1. (2023·滁州校级模拟)如图是由小正方形组成的 $7×7$ 网格, 每个小正方形的顶点叫做格点. $\triangle ABC$ 的三个顶点都是格点. $D$ 是 $AC$ 与网格线的交点. 仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图, 画图过程用虚线表示, 画图结果用实线表示, 按步骤完成下列问题:
(1) 在图中, 将线段 $AB$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$ 得到线段 $AM$;
(2) 在 $AC$ 上画点 $N$, 使
$\tan∠ABN= \frac{3}{4}$.
![img alt=1]
(1) 在图中, 将线段 $AB$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$ 得到线段 $AM$;
(2) 在 $AC$ 上画点 $N$, 使
$\tan∠ABN= \frac{3}{4}$.![img alt=1]
答案
(1)如图，AM即为所求.
(2)如图，点N即为所求.
解析:取格点P、Q，连接PQ交AM于点0，∵$\frac{AP}{MQ}$=ī3,∴$\frac{A0}{OM}$“ī3;∴$\frac{A0}{AM}$=$\frac{A0}{AB}$=$\frac{3}{4}$连接OB交AC于点N∴tan∠ABN=tan∠ABO=
$\frac{A0}{AB}$=$\frac{3}{4}$,则点N即为所求.
(2)如图，点N即为所求.
解析:取格点P、Q，连接PQ交AM于点0，∵$\frac{AP}{MQ}$=ī3,∴$\frac{A0}{OM}$“ī3;∴$\frac{A0}{AM}$=$\frac{A0}{AB}$=$\frac{3}{4}$连接OB交AC于点N∴tan∠ABN=tan∠ABO=
$\frac{A0}{AB}$=$\frac{3}{4}$,则点N即为所求.
2. 由边长为 1 的小正方形构成网格, 每个小正方形的顶点叫做格点, 点 $A$、$B$、$C$、$D$ 都是格点, 仅用无刻度的直尺在给定 $14×8$ 的网格中画图, 画图过程用虚线表示, 画图结果用实线表示, 按要求完成下列问题:
(1) 平移线段 $AC$ 得到线段 $DE$, 在图①中画出线段 $DE$;
(2) 在线段 $BC$ 上找一点 $F$, 使 $\triangle ABF$ 的面积等于 $\triangle ACF$ 的面积, 在图①中画出线段 $AF$;
(3) 点 $M$ 在线段 $AD$ 上, 使 $\tan∠ABM= \frac{1}{2}$, 在图②中画出线段 $BM$.
![img alt=2]
(1) 平移线段 $AC$ 得到线段 $DE$, 在图①中画出线段 $DE$;
(2) 在线段 $BC$ 上找一点 $F$, 使 $\triangle ABF$ 的面积等于 $\triangle ACF$ 的面积, 在图①中画出线段 $AF$;
(3) 点 $M$ 在线段 $AD$ 上, 使 $\tan∠ABM= \frac{1}{2}$, 在图②中画出线段 $BM$.
![img alt=2]
答案
(1)如图①，线段DE即为所求. 解析:把点C向右平移6个单位，再向上平移1个单位得到点E连接DE即可.
(2)如图①，线段AF即为所求. 解析:根据网格特点，BC与水平网格线的交点即为点F然后连接AF即可
(3)如图②，线段BM即为所求 解析:先把线段AB绕点A逆时针旋转90°得到AN,再取AN的中点P然后延长BP交AD于点M.
(2)如图①，线段AF即为所求. 解析:根据网格特点，BC与水平网格线的交点即为点F然后连接AF即可
(3)如图②，线段BM即为所求 解析:先把线段AB绕点A逆时针旋转90°得到AN,再取AN的中点P然后延长BP交AD于点M.
3. 网格中小正方形的顶点称为格点, 如图①②, 点 $A$、$B$、$C$ 均为格点, 请用无刻度的直尺依次完成下列画图, 画图过程用虚线, 画图结果用实线.
(1) 在图①中, 先在 $AB$ 上画点 $D$, 使 $\tan∠ACD= \frac{1}{2}$, 再在 $BC$ 上画点 $E$, 使 $\tan∠CAE= \frac{1}{3}$;
(2) 在图②中, $F$ 为 $BC$ 与网格线的交点, 先画 $\square A F M C$, 再在 $AC$ 上画点 $H$, 使 $∠ABH= ∠BAF$.
![img alt=3]
(1) 在图①中, 先在 $AB$ 上画点 $D$, 使 $\tan∠ACD= \frac{1}{2}$, 再在 $BC$ 上画点 $E$, 使 $\tan∠CAE= \frac{1}{3}$;
(2) 在图②中, $F$ 为 $BC$ 与网格线的交点, 先画 $\square A F M C$, 再在 $AC$ 上画点 $H$, 使 $∠ABH= ∠BAF$.
![img alt=3]
答案
(1)如图①，取格点G,连接CG交AB于点D，点D就是所求的点取格点H,连接AH交BC于点E点E就是所求的点
解析:设网格中每个小正方形的边长都是1,设CG交网格线于点1,连接AI∵∠AIC=90°,AI=2,CI=4,∴tan∠ACD=$\frac{A}{CI}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$,:..点D就是所求的点
由勾股定理得CH= $\sqrt{l²+1²}$=√2,AH= $\sqrt{3²+3²}$=3√2.
∵∠AHC=45°+45°=90°，∴tan∠CAE=$\frac{CH}{AH}$=$\frac{\sqrt{2}}{32}$=$\frac{1}{3}$，∴点E就是所求的点
(2)如图②，取格点J、K,连接JK交网格线于点M,连接FM作四边形AFMC，四边形AFMC就是所求的平行四边形;取格点P、Q，连接PQ交网格线于点T,AB交网格线于点R,连接TR交AF于点0作射线BO交AC于点H,点H就是所求的点
解析:∵∠MKL=∠FBJ,KL=BJ,∠MLK=∠FJB=90°,∴△KML≌△BFJ(ASA),∴ML=FJ.∵CL=AJ,∴CM=AF.;.CM//AF,∴四边形AFMC就是所求的平行四边形.由作图可知，RT垂直平分AB,∴OA=OB,∴∠ABH=∠BAF,∴点H就是所求的点
解析:设网格中每个小正方形的边长都是1,设CG交网格线于点1,连接AI∵∠AIC=90°,AI=2,CI=4,∴tan∠ACD=$\frac{A}{CI}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$,:..点D就是所求的点
由勾股定理得CH= $\sqrt{l²+1²}$=√2,AH= $\sqrt{3²+3²}$=3√2.
∵∠AHC=45°+45°=90°，∴tan∠CAE=$\frac{CH}{AH}$=$\frac{\sqrt{2}}{32}$=$\frac{1}{3}$，∴点E就是所求的点
(2)如图②，取格点J、K,连接JK交网格线于点M,连接FM作四边形AFMC，四边形AFMC就是所求的平行四边形;取格点P、Q，连接PQ交网格线于点T,AB交网格线于点R,连接TR交AF于点0作射线BO交AC于点H,点H就是所求的点
解析:∵∠MKL=∠FBJ,KL=BJ,∠MLK=∠FJB=90°,∴△KML≌△BFJ(ASA),∴ML=FJ.∵CL=AJ,∴CM=AF.;.CM//AF,∴四边形AFMC就是所求的平行四边形.由作图可知，RT垂直平分AB,∴OA=OB,∴∠ABH=∠BAF,∴点H就是所求的点
