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1.（2024·徐州期末）若分式$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=2$，则分式$\frac{4x + 5xy - 4y}{x - 3xy - y}$的值等于（ ）
A. $-\frac{3}{5}$
B. $\frac{3}{5}$
C. $-\frac{4}{5}$
D. $\frac{4}{5}$
A. $-\frac{3}{5}$
B. $\frac{3}{5}$
C. $-\frac{4}{5}$
D. $\frac{4}{5}$
答案
B
2.（2024·南通期末）我们把形如$x+\frac{ab}{x}=a + b(a、b$不为零$)$，且两个解分别为$x_1 = a,x_2 = b$的方程称为“十字分式方程”。如，$x+\frac{3}{x}=4$为“十字分式方程”，其可转化为$x+\frac{1\times3}{x}=1 + 3$，则$x_1 = 1,x_2 = 3$。若$k＞2$时，关于$x$的“十字分式方程”$x + 1-\frac{1 - k^2}{x + 1}=2k$的两个解分别为$x_1、x_2$，且$x_1＜x_2$，则$\frac{x_2}{2x_1 + 4}$的值为（ ）
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{4}$
C. -2
D. 2
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{4}$
C. -2
D. 2
答案
A 解析：$\because x + 1 - \frac{1 - k^{2}}{x + 1} = 2k$，$\therefore x + 1 + \frac{(k - 1)(k + 1)}{x + 1} = (k - 1) + (k + 1)$，$\therefore x_{1} + 1 = k - 1$，$x_{2} + 1 = k + 1$，$\therefore x_{1} = k - 2$，$x_{2} = k$，$\therefore \frac{x_{2}}{2x_{1} + 4} = \frac{k}{2(k - 2) + 4} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2}$. 故选 A.
3.（2024·连云港期末）当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式。当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式。任何一个假分式都能化成整式和真分式的代数和的形式。如：
$\frac{x + 1}{x - 1}=\frac{x - 1 + 2}{x - 1}=\frac{x - 1}{x - 1}+\frac{2}{x - 1}=1+\frac{2}{x - 1}$。阅读完这段文字后，小丽认为，当$x＞1$时，随着$x$的不断增大，$\frac{x + 1}{x - 1}$的值会无限接近一个数。类比上述过程，当$x＞-1$时，随着$x$的不断增大，$\frac{2x + 7}{x + 1}$的值会无限接近的一个数是________。
$\frac{x + 1}{x - 1}=\frac{x - 1 + 2}{x - 1}=\frac{x - 1}{x - 1}+\frac{2}{x - 1}=1+\frac{2}{x - 1}$。阅读完这段文字后，小丽认为，当$x＞1$时，随着$x$的不断增大，$\frac{x + 1}{x - 1}$的值会无限接近一个数。类比上述过程，当$x＞-1$时，随着$x$的不断增大，$\frac{2x + 7}{x + 1}$的值会无限接近的一个数是________。答案
2 解析：$\because \frac{2x + 7}{x + 1} = \frac{2(x + 1) + 5}{x + 1} = 2 + \frac{5}{x + 1}$，当$x ＞ -1$时，$\frac{5}{x + 1}$随着$x$的不断增大而减小，$\frac{5}{x + 1}$的值无限接近 0，$\therefore \frac{2x + 7}{x + 1} = 2 + \frac{5}{x + 1}$的值无限接近 2.
4.（2024·宿迁期末）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”。例如：$\frac{4x^2 - 8x}{x - 2}=\frac{4x(x - 2)}{x - 2}=4x$，则称分式$\frac{4x^2 - 8x}{x - 2}$是“巧分式”，$4x$为它的“巧整式”。根据上述定义，解决下列问题。
（1）下列分式中是“巧分式”的有________（填序号）。
①$\frac{(x - 1)(2x - 3)(x + 2)}{(x - 1)(x + 2)}$；②$\frac{2x + 5}{x + 3}$；③$\frac{x^2 - y^2}{x + y}$。
（2）若分式$\frac{x^2 - 4x + m}{x + n}(m、n$为常数$)$是一个“巧分式”，它的“巧整式”为$x - 7$，求$m、n$的值。
（3）若分式$\frac{-2x^3 + 2x}{A}$的“巧整式”为$1 - x$，请判断$\frac{2x^3 + 4x^2 + 2x}{A}$是否是“巧分式”，并说明理由。
（1）下列分式中是“巧分式”的有________（填序号）。
①$\frac{(x - 1)(2x - 3)(x + 2)}{(x - 1)(x + 2)}$；②$\frac{2x + 5}{x + 3}$；③$\frac{x^2 - y^2}{x + y}$。
（2）若分式$\frac{x^2 - 4x + m}{x + n}(m、n$为常数$)$是一个“巧分式”，它的“巧整式”为$x - 7$，求$m、n$的值。
（3）若分式$\frac{-2x^3 + 2x}{A}$的“巧整式”为$1 - x$，请判断$\frac{2x^3 + 4x^2 + 2x}{A}$是否是“巧分式”，并说明理由。
答案
(1) ①③
(2)$\because$分式$\frac{x^{2} - 4x + m}{x + n}$（$m$、$n$为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为$x - 7$，$\therefore (x + n)(x - 7) = x^{2} - 4x + m$，$\therefore x^{2} + (n - 7)x - 7n = x^{2} - 4x + m$，$\therefore \begin{cases}n - 7 = -4\\ -7n = m\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = -21\\n = 3\end{cases}$.
(3)$\because$分式$\frac{-2x^{3} + 2x}{A}$的“巧整式”为$1 - x$.$\therefore A = \frac{-2x^{3} + 2x}{1 - x}$，$\therefore A = \frac{2x(1 - x^{2})}{1 - x} = \frac{2x(1 - x)(1 + x)}{1 - x} = 2x(1 + x)$，即$A = 2x^{2} + 2x$.$\because \frac{2x^{3} + 4x^{2} + 2x}{2x^{2} + 2x} = \frac{2x(x^{2} + 2x + 1)}{2x(x + 1)} = \frac{(x + 1)^{2}}{(x + 1)} = x + 1$，又$x + 1$是整式，$\therefore \frac{2x^{3} + 4x^{2} + 2x}{A}$是“巧分式”.
(2)$\because$分式$\frac{x^{2} - 4x + m}{x + n}$（$m$、$n$为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为$x - 7$，$\therefore (x + n)(x - 7) = x^{2} - 4x + m$，$\therefore x^{2} + (n - 7)x - 7n = x^{2} - 4x + m$，$\therefore \begin{cases}n - 7 = -4\\ -7n = m\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = -21\\n = 3\end{cases}$.
(3)$\because$分式$\frac{-2x^{3} + 2x}{A}$的“巧整式”为$1 - x$.$\therefore A = \frac{-2x^{3} + 2x}{1 - x}$，$\therefore A = \frac{2x(1 - x^{2})}{1 - x} = \frac{2x(1 - x)(1 + x)}{1 - x} = 2x(1 + x)$，即$A = 2x^{2} + 2x$.$\because \frac{2x^{3} + 4x^{2} + 2x}{2x^{2} + 2x} = \frac{2x(x^{2} + 2x + 1)}{2x(x + 1)} = \frac{(x + 1)^{2}}{(x + 1)} = x + 1$，又$x + 1$是整式，$\therefore \frac{2x^{3} + 4x^{2} + 2x}{A}$是“巧分式”.
5. 已知$a + b=-5,ab = 2$，且$a\neq b$，则$a\sqrt{\frac{b}{a}}+b\sqrt{\frac{a}{b}}$的值是（ ）
A. $2\sqrt{2}$
B. $-2\sqrt{2}$
C. $5\sqrt{2}$
D. $-5\sqrt{2}$
A. $2\sqrt{2}$
B. $-2\sqrt{2}$
C. $5\sqrt{2}$
D. $-5\sqrt{2}$
答案
B
6. 已知$a=\sqrt{3 + \sqrt{5}},b=\sqrt{3 - \sqrt{5}}$，则$a - b=$（ ）
A. $\sqrt{2}$
B. $\sqrt{3}$
C. $\sqrt{5}$
D. $2\sqrt{2}$
A. $\sqrt{2}$
B. $\sqrt{3}$
C. $\sqrt{5}$
D. $2\sqrt{2}$
答案
A 解析：$\because a = \sqrt{3 + \sqrt{5}}$，$b = \sqrt{3 - \sqrt{5}}$，$\therefore a - b = \sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}}$，$\therefore (a - b)^{2} = (\sqrt{3 + \sqrt{5}})^{2} - 2\sqrt{(3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})} + (\sqrt{3 - \sqrt{5}})^{2} = 3 + \sqrt{5} - 2\times2 + 3 - \sqrt{5} = 6 - 4 = 2$，$\therefore a - b = \pm\sqrt{2}$.$\because a ＞ b$，$\therefore a - b = \sqrt{2}$. 故选 A.
7.（2024·无锡模拟）已知$x=\sqrt{3}-1$，则代数式$x^3 - 4x-\frac{4}{x}$的值为________。
答案
-8 解析：当$x = \sqrt{3} - 1$时，$x^{3} - 4x - \frac{4}{x} = x(x^{2} - 4) - \frac{4}{x} = (\sqrt{3} - 1)\cdot[(\sqrt{3} - 1)^{2} - 4] - \frac{4}{\sqrt{3} - 1} = (\sqrt{3} - 1)(4 - 2\sqrt{3} - 4) - \frac{4(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = (\sqrt{3} - 1)(-2\sqrt{3}) - 2(\sqrt{3} + 1) = -6 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - 2 = -8$.
8. 设$x=\frac{\sqrt{t + 1}-\sqrt{t}}{\sqrt{t + 1}+\sqrt{t}},y=\frac{\sqrt{t + 1}+\sqrt{t}}{\sqrt{t + 1}-\sqrt{t}}$，当$t = 2$时，代数式$20x^2 + 64xy + 20y^2$的值为________。
答案
2024 解析：$\because x = \frac{\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}}{\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}}$，$y = \frac{\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}}{\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}}$，$\therefore x + y = \frac{(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t})^{2} + (\sqrt{t + 1} + \sqrt{t})^{2}}{(\sqrt{t + 1} + \sqrt{t})(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t})} = \frac{2(t + 1 + t)}{t + 1 - t} = 4t + 2 = 10$，$xy = \frac{(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t})(\sqrt{t + 1} + \sqrt{t})}{(\sqrt{t + 1} + \sqrt{t})(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t})} = 1$，$\therefore 20x^{2} + 64xy + 20y^{2} = 20x^{2} + 40xy + 20y^{2} + 24xy = 20(x + y)^{2} + 24xy = 2000 + 24 = 2024$.
