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=x^{2}-2+\frac{1}{x^{2}}+2=(x-\frac{1}{x})^{2}+2 = 3^{2}+2 = 11$.
(3)分式的分子、分母都除以$x^{2}$，则原式$=\frac{2}{x^{2}-3+\frac{1}{x^{2}}}=\frac{2}{11 - 3}=\frac{1}{4}$.
解法二：$\because x^{2}-3x - 1 = 0$，$\therefore x^{2}-1 = 3x$，$\therefore$原式$=\frac{3x}{x}=3$.
(2)$\frac{x^{4}+1}{x^{2}}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=x^{2}-2+\frac{1}{x^{2}}+2=(x-\frac{1}{x})^{2}+2 = 3^{2}+2 = 11$.
(3)分式的分子、分母都除以$x^{2}$，则原式$=\frac{2}{x^{2}-3+\frac{1}{x^{2}}}=\frac{2}{11 - 3}=\frac{1}{4}$.
13. 阅读材料题：
已知$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}$，求分式$\frac{2a + 3b - c}{a - b + 2c}$的值.
解：设$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}=k$，则$a = 3k$、$b = 4k$、$c = 5k$，
所以$\frac{2a + 3b - c}{a - b + 2c}=\frac{6k + 12k - 5k}{3k - 4k + 10k}=\frac{13k}{9k}=\frac{13}{9}$.
参照上述材料解题：
（1）已知$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{6}$，求分式$\frac{x + 2y - z}{x - 2y + 3z}$的值；
（2）已知$\frac{y + z}{x}=\frac{z + x}{y}=\frac{x + y}{z}$，其中$x + y + z\neq0$，求$\frac{x + y - z}{x + y + z}$的值.
已知$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}$，求分式$\frac{2a + 3b - c}{a - b + 2c}$的值.
解：设$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}=k$，则$a = 3k$、$b = 4k$、$c = 5k$，
所以$\frac{2a + 3b - c}{a - b + 2c}=\frac{6k + 12k - 5k}{3k - 4k + 10k}=\frac{13k}{9k}=\frac{13}{9}$.
参照上述材料解题：
（1）已知$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{6}$，求分式$\frac{x + 2y - z}{x - 2y + 3z}$的值；
（2）已知$\frac{y + z}{x}=\frac{z + x}{y}=\frac{x + y}{z}$，其中$x + y + z\neq0$，求$\frac{x + y - z}{x + y + z}$的值.
答案
(1)设$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{6}=k$，则$x = 2k$、$y = 3k$、$z = 6k$，$\therefore\frac{x + 2y - z}{x - 2y + 3z}=\frac{2k + 6k - 6k}{2k - 6k + 18k}=\frac{2k}{14k}=\frac{1}{7}$，$\therefore$分式$\frac{x + 2y - z}{x - 2y + 3z}$的值为$\frac{1}{7}$.
(2)设$\frac{y + z}{x}=\frac{z + x}{y}=\frac{x + y}{z}=k$，则$\begin{cases}y + z = kx, &①\\x + z = ky, &②\\x + y = kz, &③\end{cases}$ $① + ②+③$得$2x + 2y + 2z=k(x + y + z)$. $\because x + y + z\neq0$，$\therefore k = 2$，$\therefore$原式$=\frac{2z - z}{2z + z}=\frac{z}{3z}=\frac{1}{3}$.
(2)设$\frac{y + z}{x}=\frac{z + x}{y}=\frac{x + y}{z}=k$，则$\begin{cases}y + z = kx, &①\\x + z = ky, &②\\x + y = kz, &③\end{cases}$ $① + ②+③$得$2x + 2y + 2z=k(x + y + z)$. $\because x + y + z\neq0$，$\therefore k = 2$，$\therefore$原式$=\frac{2z - z}{2z + z}=\frac{z}{3z}=\frac{1}{3}$.
14. 已知三个数$x$、$y$、$z$满足$\frac{xy}{x + y}=-3$、$\frac{yz}{y + z}=\frac{4}{3}$、$\frac{zx}{z + x}=-\frac{4}{3}$，求$\frac{xyz}{xy + yz + zx}$的值.
答案
$\because\frac{xy}{x + y}=-3$，$\frac{yz}{y + z}=\frac{4}{3}$，$\frac{zx}{z + x}=-\frac{4}{3}$，$\therefore\frac{x + y}{xy}=-\frac{1}{3}$，$\frac{y + z}{yz}=\frac{3}{4}$，$\frac{z + x}{zx}=-\frac{3}{4}$，
即$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{3}{4}$，$\frac{1}{z}+\frac{1}{x}=-\frac{3}{4}$，解得$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=-\frac{1}{6}$，$\because\frac{xyz}{xy + yz + zx}=\frac{1}{\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}=-6$.
即$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{3}{4}$，$\frac{1}{z}+\frac{1}{x}=-\frac{3}{4}$，解得$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=-\frac{1}{6}$，$\because\frac{xyz}{xy + yz + zx}=\frac{1}{\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}=-6$.
