1. 如图,已知$∠BOD= 2∠AOB$,$OC平分∠AOD$,且$∠BOC= 18^{\circ}$,则$∠AOD= $( )

A.$108^{\circ}$
B.$98^{\circ}$
C.$72^{\circ}$
D.$135^{\circ}$

A 【点拨】设∠AOD=6x，因为∠BOD=2∠AOB，所以∠BOD=4x，∠AOB=2x. 因为OC平分∠AOD，所以∠AOC=∠DOC=3x. 由题意得3x-2x=18°，解得x=18°，所以∠AOD=6x=108°，故选A.

2. 将一副三角板和直尺按如图所示方式摆放在课桌面上,其中一块三角板的$30^{\circ}$角的顶点与另一块三角板的直角顶点重合,且都在直尺$AB边上的点O$处,若$OD平分∠BOF$,且$∠COE= 20^{\circ}$,则$∠AOC= $( )

A.$40^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$60^{\circ}$

C 【点拨】由题意得∠COD=90°，∠EOF=30°. 因为∠COE=20°，所以∠DOF=∠COD-∠COE-∠EOF=90°-30°-20°=40°. 因为OD平分∠BOF，所以∠DOF=∠DOB=40°，所以∠AOC=180°-∠COD-∠DOB=180°-90°-40°=50°.

3. 母题 教材 P188 复习题 T11 如图,有一长方形纸片$ABCD$,$M为AD$边的中点,将纸片沿$BM$,$CM$折叠,使点$A落在点A_{1}$处,点$D落在点D_{1}$处. 若$∠1= 30^{\circ}$,则$∠BMC= $______.

105° 【点拨】因为∠1=30°，所以∠AMA₁+∠DMD₁=180°-30°=150°. 因为将纸片沿BM，CM折叠，使点A落在点A₁处，点D落在点D₁处，所以MB平分∠AMA₁，MC平分∠DMD₁，所以∠BMA₁=½∠AMA₁，∠CMD₁=½∠DMD₁，所以∠BMA₁+∠CMD₁=½（∠AMA₁+∠DMD₁）=75°，所以∠BMC=∠1+∠BMA₁+∠CMD₁=30°+75°=105°.

4. 将一副三角尺按如图方式摆放,使三角尺的一个顶点重合,$∠ACB= 45^{\circ}$,$∠DCE= 60^{\circ}$,$CP和CQ分别是∠ACB和∠DCE$的平分线. 若$∠ACE= 75^{\circ}$,下列结论错误的是( )

A.$∠ACQ= 105^{\circ}$
B.$∠BCE= 120^{\circ}$
C.$∠BCD= 180^{\circ}$
D.$∠PCQ= 135^{\circ}$

D 【点拨】因为∠ACB=45°，∠DCE=60°，CP和CQ分别是∠ACB和∠DCE的平分线，所以∠ECQ=½∠DCE=30°，∠ACP=½∠ACB=22.5°. 因为∠ACE=75°，所以∠ACQ=∠ACE+∠ECQ=75°+30°=105°，∠BCE=∠BCA+∠ACE=45°+75°=120°，∠BCD=∠BCA+∠ACE+∠ECD=45°+75°+60°=180°，∠PCQ=∠PCA+∠ACE+∠ECQ=22.5°+75°+30°=127.5°≠135°.

5. 把一个平角16等分,则每份(用度、分、秒表示)为______.

11°15′ 【点拨】180°÷16=11.25°. 因为0.25°=（0.25×60）′=15′，所以11.25°=11°15′，故答案为11°15′.

180°÷16=11.25°
0.25°=0.25×60′=15′
11.25°=11°15′
11°15′

6. 如图所示,已知点$O在直线AB$上,$∠AOE:∠EOD= 1:3$,$OC是∠BOD$的平分线,$∠EOC= 115^{\circ}$,求$∠AOE和∠BOC$.

【解】因为∠AOE∶∠EOD=1∶3，所以设∠AOE=x，则∠EOD=3x. 又因为∠EOC=115°，所以∠COD=115°-3x. 因为OC是∠BOD的平分线，所以∠COB=∠COD=115°-3x. 因为点O在直线AB上，所以∠AOE+∠EOD+∠COD+∠COB=180°，所以x+3x+2(115°-3x)=180°，解得x=25°，所以∠AOE=25°，∠BOC=115°-3×25°=40°.

【解】设$\angle AOE = x$，因为$\angle AOE:\angle EOD = 1:3$，所以$\angle EOD = 3x$。
因为$\angle EOC = 115°$，所以$\angle COD=\angle EOC - \angle EOD=115° - 3x$。
因为$OC$是$\angle BOD$的平分线，所以$\angle COB=\angle COD = 115° - 3x$。
由于点$O$在直线$AB$上，所以$\angle AOE+\angle EOD+\angle COD+\angle COB = 180°$，即$x + 3x+2(115° - 3x)=180°$。
解得$x = 25°$，则$\angle AOE=25°$，$\angle BOC=115° - 3×25°=40°$。
答：$\angle AOE$为$25°$，$\angle BOC$为$40°$。

7. 已知$∠AOB= 120^{\circ}$,射线$OC在∠AOB$的内部,$∠AOC＜60^{\circ}$. 将射线$OC绕点O逆时针旋转60^{\circ}形成射线OD$.

(1)如图①,若$∠AOD= 90^{\circ}$,那么$∠AOC和∠BOD$的度数相等吗？为什么？
(2)作射线$OE$,使射线$OE为∠AOD$的平分线.
①如图②,当射线$OC恰好平分∠AOE$时,求$∠BOD$的度数.
②如图③,设$∠AOC= \alpha$,试探究$∠BOD与∠EOC$之间有何数量关系,并说明理由.

【解】（1）∠AOC和∠BOD的度数相等. 理由如下：因为∠AOB=120°，∠AOD=90°，所以∠BOD=120°-90°=30°. 由题可知∠COD=60°，所以∠AOC=90°-60°=30°. 所以∠AOC=∠BOD=30°.
（2）① 因为射线OC恰好平分∠AOE，所以∠AOC=∠COE. 因为射线OE平分∠AOD，所以∠DOE=∠AOE=∠AOC+∠COE=2∠AOC. 因为∠COD=60°，所以∠DOE+∠COE=60°，所以2∠AOC+∠AOC=60°，所以∠AOC=20°，所以∠COE=20°，∠DOE=40°. 因为∠AOB=120°，所以∠BOD=120°-∠AOC-∠COE-∠DOE=120°-20°-20°-40°=40°.
②数量关系是∠BOD=2∠EOC. 理由如下：因为∠COD=60°，∠AOC=α，所以∠AOD=60°+α. 因为射线OE平分∠AOD，所以∠AOC+∠COE=½∠AOD=½(60°+α). 所以∠COE=½(60°+α)-α=30°-½α. 因为∠AOB=120°，所以∠BOD=120°-∠AOD=120°-(60°+α)=60°-α. 所以∠BOD=2∠EOC.