1.（2024·威海期末）顺次连接一个平行四边形的各边中点所得四边形的形状是（ ）
A. 平行四边形
B. 矩形
C. 菱形
D. 正方形

A

2. 若四边形的对角线互相垂直，则顺次连接该四边形各边中点所得的四边形一定是（ ）
A. 矩形
B. 菱形
C. 正方形
D. 以上都不对

A

3.（2024·江阴期中）若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（ ）
A. 矩形
B. 对角线相等的四边形
C. 菱形
D. 对角线互相垂直的四边形

B

4. 如图，四边形ABCD、AEFM都是正方形，连接BE、DM.
（1）判断线段DM、BE的关系并证明.
（2）连接DE、EM、MB、BD，顺次连接各边中点G、H、Q、N，试判断四边形GHQN的形状，并说明理由.
　　　　　　　　　　　　　

(1)$DM\perp BE$，$DM = BE$. 证明：设$BE$与$DM$交于点$O$，$BE$与$AD$交于点$P$.$\because$四边形$ABCD$、$AEFM$都是正方形，$\therefore AM = AE$，$AD = AB$，$\angle MAE=\angle DAB = 90^{\circ}$，$\therefore\angle MAD=\angle EAB$. 在$\triangle MAD$和$\triangle EAB$中，$\begin{cases}AM = AE,\\\angle MAD=\angle EAB,\\AD = AB,\end{cases}$ $\therefore\triangle MAD\cong\triangle EAB(SAS)$，$\therefore DM = BE$，$\angle ABE=\angle ADM$.$\because\angle APB=\angle EPD$，$\therefore\angle DOP=\angle BAP = 90^{\circ}$，即$DM\perp BE$.
(2)四边形$GHQN$是正方形. 理由：顺次连接$DE$、$EM$、$MB$、$BD$的中点$G$、$H$、$Q$、$N$.$\because G$、$H$分别是$DE$、$EM$的中点，$\therefore GH// DM$且$GH=\frac{1}{2}DM$，同理可得$QN// DM$且$QN=\frac{1}{2}DM$，$\therefore GH// QN$且$GH = QN$，$\therefore$四边形$GHQN$为平行四边形.$\because DM\perp BE$，$DM = BE$，$\therefore GH\perp HQ$且$GH = HQ$，$\therefore$平行四边形$GHQN$是正方形.

5. 顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫做中点四边形. 现有一个对角线的长分别为10和24的菱形，它的中点四边形的两条对角线长的和为（ ）
A. 20
B. 26
C. 34
D. 48

B

6. 如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，AC = BD，$S_{四边形ABCD}= 8 cm²，$E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长等于________.
　　

$8\ cm$ 解析：$\because E$、$F$、$G$、$H$分别是线段$AB$、$BC$、$CD$、$AD$的中点，$\therefore EH$、$FG$分别是$\triangle ABD$、$\triangle BCD$的中位线，$EF$、$HG$分别是$\triangle ABC$、$\triangle ACD$的中位线，$\therefore EF// AC$，$GH// AC$且$EF=\frac{1}{2}AC$，$GH=\frac{1}{2}AC$，$\therefore EF = GH$且$EF// GH$，$\therefore$四边形$EFGH$是平行四边形. 又$\because AC\perp BD$，$\therefore EF\perp FG$，$\therefore$平行四边形$EFGH$是矩形.$\because AC\perp BD$，$AC = BD$，$S_{四边形ABCD}=8\ cm^{2}$，$\therefore\frac{1}{2}AC\cdot BD = 8$，解得$AC = BD = 4\ cm$，$\therefore EH = HG = GF = EF = 2\ cm$，$\therefore$四边形$EFGH$的周长为$8\ cm$.

7.（荆州中考改编）如图，已知矩形ABCD的边长分别为a、b，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形A₁B₁C₁D₁；第二次，顺次连接四边形A₁B₁C₁D₁各边的中点，得到四边形A₂B₂C₂D₂……如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形AₙBₙCₙDₙ的面积是________.
　　

$\frac{ab}{2^{n}}$ 解析：连接$AC$、$BD$、$A_{1}C_{1}$、$B_{1}D_{1}$.$\because$四边形$ABCD$是矩形，$A_{1}$、$B_{1}$、$C_{1}$、$D_{1}$分别是矩形四条边的中点，$\therefore A_{1}D_{1}=B_{1}C_{1}=\frac{1}{2}BD$，$A_{1}B_{1}=C_{1}D_{1}=\frac{1}{2}AC$.$\because AC = BD$，$\therefore A_{1}D_{1}=B_{1}C_{1}=A_{1}B_{1}=C_{1}D_{1}$，$\therefore$四边形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$是菱形，$\therefore$四边形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的面积为$\frac{1}{2}A_{1}C_{1}\cdot B_{1}D_{1}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}S_{矩形ABCD}$. 同理，四边形$A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}$是平行四边形.$\because A_{1}C_{1}\perp B_{1}D_{1}$，$\therefore C_{2}D_{2}\perp D_{2}A_{2}$，$\therefore$四边形$A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}$是矩形，$\therefore$四边形$A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}$的面积为$C_{2}D_{2}\cdot A_{2}D_{2}=\frac{1}{2}a\cdot\frac{1}{2}b=\frac{1}{4}S_{矩形ABCD}\cdots\cdots$按此规律，得四边形$A_{n}B_{n}C_{n}D_{n}$的面积是$\frac{ab}{2^{n}}$.

8. 如图，在四边形ABCD中，AC = BD = 6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求EG² + FH²的值.
　　　　　　　　　　　　　

如图，连接$EF$、$FG$、$GH$、$EH$.$\because E$、$H$分别是$AB$、$DA$的中点，$\therefore EH$是$\triangle ABD$的中位线，$\therefore EH=\frac{1}{2}BD = 3$. 同理可得$EF$、$FG$、$GH$分别是$\triangle ABC$、$\triangle BCD$、$\triangle ACD$的中位线，$\therefore EF = GH=\frac{1}{2}AC = 3$，$FG = EH=\frac{1}{2}BD = 3$，$\therefore EH = EF = GH = FG = 3$，$\therefore$四边形$EFGH$为菱形，$\therefore EG\perp HF$. 设$EG$与$HF$的交点为$O$，$\therefore EG = 2OE$，$FH = 2OH$. 在$Rt\triangle OEH$中，根据勾股定理得$OE^{2}+OH^{2}=EH^{2}=9$，等式两边同时乘$4$得$4OE^{2}+4OH^{2}=9\times4 = 36$，$\therefore(2OE)^{2}+(2OH)^{2}=36$，即$EG^{2}+FH^{2}=36$.