13. 新趋势 项目式学习 (2024·大连校级月考)
【问题背景】如图①,一块材料的形状是锐角三角形ABC,边$BC = 120mm$,高$AD = 80mm$.把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB、AC上,这个正方形零件的边长是多少?
【提出问题】在满足正方形的一边在三角形的一边上,其余两个顶点分别在另外两边上的条件下,能否在上面的材料上,加工一个面积更大的正方形? 如何用直角尺(只能画直角)和圆规画出这个正方形?
【分析问题】小敏认为,由于正方形的一边在三角形的一边上,这样就存在三种可能.在已知三边长度的情况下,可以通过计算,分别求出三个正方形的边长,然后比较三条边长的大小,进而知道面积最大的正方形;也可以结合当前所学的位似,分别画出满足条件的正方形,再利用圆规比较三个正方形边长的大小,即可解决问题.
【解决问题】为了简化探索过程,小敏取边长分别为5cm,5cm,6cm的三个等腰三角形(其中AB、AC为腰)木块进行研究.
如图②,正方形EFGH的顶点E、H分别在AB、AC上,边FG在BC上.如图③,正方形MNPQ的顶点M、N分别在AB、BC上,边PQ在AC上.
请你完成下面两个问题:
(1) 通过计算,比较这两个正方形边长的大小;
(2) 在图④中,用直角尺(只能画直角)和圆规画出面积最大的正方形,使其一边在三角形的一边上,其余两个顶点分别在另外两边上(保留画图痕迹).
【学以致用】定义:由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.
小敏类比上面的研究方法,又提出下面问题:在如图⑤所示的扇形中,能否用直角尺和圆规画出一个正方形,使其两个顶点在弧上,另外两个顶点在半径上?
你认为可以吗? 如果可以,在图中画出符合条件的正方形(保留画图痕迹);如果不可以,说明理由.
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